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| | ==Flächeninhalt Dreieck== | | ==Flächeninhalt Dreieck== |
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| | ===Einstieg=== | | ===Einstieg=== |
| | [[Bild:Ebert_MotivatorDreieck.jpg|center]] | | [[Bild:Ebert_MotivatorDreieck.jpg|center]] |
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| − | ----
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| | ===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur=== | | ===Vorüberlegungen: Dem Dreieck auf der Spur=== |
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| | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | {| <br> | | {| <br> |
| − | '''Aufgabenstellung:''' <br> | + | '''''Aufgabenstellung:''''' <br> |
| − | * Ziehe '''beliebig am Eckpunkt C''' des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert. | + | * '''Ziehe beliebig ''am Eckpunkt C'' des Dreiecks ABC. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.''' |
| − | * Zeige für die Fragen die vier Geraden an und variiere wieder den Eckpunkt C. <br> | + | * '''Zeige für die Fragen die vier Geraden an und variiere wieder den Eckpunkt C.''' <br> |
| − | | <ggb_applet height="400" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutungneu.ggb"/>|| | + | | <ggb_applet height="500" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutungneu.ggb"/>|| |
| | <quiz display="simple"> | | <quiz display="simple"> |
| | | | |
| − | {Wann wird der Flächeninhalt größer?} | + | {'''Wann wird der Flächeninhalt größer'''?} |
| | + je weiter weg man C von der '''Geraden AB''' bewegt. | | + je weiter weg man C von der '''Geraden AB''' bewegt. |
| − | - je weiter weg man C zur '''Geraden AB''' bewegt. | + | - je näher man C zur '''Geraden AB''' bewegt. |
| | | | |
| | | | |
| − | {Auf welcher Geraden musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?} | + | {'''Auf welcher Geraden musst Du C bewegen, damit der Flächeninhalt gleich bleibt?'''} |
| − | - C wird auf der '''Senkrechten zur Geraden AB''' bewegt | + | - C wird auf der '''<span style="color: blue">Senkrechten</span> zur Geraden AB''' bewegt |
| − | + C wird auf der '''Parallelen zur Geraden AB''' bewegt | + | + C wird auf der '''<span style="color: red">Parallelen</span> zur Geraden AB''' bewegt |
| − | - C wird auf der '''grünen Geraden''' bewegt | + | - C wird auf der <span style="color: green">'''grünen Geraden'''</span> bewegt |
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| | </quiz> | | </quiz> |
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| | </div> | | </div> |
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| − | ===2.2 Höhen im Dreieck===
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | :'''Auch hier darfst Du wieder konstruieren.'''
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| − | <br>
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| − | <ggb_applet height="100" width="200" type="button" filename="Ebert_DreieckHöhe.ggb" />
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| − | <br>
| |
| − | :Öffne wieder die Geogebra Datei durch Klick auf den Button. Konstruiere eine Höhe im dem vorgegebenen Dreieck, nach folgender Aufgabenstellung:
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| − | #Zeichne vom Punkt C aus eine senkrechte Gerade zur gegenüberliegenden Seite c des Dreiecks.
| |
| − | #'''Schneide''' wieder diese Gerade mit der Seite c.
| |
| − | # Blende die Gerade aus!
| |
| − | # Konstruiere eine Strecke zwischen dem erhaltenen Schnittpunkt und der Ecke C.<br>
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| − | <br>
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| − | '''Sehr schön! Was Du konstruiert hast ist eine Höhe des Dreiecks vom Eckpunkt C aus, auf die gegenüberliegende Seite.'''
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| − | <br>
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| − | : 5. Bewege den Eckpunkt C nach Links und Rechts. Was passiert mit der Höhe?
| |
| − | <br>
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| − | {{Lösung versteckt|
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| − | Bewegt man den Eckpunkt C so weit, dass ein '''Basiswinkel''' (nicht der Winkel am Eckpunkt C) größer als 90° wird, so liegt die '''Höhe außerhalb des Dreiecks!''' Dies ist in stumpfwinkligen Dreiecken der Fall!
