Modellieren im Mathematikunterricht: Unterschied zwischen den Versionen

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<h2 style="border:1px solid #AAAAAA; background-color:#F0F0F0; padding:0.2em 0; margin:0; font-size: 110%; font-weight:bold; text-indent:0.5em;">Modellierungskreislauf</h2>
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<br>Im Folgenden seht ihr eine Beispielaufgabe, die mit Hilfe des obigen Schemas bearbeitet wurde:
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<!--Aufgabe-->
 
<!--Aufgabe-->
 
<h2 style="border:1px solid #AAAAAA; background-color:#F0F0F0; padding:0.2em 0; margin:0; font-size: 110%; font-weight:bold; text-indent:0.5em;">Beispielaufgabe</h2>
 
<h2 style="border:1px solid #AAAAAA; background-color:#F0F0F0; padding:0.2em 0; margin:0; font-size: 110%; font-weight:bold; text-indent:0.5em;">Beispielaufgabe</h2>
 
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Wie lange würde es dauern ein Schwimmbecken auzutrinken?
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Wie lange würde es dauern ein Schwimmbecken auszutrinken?
 
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Ich lese mir die Aufgabe also als erstes durch. Da ich schon öfters in einem Schwimmbad war, weiß ich, wie ein Schwimmbecken aussieht.  
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<u>'''1. Aufgabe verstehen'''</u>
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Zuerst lese ich mir die Aufgabe also durch. Da ich schon öfters in einem Schwimmbad war, weiß ich, wie ein Schwimmbecken aussieht.  
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Ich erstelle also eine Skizze:  
 
Ich erstelle also eine Skizze:  
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<u>'''2. Modell erstellen'''</u>
  
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Da das Becken ja ausgetrunken werden soll, muss ich mir zuerst Gedanken darüber machen, wie viel Wasser sich eigentlich in so einem Schwimmbecken befindet. Dazu muss ich also das Volumen des Beckens berechnen.  
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Da das Becken ja ausgetrunken werden soll, muss ich mir zuerst Gedanken darüber machen, wie viel Wasser sich eigentlich in so einem Schwimmbecken befindet.  
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<br>Aber wie stelle ich das an?  
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<br>Nun überlege ich also, welchen Körper ich kenne, der einem Schwimmbecken ähnelt. Außerdem weiß ich, dass Schwimmbecken in der Regel rechteckig sind. Also lässt sich ein Schwimmbecken wohl gut durch einen Quader beschreiben. (Der Quader stellt hier mein Modell dar!)  
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Um es mathematisch auszudrücken: Ich muss das Volumen des Beckens berechnen.  
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<br>Nun weiß ich, dass ich das Volumen eines Quaders berechnen muss, um wissen, wie viel Wasser sich in einem Schwimmbecken befindet.  
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<br>Ich mache mir also noch mal eine Skizze:  
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Aber wie stelle ich das an?  
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Ich weiß schon mal, dass Schwimmbecken in der Regel rechteckig sind. Nun frage ich mich, ob ich einen Körper kenne, der einem Schwimmbecken ähnelt? Schnell fällt mir dazu ein Quader ein. (Der Quader stellt hier mein Modell dar!)  
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Gut. Ich weiß also nun, dass ich das Volumen eines Quaders berechnen muss, um zu wissen, wie viel Wasser sich in einem Schwimmbecken befindet.  
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Dazu mache ich mir noch mal eine Skizze - diesmal etwas mathematischer:  
 
