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| | ==Flächeninhalt Dreieck== | | ==Flächeninhalt Dreieck== |
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| | ===Einstieg=== | | ===Einstieg=== |
| | + | [[Bild:Ebert_MotivatorDreieck.jpg|center]] |
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| | ===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur=== | | ===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur=== |
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| | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | {| <br> | | {| <br> |
| − | | <ggb_applet height="400" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung.ggb"/>||'''Aufgabenstellung:''' <br>
| + | '''''Aufgabenstellung:''''' <br> |
| − | Ziehe am Eckpunkt C des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert. | + | * '''Ziehe beliebig ''am Eckpunkt C'' des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.''' |
| − | # Wann wird der Flächeninhalt größer?
| + | * '''Zeige für die Fragen die vier Geraden an und variiere wieder den Eckpunkt C.''' <br> |
| − | # Wann wird der Flächeninhalt kleiner?
| + | | <ggb_applet height="500" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutungneu.ggb"/>|| |
| − | # Wann ändert sich der Flächeninhalt kaum, bzw. gar nicht?
| + | <quiz display="simple"> |
| − | # Auf welcher Linie musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?
| + | |
| − | <br> | + | |
| − | Lösung
| + | |
| | | | |
| − | |}
| + | {'''Wann wird der Flächeninhalt größer'''?} |
| − | </div> | + | + je weiter weg man C von der '''Geraden AB''' bewegt. |
| | + | - je näher man C zur '''Geraden AB''' bewegt. |
| | + | |
| | | | |
| − | ====2. Teil: TITEL ==== | + | {'''Auf welcher Geraden musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?'''} |
| | + | - C wird auf der '''<span style="color: blue">Senkrechten</span> zur Geraden AB''' bewegt |
| | + | + C wird auf der '''<span style="color: red">Parallelen</span> zur Geraden AB''' bewegt |
| | + | - C wird auf der <span style="color: green">'''grünen Geraden'''</span> bewegt |
| | + | |
| | + | </quiz> |
| | + | ''kein Punkt:'' Schaue Dir die Animation genauer an <br> |
| | + | ''1 Punkt:'' Das hast Du schon gut gelöst! <br> |
| | + | ''2 Punkte:''Das hast Du sehr gut gemacht! Du kannst jetzt mit dem nächsten Abschnitt fortfahren! |
| | + | <br> |
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | {| <br>
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| − | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung2.ggb"/>||'''Aufgabenstellung:'''
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| − | # Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
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| − | # Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?
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| − | Lösung:
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| | |} | | |} |
| | </div> | | </div> |
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| + | ====2. Teil: Wir vermuten weiter ==== |
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| − | ===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
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| − | <br>
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| − | '''Mathematik''' scheint manchmal '''wie Zauberei'''...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.
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| − | <br>
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| − | ====Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?====
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| − |
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| − | <br> Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
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| − | <br> Doch, wie könnte man das nur machen? <br>
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| − | In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC. Bearbeite die nebenstehende Aufgabenstellung.
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| − | <br>
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| | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | {| <br> | | {| <br> |
| − | | <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckErgänzung.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:''' | + | # '''''Ziehe am Eckpunkt <span style="color: blue">B</span>. Beobachte, wie sich die <span style="color: blue">Grundseite</span> verändert.''''' |
| − | # Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3.
| + | # '''''Beobachte während Du die <span style="color: blue">Länge der Grundseite</span> veränderst, wie sich der <span style="color: red">Flächeninhalt</span> verhält''''' |
| − | # Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
| + | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_Vermutung2besser.ggb"/>|| |
| − | |} | + | '''''Aufgabenstellung:''''' Hinweis {{versteckt|Die Längen sind im Applet in Zentimetern angegeben}} |
| − | </div> | + | <quiz display="simple"> |
| | | | |
| | + | {'''<span style="color: blue">Vergrößere die Grundseite</span>, was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| | + | +Der Flächeninhalt wird größer. |
| | + | -Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| | + | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| | | | |
| − | '''Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''' <br>
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| − | Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast
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| − | <br>
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| − | '''Aufgabenstellung:''' Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
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| − | <br>
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| − | Gesucht: F<sub>Dreieck</sub> <br>
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| − | F<sub>Dreieck</sub> = ??<br>
| + | {'''<span style="color: green">Verkleinere die Höhe,</span> was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | -Der Flächeninhalt wird größer. |
| − | '''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math> h <br> | + | +Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub> + F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''2 '''<math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''g <math>\cdot</math> h''' = 2 <math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g <math>\cdot</math> h ''' = F<sub>Dreieck</sub> <br>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
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| − | Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.
| + | {'''Stelle die <span style="color: green">Höhe auf 4cm</span> ein und die Länge der <span style="color: blue">Grundseite auf 1cm</span>. Wie groß ist der <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| − | <br> | + | -Der Flächeninhalt beträgt 3 cm² |
| − | <br> | + | -Der Flächeninhalt beträgt 4 cm² |
| | + | +Der Flächeninhalt beträgt 2 cm² |
| | | | |
| − | | + | { '''Wie lang muss die <span style="color: green">Höhe</span> sein, wenn der <span style="color: red">Flächeninhalt 9cm²</span> und die <span style="color: blue">Grundseite 6cm</span> ist?'''} |
| − | | + | +Die Länge der Höhe ist 3cm |
| − | '''Begründe,''' warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.<br> | + | -Die Länge der Höhe ist 4cm |
| − | | + | -Die Länge der Höhe ist 2cm |
| − | <div class="lueckentext-quiz"> | + | </quiz> |
| − | In dem Modell, das für die Herleitung der Flächeninhaltsformel hilfreich war, wurde die '''Ergänzungsgleichheit''' genutzt.