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| − | }}
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| − | <br>
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| − | :'''So löst man das Problem:'''
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| − | # Konstruiere eine '''Gerade durch A und B'''
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| − | # Zeichne eine '''Senkrechte vom Punkt C zu dieser Geraden'''!
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| − | # '''Schneide''' diese Senkrechte Gerade mit der Geraden durch AB. Blende die Senkrechte Gerade wieder aus.
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| − | # '''Verbinde''' den erhaltenen Schnittpunkt mit C
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| − | <br>
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| − | :'''Was Du nun konstruiert hast, ist wieder eine Höhe vom Eckpunkt C aus. Doch diese kann auch außerhalb liegen!! Teste dies durch Bewegen von C!!'''
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | ====Zusammenfassung====
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | :'''Auch die Eigenschaften der Höhen im Dreieck solltest du wissen. Daher wurden sie hier zusammengefasst. Wenn Du möchtest, kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übrtragen.'''
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| − | <br>
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| − | <div style= "border:2px solid red; backgroundcolor: #ffffff; padding:7px;">
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| − | {|
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| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
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| − | *Die Höhe im Dreieck ist der <span style="color: red">'''Abstand von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite.'''</span>
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| − | * Die Punkte D,E,F nennt man <span style="color: red">'''Höhenfußpunkte'''</span> <br>
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| − | :'''Beispiel:'''
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| − | [[Bild:Ebert_HöheDreieck.jpg|center]]
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| − | <br>
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| − | : '''Hier siehst Du eine Tabelle mit den Bezeichnungen für das Dreieck aus dem obigen Bild. '''<br>
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| − | :'''''Füge die passenden Bezeichnungen in der Tabelle ein'''''
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | {| {{Prettytable}}
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| − | |- style="background-color:#FFFFFF"
| |
| − | ! Grundlinien !! Länge der Grundlinien !! Höhen zu den Grundlinien !! Länge der Höhen
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| − | |-
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| − | | [AB] || c || [CE] || h<sub>c</sub>
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| − | |-
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| − | | [BC] || a || '''[AD]''' || h<sub>a</sub>
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| − | |-
| |
| − | | '''[AC]''' || b || [BF] || '''h<sub>b</sub>'''
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| − | |}
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | *'''In der Konstruktionsaufgabe hast Du einen Spezialfall Kennen gelernt:'''
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| − | *Im <span style="color: red">'''stumpfwinkligen Dreieck'''</span> liegen '''zwei Höhen außerhalb des Dreiecks'''.
| |
| − | * '''Die Höhe ist hier der Abstand vom Eckpunkt zur Geraden durch die beiden anderen Eckpunkte des Dreiecks.''' <br>
| |
| − | [[Bild:Ebert_SpezialfallHöhenDreieck.jpg|center]]
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| − | <br>
| |
| − | *'''Die Höhen im Dreieck <span style="color: red">schneiden sich</span> in einem Punkt, dem <span style="color: red">Höhenschnittpunkt</span>.'''
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| − | <br>
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| − | |}
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| | | | |
| − | ====2. Teil:Der Flächeninhalt bleibt gleich! ==== | + | ====2. Teil: Wir vermuten weiter ==== |
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| | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | {| <br> | | {| <br> |
| − | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVermutung2.ggb"/>||'''Aufgabenstellung:''' | + | # '''''Ziehe am Eckpunkt <span style="color: blue">B</span>. Beobachte, wie sich die <span style="color: blue">Grundseite</span> verändert.''''' |
| − | # Ziehe am Eckpunkt C und beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert.
| + | # '''''Beobachte während Du die <span style="color: blue">Länge der Grundseite</span> veränderst, wie sich der <span style="color: red">Flächeninhalt</span> verhält''''' |
| − | # Welche Eigenschaft besitzt die Linie, auf der sich C bewegt?