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Wie geht noch mal gleich die Volumenformel für einen Quader? Ein Blick in die Formelsammlung verrät: V = a<math>\cdot</math>b<math>\cdot</math>c, wobei a, b und c offensichtlich für die Länge, Breite und Tiefe bzw. Höhe des Beckens stehen.  
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So, aber wie geht noch mal gleich die Volumenformel für einen Quader?  
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<br>Gut, aber wie lang sind denn die einzelnen Größen?  
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<br>Da keine weiteren Angaben über die Größe des Beckens gemacht wurden, muss ich mir selber Gedanken machen und die Größen evt. schätzen. Durch meine Schwimmbadbesuche weiß ich, dass es sowohl Becken gibt, die 25 Meter lang sind, als auch welche, die 50 Meter lang sind. Ich entscheide mich hier mal für ein 25 Meter-Becken.  
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Ein Blick in die Formelsammlung (oder das Gedächtnis) verrät: V = <span style="color:#FFA500">a</span><math>\cdot</math><span style="color:#00CD00">b</span><math>\cdot</math><span style="color:#4876FF">c</span>, wobei a, b und c offensichtlich für die <span style="color:#FFA500">Länge</span>, <span style="color:#00CD00">Breite</span> und <span style="color:#4876FF">Tiefe</span> des Beckens stehen.  
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<br>Was ist mit der Tiefe?  
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<br>In manchen Schwimmbädern ist das Becken auf der einen Seite tiefer, als auf der anderen. Um es nicht unnötig kompliziert zu machen, gehen wir hier aber von einer einheitlichen Größe aus. <br>Nehmen wir also an, dass das gesamte Becken 1,90 Meter tief ist.
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<br>Für die Breite hilft mir die Überlegung, wie viele Bahnen das Schwimmbecken wohl hat. Für diese Aufgabe gehe ich mal von 6 Bahnen aus. Eine einzelne Bahn wird wohl etwa 2 Meter breit sein. Also, ist das gesamte Becken 12 Meter breit.  
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Gut, aber wie lang sind denn die einzelnen Strecken? Ich hab ja gar keine Angaben darüber!!!
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<br>Nun hab ich alle benötigten Daten zusammen und kann sie in meine Skizze eintragen.
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Richtig, ich weiß nicht, wie lang, breit und tief das Becken ist. Das ist aber gar nicht tragisch - ich überlege einfach selbst: 
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Wie lang wird so ein Becken wohl sein?
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Durch meine Schwimmbadbesuche weiß ich, dass es sowohl Becken gibt, die 25 Meter lang sind, als auch welche, die 50 Meter lang sind.  
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Für diese Aufgabe gehe ich mal von einem <span style="color:#FFA500">25</span> <span style="color:#FFA500">Meter-Becken</span>  aus.  
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Für die Breite des Beckens hilft mir die Überlegung, wie viele Bahnen dieses wohl hat. Die Anzahl der Bahnen ist in jedem Schwimmbad unterschiedlich. Deshalb gehe ich für diese Aufgabe mal von 6 Bahnen aus. Die Breite einer einzelnen Bahn schätze ich auf 2 Meter. Das heißt, das ganze Becken ist <span style="color:#00CD00">12</span> <span style="color:#00CD00">Meter</span> breit. 
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Was ist mit der Tiefe?  
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Auch hier, weiß ich aus meiner Erfahrung, dass das Becken in manchen Schwimmbädern auf der einen Seite tiefer ist, als auf der anderen. Um es aber nicht unnötig kompliziert zu machen, nehme ich hier einfach an, dass das Becken überall gleich tief ist.  
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Sagen wir also, dass das gesamte Becken <span style="color:#4876FF">1,90</span> <span style="color:#4876FF">Meter</span> tief ist.
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Jetzt habe ich alle Daten zusammen und kann sie in meine Skizze eintragen:
 
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[[Bild:Schwimmbad-quaderI.jpg|500px]]
  
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Der nächste Schritt ist nicht schwer. Ich muss die gesammelten Daten in meine Formel einsetzen und ausrechnen: V = 25m<math>\cdot</math>1,9m<math>\cdot</math>12m = 570m³
 
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<br>Als Ergebnis erhalte ich 570m³. <br> Leider kann man sich Kubikmeter nur schlecht vorstellen und außerdem trinkt man keine Kubikmeter trinkt, sondern Liter. Deshalb scheint die Umrechnung von m³ in Liter hilfreich.
 
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<br>Beides sind Volumeneinheiten:
 
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<br>1m³ <math>\widehat{=}</math>1 00dm³    <math>\Rightarrow</math> 570m³ <math>\widehat{=}</math> 570 000 dm³.
 
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<br>1dm³ <math>\widehat{=}</math> 1 Liter.
 
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<br><math>\Rightarrow</math> 570 000 dm³ <math>\widehat{=}</math> 570 000 Liter.
 
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In das Schwimmbecken passen also 570 000 Liter Wasser.
 
