Endspurt: Unterschied zwischen den Versionen

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(Die Seite wurde neu angelegt: Jetzt kennst du dich mit der Scheitelpunktform schon recht gut aus. Allerdings haben wir bisher immer nur mit a=1 gearbeitet. Das ändern wir jetzt. <br\> ===Bestimmen...)
 
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Jetzt kennst du dich mit der Scheitelpunktform schon recht gut aus. Allerdings haben wir bisher immer nur mit a=1 gearbeitet. Das ändern wir jetzt.  
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">[[../Einstieg|1. Fußball-WM 2006 - Wasserverbrauch]] | [[../Quadratische Funktionen|2. Quadratische Funktionen und Klippenspringen]] | [[../Übungen zu a|3. Übungen]] | [[../Quadratische Funktionen und der Parameter c|4. Quadratische Funktionen und Volleyball]] | [[../Quadratische Funktionen und der Parameter b|5. Quadratische Funktionen und Fußball]] | [[../Quadratische Funktionen und die Scheitelform|6. Quadratische Funktionen und Basketball]] | [[../Endspurt|7. Endspurt]]
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===Bestimmen der Scheitelpunktform mit variablem a===
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In dem Bild unten ist eine quadratische Funktion mit a ungleich 1 angezeigt. Auf dem Graphen der Funktion liegen zwei Punkte: S, der Scheitel, und P. Neben dem Graphen steht eine kurze Anleitung für die Berechnung von a und das Aufstellen der Funktionsgleichung. Vollziehe jeden Schritt der Anleitung nach. Danach sollst du eigenständig a bestimmen und Funktionsgleichungen aufstellen.
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==Von der Scheitelpunktform zur Normalform==
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[[Bild: Geogebra18.png|600px]]
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Wir haben in diesem Lernpfad schon einiges erarbeitet. Du hast die Normalform <big>'''f(x)=ax²+bx+c'''</big> und die Scheitelpunktform <big>'''f(x)=a(x-x<sub>s</sub>)²+y<sub>s</sub>'''</big> mit ihren Parametern kennengelernt. In diesen beiden Formen lassen sich Funktionsgleichungen von quadratischen Funktionen darstellen.  
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Doch wie genau hängen diese beiden Formen zusammen?
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In diesem Teil des Lernpfades wollen wir einen Weg von der Scheitelpunktform zur Normalform finden.
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Das kannst du zunächst hier ausprobieren.  
  
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Konntest du die Anleitung nachvollziehen? Mit diesem Verfahren kannst du nun jede quadratische Funktion bestimmen, wenn du ihren Scheitel kennst und die Koordinaten eines Punktes, der auf der Parabel der Funktion liegt.
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===Aufgabe 20===
  
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Dann kannst du jetzt loslegen!
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Daher gibt es auch eine rechnerische Lösung durch Umformung des Terms. <br\>
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Das ist gar nicht so schwer. Aber sieh dir selbst einmal die Anleitung dazu an:
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Gut! Dann kannst du dich an die nächste Übung machen.
 
 
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Unsere Beispielfunktion in der '''Scheitelpunktform''' lautet wie in Aufgabe 20: '''f(x)=2(x-3)²+4'''<br\>
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Sieh noch einmal zur Aufgabe 20 zurück und überprüfe das Ergebnis. <br\>
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Steht wirklich diese Funktionsgleichung neben dem roten Funktionsgraph?<br\>
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===Aufgabe 19===
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===Aufgabe 21===
  
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In dieser Aufgabe sind jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes und die Koordinaten von einem weiteren Punkt auf der Parabel gegeben. Berechne jeweils den Funktionsterm auf dem Laufzettel und trage in die Lücke die Werte für a, xs und ys ein.
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Ordne die Funktionsgleichungen in der Normalform denjenigen in der Scheitelpunktform passend zu. <br\>
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Die Anleitung hilft dir wieder bei der Berechnung.  
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Forme dazu die Funktionsgleichung auf deinem Laufzettel nach der obigen Anleitung um. <br\>
 
Viel Erfolg!
 