| + | | <ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_Vermutung2besser.ggb"/>|| |
| − | {{Lösung versteckt| C bewegt sich auf der Parallelen zur Grundseite [AB]. Ihr Abstand entspricht der Höhe im Dreieck!}} | + | '''''Aufgabenstellung:''''' Hinweis {{versteckt|Die Längen sind im Applet in Zentimetern angegeben}} |
| − | |}
| + | <quiz display="simple"> |
| − | </div>
| + | |
| | | | |
| | + | {'''<span style="color: blue">Vergrößere die Grundseite</span>, was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| | + | +Der Flächeninhalt wird größer. |
| | + | -Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| | + | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| | | | |
| − | ----
| |
| | | | |
| − | ===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks=== | + | {'''<span style="color: green">Verkleinere die Höhe,</span> was passiert mit dem <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| − | <br> | + | -Der Flächeninhalt wird größer. |
| − | :'''Mathematik''' scheint manchmal '''wie Zauberei'''...Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.
| + | +Der Flächeninhalt wird kleiner. |
| − | <br>
| + | -Der Flächeninhalt ändert sich nicht. |
| − | ====Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?====
| + | |
| | | | |
| − | : Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
| + | {'''Stelle die <span style="color: green">Höhe auf 4cm</span> ein und die Länge der <span style="color: blue">Grundseite auf 1cm</span>. Wie groß ist der <span style="color: red">Flächeninhalt</span>?'''} |
| − | : Doch, wie könnte man das nur machen? <br> | + | -Der Flächeninhalt beträgt 3 cm² |
| − | :In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC. Bearbeite die nebenstehende Aufgabenstellung.
| + | -Der Flächeninhalt beträgt 4 cm² |
| − | <br>
| + | +Der Flächeninhalt beträgt 2 cm² |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | | <ggb_applet height="550" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckErgänzung.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | # Verfolge die in der Darstellung angegebenen Schritte 1-3.
| + | |
| − | # Beobachte was passiert. Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel zu finden?
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| | | | |
| − | | + | { '''Wie lang muss die <span style="color: green">Höhe</span> sein, wenn der <span style="color: red">Flächeninhalt 9cm²</span> und die <span style="color: blue">Grundseite 6cm</span> ist?'''} |
| − | :'''Leite daraus die Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''' <br>
| + | +Die Länge der Höhe ist 3cm |
| − | :Bedenke, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast | + | -Die Länge der Höhe ist 4cm |
| − | <br>
| + | -Die Länge der Höhe ist 2cm |
| − | :'''Aufgabenstellung:''' Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.
| + | </quiz> |
| − | <br>
| + | ''0-1 Punkt: Bitte bearbeite die Aufgabe nochmals.'' <br> |
| − | :Gesucht: F<sub>Dreieck</sub> <br>
| + | ''2-3 Punkte: Das hast Du schon recht gut gemeistert!''<br> |
| − | | + | ''4 Punkte: Prima! Du bist richtig gut! |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = ??<br>
| + | '' |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | '''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math> h <br>
| + | |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub> + F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | |
| − | F<sub>Parallelogramm</sub> = '''2 '''<math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''g <math>\cdot</math> h''' = 2 <math>\cdot</math> F<sub>Dreieck</sub><br>
| + | |
| − | '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g <math>\cdot</math> h ''' = F<sub>Dreieck</sub> <br> | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
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| − | :'''Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.'''
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | | + | |
| − | :'''Begründe, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann.'''<br>
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | In dem Modell, das für die Herleitung der Flächeninhaltsformel hilfreich war, wurde die '''Ergänzungsgleichheit''' genutzt.
| + | |
| − | Man '''ergänzt''' das Dreieck mit einem, zu diesem Dreieck, '''kongruenten zweiten Dreieck''' zu einem '''Parallelogramm'''. Dieses besitzt dieselbe '''Länge''' der Grundseite und dieselbe '''Länge der Höhe''', wie das Ausgangsdreieck. Somit lässt sich Der '''Flächeninhalt''' des Parallelogramms berechnen. Da sich die '''Gesamtfläche des Parallelogramms''' aus den '''zwei Teilflächen''' der zueinander kongruenten '''Dreiecke''' zusammensetzt ist ein Dreieck damit '''halb so groß''' wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe.