  
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Gut, aber wie lang würde ich nun brauchen, um es auszutrinken?  
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<u>'''3. Mathematik benutzen'''</u>
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Dazu überlege ich, wie viel Liter ein Mensch im Laufe des Tages trinkt. Für einen gesunden Menschen werden 1,5 Liter Flüssigkeit am Tag empfohlen. In einem Jahr wären das dann 1,5*365=547,5 Liter. Für die 570 000 Liter des Schwimmbeckens bräuchte man dann also 570 000/547,5=1041,09589 Jahre.  
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Naja, da ich keine 1041 Jahre leben werde, kann ich es also in meinem Leben nicht schaffen.  
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Der nächste Schritt ist nicht schwer. Ich muss die gesammelten Daten in meine Formel einsetzen und ausrechnen: V = <span style="color:#FFA500">25m</span><math>\cdot</math><span style="color:#00CD00">12m</span><math>\cdot</math><span style="color:#4876FF">1,90m</span>= <u>570m³</u>
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Jetzt weiß ich, dass das Volumen des Beckens 570m³ beträgt.
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Leider kann man sich Kubikmeter nur schlecht vorstellen und außerdem trinkt man keine Kubikmeter, sondern Liter. Deshalb scheint die Umrechnung von m³ in Liter hilfreich.
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Beides sind Volumeneinheiten:
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1m³ <math>\widehat{=}</math>1000dm³   
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<math>\Longleftrightarrow</math> 570m³ <math>\widehat{=}</math> 570 000 dm³.
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1dm³ <math>\widehat{=}</math> 1 Liter.
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<math>\Longleftrightarrow</math> 570 000 dm³ <math>\widehat{=}</math> 570 000 Liter.
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In das Schwimmbecken passen also <u>'''570 000 Liter'''</u> Wasser.
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Gut, aber wie lange würde ich nun brauchen, um es auszutrinken?  
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Dazu überlege ich, wie viel Liter ein Mensch im Laufe des Tages trinkt. Für einen gesunden Menschen werden 1,5 Liter Flüssigkeit am Tag empfohlen. <br>In einem Jahr wären das dann 1,5<math>\cdot</math>365 = 547,5 Liter. Für die 570 000 Liter des Schwimmbeckens bräuchte man dann also 570 000 : 547,5 = 1041,09589 Jahre.  
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<u>'''4. Ergebnis erklären'''</u>
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Puh, wenn ich das Ergebnis jetzt runde, erhalte ich als Antwort, dass ich <u>'''1041 Jahre'''</u> brauchen würde, um ein Schwimmbecken auszutrinken.
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Da ich aber keine 1041 Jahre leben werde, ist dieses Vorhaben wohl nicht realisierbar.  
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<u>Aber wie viele Leute bräuchte ich denn, damit es an einem Tag gelingt?</u>
  
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Aber wie viele Leute bräuchte ich denn, damit es an einem Tag gelingt?
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Dazu teile ich das Volumen des Beckens durch die 1,5 Liter, die jeder Mensch am Tag trinken sollte: 570 000 : 1,5 = 380 000.  
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Dazu teile ich das Volumen des Beckens durch die 1,5 Liter, die jeder Mensch am Tag trinken sollte: 570 000 / 1,5 = 380 000. Man bräuchte also 380 000 Menschen, um das Becken im Laufe eines Tages leer zu trinken.  
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Nur mal zum Vergleich: Würzburg hat 133 195 Einwohner. Man bräuchte also gut 2,5-mal so viele Einwohner, um das Becken leer zu trinken.  
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Man bräuchte also 380 000 Menschen, um das Becken in einem Tag leer zu trinken.  
  
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Nur mal zum Vergleich: Würzburg hat 133 195 Einwohner. Das heißt, es würden also fast 3-mal so viele Menschen gebraucht werden, wie Würzburg Einwohner hat. Eine ganze Menge...
  
  
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Aktuelle Version vom 3. April 2012, 15:34 Uhr

Modellierungskreislauf

Modellierungskreislauf.jpg


Im Folgenden seht ihr eine Beispielaufgabe, die mit Hilfe des obigen Schemas bearbeitet wurde:

Beispielaufgabe

Wie lange würde es dauern ein Schwimmbecken auszutrinken?

1. Aufgabe verstehen

Zuerst lese ich mir die Aufgabe also durch. Da ich schon öfters in einem Schwimmbad war, weiß ich, wie ein Schwimmbecken aussieht.

Ich erstelle also eine Skizze:

Schwimmbad.JPG

2. Modell erstellen

Da das Becken ja ausgetrunken werden soll, muss ich mir zuerst Gedanken darüber machen, wie viel Wasser sich eigentlich in so einem Schwimmbecken befindet.

Um es mathematisch auszudrücken: Ich muss das Volumen des Beckens berechnen.

Aber wie stelle ich das an?

Ich weiß schon mal, dass Schwimmbecken in der Regel rechteckig sind. Nun frage ich mich, ob ich einen Körper kenne, der einem Schwimmbecken ähnelt? Schnell fällt mir dazu ein Quader ein. (Der Quader stellt hier mein Modell dar!)