| + | ''0-1 Punkt: Bitte bearbeite die Aufgabe nochmals.'' <br> |
| − | Man '''ergänzt''' das Dreieck mit einem, zu diesem Dreieck, '''kongruenten zweiten Dreieck''' zu einem '''Parallelogramm'''. Dieses besitzt dieselbe '''Länge''' der Grundseite und dieselbe '''Länge der Höhe''', wie das Ausgangsdreieck. Somit lässt sich Der '''Flächeninhalt''' des Parallelogramms berechnen. Da sich die '''Gesamtfläche des Parallelogramms''' aus den '''zwei Teilflächen''' der zueinander kongruenten '''Dreiecke''' zusammensetzt ist ein Dreieck damit '''halb so groß''' wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe.
| + | ''2-3 Punkte: Das hast Du schon recht gut gemeistert!''<br> |
| − | </div>
| + | ''4 Punkte: Prima! Du bist richtig gut! |
| − | <br>
| + | '' |
| − | <br>
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| − | <br>
| + | |
| − | :'''Aber nicht nur durch das Prinzip der Ergänzung kann man die Flächeninhaltsformel herleiten Ein ähnliches Prinzip hast Du auch schon kennen gelernt.''' '''Fülle den folgenden Lückentext aus. '''
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| − | <br> | + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | '''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort! | + | |
| − | Ausgehend vom '''Parallelogramm''' lässt sich die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert hier dies entlang einer '''Diagonalen'''.
| + | |
| − | Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''', also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb(4 geteilt durch 2)''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben '''Grundseite''' und '''Höhe (vier Buchstaben)'''.
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| − | </div>
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| − | <br> | + | |
| − | <br>
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| − | Wie Du siehst gibt es '''mehrere Ansatzmöglichkeiten''', um ein Problem, wie die Suche nach der Flächeninhaltsformel zu lösen.
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| − | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | {|
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| − | Mit dem '''Prinzip der Ergänzungsgleichheit''' geht man von dem '''unbekannten Flächeninhalt (Dreieck) '''aus und versucht die Figur geeignet zu ergänzen , um sich die '''bekannte Flächeninhaltsformel (des Parallelogramms)'''zu nutze zu machen.
| + | |
| − | <br> | + | |
| − | Beim '''Prinzip der Zerlegungsgleichheit''' geht man von einer bereits bekannten Flächeninhaltsformel (Parallelogramm) aus und versucht durch geeignete Zerlegung, die '''unbekannte Formel zu ermitteln.'''
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| − | </div> | + | </div> |
| − | <br>
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| − | ====Zusammenfassung====
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| − | <br>
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| − | '''Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:'''
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| − | <br>
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| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
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| − | '''Merke:'''<br>
| + | |
| − | |Den <span style="color:#EE0000 ">Flächeninhalt des Dreiecks</span> berechnet man durch:<br>
| + | |
| − | F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2} \cdot g \cdot h</math> <br>
| + | |
| − | mit <span style="color:#EE0000 ">'''g als Grundseite'''</span> und <span style="color:#EE0000 ">'''h als der dazugehörigen Höhe'''.
| + | |
| − | |</span> <br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_MerkbildDreieck.jpg|center]]<br>
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| − | </div>
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| − | ===Vertiefen und Erweitern===
| + | [[Bild:Ebert_Loballgemein.jpg|250px]] |
| − | <br>
| + | |
| − | Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann.
| + | |
| − | Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz. <br>
| + | |
| − | '''Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. '''
| + | |
| − | Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her.
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | ====Herleitungsidee 2====
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| − | <br>
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="400" width="560" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe1ggb.ggb"/>||
| + | |
| − | '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | #'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerleg'''t?
| + | |
| − | #'''Welche Figur''' ensteht?
| + | |
| − | #Wie erhält man die Figur?
| + | |
| − | #Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
| + | |
| − | #'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?
| + | |
| − | #Welche Länge besitzt ihre Grundseite?
| + | |
| − | |}
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| − | </div>
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| − | </div>
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe2.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | #Wie wurde das Dreieck zerlegt?
| + | |
| − | #'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung?
| + | |
| − | #'''Wie''' entsteht diese Figur?
| + | |
| − | #Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht?
| + | |
| − | #Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck
| + | |
| − | |} | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | →'''''Hier geht es weiter zu den...''''' |
| − | {| <br>
| + | [[Höhen im Dreieck]] |
| − | |<ggb_applet height="450" width="560" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe3.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | #'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerlegt'''?
| + | |
| − | #'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung?
| + | |
| − | #Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?
| + | |
| − | #'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur?
| + | |
| − | #'''Zeige''', dass die '''Grundseite der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!
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| − | |}
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | ====Übung====
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| − | :In dieser Tabelle sind einige Maße von verschiedenen Dreiecken angegeben, andere Maße fehlen. <br>
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| − | :'''Arbeitsauftrag:'''
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| − | :<br> Berechne die fehlenden Werte und fülle die Lücken aus. Ordne auch das passende Dreieck zu.
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| − | ====Weitere Übungsaufgaben findest Du unterm dem folgenden Link:====
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