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| − | </div> | + | |
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| − | :'''Aber nicht nur durch das Prinzip der Ergänzung kann man die Flächeninhaltsformel herleiten Ein ähnliches Prinzip hast Du auch schon kennen gelernt.''' '''Fülle den folgenden Lückentext aus. ''' | + | |
| − | <br> | + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | '''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort! | + | |
| − | Ausgehend vom '''Parallelogramm''' lässt sich die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten, indem man ein Parallelogramm geeignet halbiert. Man halbiert hier dies entlang einer '''Diagonalen'''.
| + | |
| − | Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''', also dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb(4 geteilt durch 2)''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben '''Grundseite''' und '''Höhe (vier Buchstaben)'''.
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| − | </div>
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| − | [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] Wie Du siehst gibt es '''mehrere Ansatzmöglichkeiten''', um ein Problem, wie die Suche nach der Flächeninhaltsformel zu lösen.
| + | |
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| − | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
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| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]<br>
| + | |
| − | Mit dem '''<span style="color: green ">Prinzip der Ergänzungsgleichheit</span>''' geht man von dem '<span style="color: green">'''unbekannten Flächeninhalt (Dreieck) '''</span> aus und versucht die Figur geeignet zu ergänzen , um sich die <span style="color: green">'''bekannte Flächeninhaltsformel (des Parallelogramms)'''</span>zu nutze zu machen.
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | Beim <span style="color: green">'''Prinzip der Zerlegungsgleichheit'''</span> geht man von einer bereits bekannten Flächeninhaltsformel (Parallelogramm) aus und versucht durch geeignete Zerlegung, die '''unbekannte Formel zu ermitteln.'''
| + | |
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| − | </div> | + | </div> |
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| − | ===Zusammenfassung===
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| − | '''Übertrage den roten Merkkasten in dein Heft, damit Du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke auch Zuhause nachschauen kannst:'''
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| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | {|
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| − | [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]<br>
| + | |
| − | Den <span style="color:#EE0000 ">Flächeninhalt des Dreiecks</span> berechnet man durch
| + | |
| − | :<br> F<sub>Dreieck</sub> = <math>{1 \over 2} \cdot g \cdot h</math> <br>
| + | |
| − | mit <span style="color:#EE0000 ">'''g als Grundseite'''</span> und <span style="color:#EE0000 ">'''h als der dazugehörigen Höhe'''.
| + | |
| − | |</span> <br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_MerkbildDreieck.jpg|center]]<br>
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| − | ===Vertiefen und Erweitern===
| + | [[Bild:Ebert_Loballgemein.jpg|250px]] |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Du hast nun eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herleiten kann. | + | |
| − | :Dies ist aber natürlich nicht der einzige Lösungsansatz. <br>
| + | |
| − | :'''Im nächsten Abschnitt lernst Du weitere kennen. '''
| + | |
| − | :Versuche die Lösungsideen nachzuvollziehen und bearbeite die Aufgabenstellungen. Leite daraus jeweils algebraisch die Flächeninhaltsformel für Dreiecke :her.'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | ====Herleitungsidee 2====
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| − | <br>
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| − | <br>
| + | |
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="500" width="600" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe1ggb.ggb"/>||
| + | |
| − | '''Aufgabenstellung:''' <br>
| + | |
| − | 1.'''Wie''' wurde das Dreieck '''zerlegt'''? {{Lösung versteckt |Man zeichnet die Mittelparallele des Dreiecks zur Grundseite ein und schneidet diese mit der Höhe zu dieser Grundseite. }} <br>
| + | |
| − | 2.'''Welche Figur''' ensteht? {{Lösung versteckt |Es entsteht ein Rechteck}}<br>
| + | |
| − | 3.Wie erhält man die Figur? {{Lösung versteckt |Durch Zerlegung des Ursprungsdreiecks und Ergänzung}}<br>