Gut. Ich weiß also nun, dass ich das Volumen eines Quaders berechnen muss, um zu wissen, wie viel Wasser sich in einem Schwimmbecken befindet.

Dazu mache ich mir noch mal eine Skizze - diesmal etwas mathematischer: Schwimmbad-quader.jpg

So, aber wie geht noch mal gleich die Volumenformel für einen Quader?

Ein Blick in die Formelsammlung (oder das Gedächtnis) verrät: V = a\cdotb\cdotc, wobei a, b und c offensichtlich für die Länge, Breite und Tiefe des Beckens stehen.


Gut, aber wie lang sind denn die einzelnen Strecken? Ich hab ja gar keine Angaben darüber!!!

Richtig, ich weiß nicht, wie lang, breit und tief das Becken ist. Das ist aber gar nicht tragisch - ich überlege einfach selbst:


Wie lang wird so ein Becken wohl sein?

Durch meine Schwimmbadbesuche weiß ich, dass es sowohl Becken gibt, die 25 Meter lang sind, als auch welche, die 50 Meter lang sind.

Für diese Aufgabe gehe ich mal von einem 25 Meter-Becken aus.


Für die Breite des Beckens hilft mir die Überlegung, wie viele Bahnen dieses wohl hat. Die Anzahl der Bahnen ist in jedem Schwimmbad unterschiedlich. Deshalb gehe ich für diese Aufgabe mal von 6 Bahnen aus. Die Breite einer einzelnen Bahn schätze ich auf 2 Meter. Das heißt, das ganze Becken ist 12 Meter breit.


Was ist mit der Tiefe?

Auch hier, weiß ich aus meiner Erfahrung, dass das Becken in manchen Schwimmbädern auf der einen Seite tiefer ist, als auf der anderen. Um es aber nicht unnötig kompliziert zu machen, nehme ich hier einfach an, dass das Becken überall gleich tief ist.

Sagen wir also, dass das gesamte Becken 1,90 Meter tief ist.

Jetzt habe ich alle Daten zusammen und kann sie in meine Skizze eintragen: Schwimmbad-quaderI.jpg


3. Mathematik benutzen

Der nächste Schritt ist nicht schwer. Ich muss die gesammelten Daten in meine Formel einsetzen und ausrechnen: V = 25m\cdot12m\cdot1,90m= 570m³

Jetzt weiß ich, dass das Volumen des Beckens 570m³ beträgt.

Leider kann man sich Kubikmeter nur schlecht vorstellen und außerdem trinkt man keine Kubikmeter, sondern Liter. Deshalb scheint die Umrechnung von m³ in Liter hilfreich.

Beides sind Volumeneinheiten:

1m³ \widehat{=}1000dm³

\Longleftrightarrow 570m³ \widehat{=} 570 000 dm³.

1dm³ \widehat{=} 1 Liter.

\Longleftrightarrow 570 000 dm³ \widehat{=} 570 000 Liter.

In das Schwimmbecken passen also 570 000 Liter Wasser.


Gut, aber wie lange würde ich nun brauchen, um es auszutrinken?

Dazu überlege ich, wie viel Liter ein Mensch im Laufe des Tages trinkt. Für einen gesunden Menschen werden 1,5 Liter Flüssigkeit am Tag empfohlen.
In einem Jahr wären das dann 1,5\cdot365 = 547,5 Liter. Für die 570 000 Liter des Schwimmbeckens bräuchte man dann also 570 000 : 547,5 = 1041,09589 Jahre.

4. Ergebnis erklären

Puh, wenn ich das Ergebnis jetzt runde, erhalte ich als Antwort, dass ich 1041 Jahre brauchen würde, um ein Schwimmbecken auszutrinken.

Da ich aber keine 1041 Jahre leben werde, ist dieses Vorhaben wohl nicht realisierbar.


Aber wie viele Leute bräuchte ich denn, damit es an einem Tag gelingt?

Dazu teile ich das Volumen des Beckens durch die 1,5 Liter, die jeder Mensch am Tag trinken sollte: 570 000 : 1,5 = 380 000.

Man bräuchte also 380 000 Menschen, um das Becken in einem Tag leer zu trinken.

Nur mal zum Vergleich: Würzburg hat 133 195 Einwohner. Das heißt, es würden also fast 3-mal so viele Menschen gebraucht werden, wie Würzburg Einwohner hat. Eine ganze Menge...



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