Viel Erfolg!
  
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<div class="zuordnungs-quiz">
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<big>'''Zuordnung'''</big><br>
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Ordne richtig zu.
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Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-2/3) und einen Punkt P(2/14,2), der auf der Parabel liegt.
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<div class="lueckentext-quiz">
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| f(x) = 7(x + 1)<sup>2</sup> - 9 || f(x)= 7x<sup>2</sup> + 14x - 8
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| f(x) = -0,5(x + 4)<sup>2</sup> - 2 || f(x)= -0,5x<sup>2</sup> + 4x + 6
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x<sub>s</sub> hat den Wert '''-2(Wert einfügen)'''.<br/>
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y<sub>s</sub> hat den Wert '''3(Wert einfügen)'''.<br/>
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a hat den Wert '''0,7(Wert einfügen)'''.
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Wenn du das geschafft hast, folgt die letzte Aufgabe!!!<br>
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[[Bild:Laufzettel.png|50px]] Aber bewerte erst diese Seite bis hierher auf deinem Laufzettel!
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===Aufgabe 22===
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Kannst du dich nach an den Anfang dieses Lernpfads erinnern? <br\>Wir haben von der Fußball-WM 2006 gesprochen und dem sich extrem verhaltendem Wasserverbrauch während der Halbzeitpause. <br\>Dazu hast du diesen Graph gezeichnet:
  
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Stelle für diesen Graph die Funktionsgleichung in der Scheitelform auf und wandle diese dann um in die Normalform.<br\>
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Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (3/-5) und einen Punkt P(6/4), der auf der Parabel liegt.
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Verwende für die Berechnungen deinen Laufzettel.<br\>
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<div class="lueckentext-quiz">
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Deine Ergebnisse für a, b und c kannst du dann hier überprüfen.
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x<sub>s</sub> hat den Wert '''3(Wert einfügen)'''.<br/>
 
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y<sub>s</sub> hat den Wert '''-5(Wert einfügen)'''.<br/>
 
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a hat den Wert '''1(Wert einfügen)'''.
 
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Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-1/4) und einen Punkt P(2/-0,5), der auf der Parabel liegt.
 
 
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<div class="lueckentext-quiz">
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a hat den Wert '''-0,3(Zahl eintragen)'''.<br\>
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b hat den Wert '''4,5(Zahl eintragen)'''.<br\>
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c hat den Wert '''13,2(Zahl eintragen)'''.
  
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x<sub>s</sub> hat den Wert '''-1(Wert einfügen)'''.<br/>
 
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y<sub>s</sub> hat den Wert '''4(Wert einfügen)'''.<br/>
 
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a hat den Wert '''-0,5(Wert einfügen)'''.
 
 
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[[Bild:Laufzettel.png|50px]] Bewerte jetzt die letzte Aufgabe auf deinem Laufzettel!
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<big>Jetzt hast du's geschafft und bist ein echter Profi für Quadratische Funktionen!!!</big>
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Eine Parabel hat ihren Scheitel S bei (-4/6) und einen Punkt P(-6/-2), der auf der Parabel liegt.
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<big>...und im Sommer ist es wieder soweit. Die Fußball-Weltmeisterschaft 2010 steht an. Dann kannst du überprüfen, ob die Toilettenspühlung wirklich die Halbzeitpausen durchläuft!</big>
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x<sub>s</sub> hat den Wert '''-4(Wert einfügen)'''.<br/>
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y<sub>s</sub> hat den Wert '''6(Wert einfügen)'''.<br/>
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a hat den Wert '''-2(Wert einfügen)'''.
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<big>Vielen Dank für deine Bearbeitung dieses Lernpfades!</big>
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Aktuelle Version vom 24. Februar 2010, 19:04 Uhr

1. Fußball-WM 2006 - Wasserverbrauch | 2. Quadratische Funktionen und Klippenspringen | 3. Übungen | 4. Quadratische Funktionen und Volleyball | 5. Quadratische Funktionen und Fußball | 6. Quadratische Funktionen und Basketball | 7. Endspurt