| + | |
| − | 5.Um welche Punkte werden die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht?{{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden um die Seitenmittelpunkte gedreht. Sie werden um 180° gedreht. Es handelt sich also um eine Kongruenzabbildung. }}<br>
| + | |
| − | 6.'''Welche Höhe''' besitzt die neue Figur, '''im Vergleich''' zum Ursprungsdreieck?{{Lösung versteckt |Die Höhe des Rechtecks ist halb so groß, wie die Höhe des Ausgangsdreiecks}}<br>
| + | |
| − | 7.Welche Länge besitzt ihre Grundseite?{{Lösung versteckt |Die Grundseite ist genauso lang, wie die des Ausgangsdreiecks.}}
| + | |
| | | | |
| − | |}
| + | →'''''Hier geht es weiter zu den...''''' |
| − | </div>
| + | [[Höhen im Dreieck]] |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | : '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | : F<sub>Rechteck</sub> = g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> <br>
| + | |
| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | |
| − | : Für die Höhen gilt:
| + | |
| − | :h<sub>2</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h<sub>1</sub><br>
| + | |
| − | : Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h<sub>1</sub>'''
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ----
| + | |
| − | ====Herleitungsidee 3====
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| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | |<ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe2.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
| + | |
| − | 1. Wie wurde das Dreieck zerlegt? {{Lösung versteckt | Es wurde die zur Grundseite parallele Strecke zwischen den Seitenmittelpunkten eingezeichnet. }}
| + | |
| − | 2.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es enstekt ein Paralellogramm}}
| + | |
| − | 3.'''Wie''' entsteht diese Figur? {{Lösung versteckt | Das Parallelogramm ensteht durch Zerlegung des großen Dreiecks in ein kleines Teildreieck und ein Trapez. Durch Drehen des kleinen Teildreiecks ergänzt man das Trapez zum Parallelogramm}}
| + | |
| − | 4. Um welchen Punkt wird das kleine Teildreieck gedreht? Um wieviel Grad wird es gedreht? {{Lösung versteckt | Das kleine Teildreieck wird um 180 ° um einen Seitenmittelpunkt gedreht.Damit ist klar, dass es sich um eine Kongruenzabbildung handelt.}}
| + | |
| − | 5. Welche '''Höhe''' besitzt die '''neue Figur''' im Vergleich zum Dreieck {{Lösung versteckt | Die Höhe des Parallelogramms ist halb so groß, wie die des Ausgangsdreiecks. Das Paralellogramm besitzt aber die gleiche Länge der Grundseite}}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | : '''Wie kann man für diese Methode die Flächeninhaltsformel des Dreiecks berechnen??'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | : F<sub>Parallelogramm</sub> = '''g <math>\cdot</math> h<sub>2</sub> '''<br>
| + | |
| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Parallelogrammk</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
| + | |
| − | : Für die Höhen gilt:
| + | |
| − | :'''h<sub>2</sub>''' = '''<math>{1 \over 2}</math>''' <math>\cdot</math> h <br>
| + | |
| − | : Einsetzen in Formel für Parallelogramm: <br>
| + | |
| − | :F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g <math>\cdot</math> h'''
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] <br>
| + | |
| − | <span style="color: red">Wie Du siehst, ähneln sich diese beiden Herleitungsideen: <br>
| + | |
| − | In der '''ersten Variante''' zerlegt man das Dreieck geeignet und ergänzt zum Rechteck mit gleicher Grundseite und halber Höhe...<br>
| + | |
| − | und in der '''zweiten Variante''' zerlegt man das Dreieck und ergänzt zu einem Parallelogramm mit '''gleicher Länge der Grundseite und halber Höhe'''.</span>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
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| − | ----
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| − | ====Herleitungsidee 4====
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| − | ----
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| − | <br>
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| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | : '''Wir haben für die Hilfsfigur, deren Flächeninhalt man kennt das Ausgangsdreieck so zerlegt, dass die Höhe halbiert und die Länge der Grundseite gleich beibehalten wird. <br>
| + | |
| − | : Wie Du ahnst gibt es noch eine weitere Möglichkeit:'''
| + | |
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| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| − | {| <br>