Von der Scheitelpunktform zur Normalform


Wir haben in diesem Lernpfad schon einiges erarbeitet. Du hast die Normalform f(x)=ax²+bx+c und die Scheitelpunktform f(x)=a(x-xs)²+ys mit ihren Parametern kennengelernt. In diesen beiden Formen lassen sich Funktionsgleichungen von quadratischen Funktionen darstellen. Doch wie genau hängen diese beiden Formen zusammen? In diesem Teil des Lernpfades wollen wir einen Weg von der Scheitelpunktform zur Normalform finden. Das kannst du zunächst hier ausprobieren.

Aufgabe 20



Hast du es geschafft, die beiden Funktionsgraphen aufeinanderzulegen?
Das war gar nicht so einfach. Daher gibt es auch eine rechnerische Lösung durch Umformung des Terms.
Das ist gar nicht so schwer. Aber sieh dir selbst einmal die Anleitung dazu an:


Anleitung:

Unsere Beispielfunktion in der Scheitelpunktform lautet wie in Aufgabe 20: f(x)=2(x-3)²+4

1. Binomische Formel erkennen.
Dir ist sicher schon aufgefallen, dass sich in der Scheitelpunktform eine binomische Formel versteckt!
Hier heißt sie (x-3)².


2. Binomische Formel auflösen.
Es handelt sich um die 2. binomische Formel. Deshalb rechnen wir
f(x)=2(x²-6x+9)+4


3. Klammer auflösen und zusammenfassen.
f(x)=2x²-12x+18+4
f(x)=2x²-12x+22


Und schon haben wir die Normalform f(x)=2x²-12x+22.


Sieh noch einmal zur Aufgabe 20 zurück und überprüfe das Ergebnis.
Steht wirklich diese Funktionsgleichung neben dem roten Funktionsgraph?

Nein!

Dann kannst du jetzt die Parameter aus deiner Normalform ablesen und die Schieberegler entsprechen einstellen.

Ja!

Dann gehts sofort weiter!

Aufgabe 21

Ordne die Funktionsgleichungen in der Normalform denjenigen in der Scheitelpunktform passend zu.
Forme dazu die Funktionsgleichung auf deinem Laufzettel nach der obigen Anleitung um.
Viel Erfolg!

Zuordnung
Ordne richtig zu.

f(x) = 7(x + 1)2 - 9 f(x)= 7x2 + 14x - 8
f(x) = -0,5(x + 4)2 - 2 f(x)= -0,5x2 + 4x + 6


Wenn du das geschafft hast, folgt die letzte Aufgabe!!!
Laufzettel.png Aber bewerte erst diese Seite bis hierher auf deinem Laufzettel!

Aufgabe 22


Kannst du dich nach an den Anfang dieses Lernpfads erinnern?
Wir haben von der Fußball-WM 2006 gesprochen und dem sich extrem verhaltendem Wasserverbrauch während der Halbzeitpause.
Dazu hast du diesen Graph gezeichnet:

21.pgn

Stelle für diesen Graph die Funktionsgleichung in der Scheitelform auf und wandle diese dann um in die Normalform.
Verwende für die Berechnungen deinen Laufzettel.
Deine Ergebnisse für a, b und c kannst du dann hier überprüfen.

a hat den Wert -0,3(Zahl eintragen).
b hat den Wert 4,5(Zahl eintragen).
c hat den Wert 13,2(Zahl eintragen).


Laufzettel.png Bewerte jetzt die letzte Aufgabe auf deinem Laufzettel!


Jetzt hast du's geschafft und bist ein echter Profi für Quadratische Funktionen!!!

...und im Sommer ist es wieder soweit. Die Fußball-Weltmeisterschaft 2010 steht an. Dann kannst du überprüfen, ob die Toilettenspühlung wirklich die Halbzeitpausen durchläuft!

Vielen Dank für deine Bearbeitung dieses Lernpfades!

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