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| − | |<ggb_applet height="450" width="580" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckVertiefungsaufgabe3.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
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| − | 1.'''Welche Figur ensteht''' bei der Ergänzung? {{Lösung versteckt | Es entsteht ein Rechteck }}
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| − | 2. Um welchen Punkt werden jeweils die Teildreiecke gedreht? Um wieviel Grad werden sie gedreht? {{Lösung versteckt |Die Teildreiecke werden jeweils um die Seitenmittelpunkte gedreht, dabei dreht man um 180°. Dies ist eine Kongruenzabbildung}}
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| − | 3.'''Welche Höhe''' besitzt die erhaltene Figur? {{Lösung versteckt | Die Höhe des Rechtecks entspricht der Höhe des Ausgangsdreiecks}}
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| − | 4.'''Zeige''', dass die '''Grundseite g der neuen Figur halb so lang '''ist, wie die Grundseite des Dreiecks!<br>
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| − | Tipp: Ergänze zum Rechteck und beobachte dabei die Teilstrecken s und t <br>
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | '''g<sub>Dreieck</sub>''' = s + s + t+ t <br>
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| − | g<sub>Dreieck</sub> = '''2 <math>\cdot</math> s''' + 2<math>\cdot</math> '''t''' = 2 <math>\cdot</math>(s + t)<br>
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| − | g<sub>Rechteck</sub>= '''s + t''' <br>
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| − | => g<sub>Rechteck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> g<sub>Dreieck</sub>'''
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| − | </div>
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | : '''Wie kann man daraus die Flächeninhaltsformel für das Dreieck berechnen?'''
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | F<sub>Rechteck</sub> = '''g<sub>Rechteck</sub>''' <math>\cdot</math> h <br>
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| − | : Aufgrund der Zerlegungsgleichheit gilt: <br>
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| − | :F<sub>Rechteck</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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| − | : Für die Grundseiten gilt:
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| − | :g<sub>Rechteck</sub> = <math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math> '''g<sub>Dreieck</sub>'''<br>
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| − | : Einsetzen in Formel für Rechteck: <br>
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| − | :F<sub>Dreieck</sub> = '''<math>{1 \over 2}</math> g<sub>Dreieck</sub> <math>\cdot</math> h'''
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| − | </div>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | ===Übung===
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| − | :In dieser Tabelle sind einige Maße von verschiedenen Dreiecken angegeben, andere Maße fehlen. <br>
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| − | :'''Arbeitsauftrag:'''
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| − | :<br> Berechne die fehlenden Werte und fülle die Lücken aus.
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | {| {{Prettytable}}
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| − | |- style="background-color:#8DB6CD"
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| − | ! Dreieck !! Seite a !! Seite b !! Seite c !! ha !! hb !! hc !! Flächeninhalt
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| − | |-
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| − | | A ||4 cm || '''3,16cm''' || '''4,24cm''' || 3cm || 3,79cm || 2,83cm || '''6cm²'''
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| − | |-
| + | |
| − | |B ||4 cm || 4,12cm || 5cm || '''4cm''' || '''3,88cm''' || '''3,2cm''' || 6cm²
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | C ||5 cm || '''4,47 cm''' || 5cm || 4 cm || 4,47cm || '''4cm''' || '''10cm²'''
| + | |
| − | |-
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| − | | D || 6cm || 5 cm || '''5cm''' || 4cm || '''4,8 cm''' || 4,8cm || '''12cm²'''
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| − | |-
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| − | | E || '''6cm''' || 5,83cm || '''3,16cm''' ||3cm || 3,09cm || 5,69cm ||9 cm²
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| − | ====Weitere Übungsaufgaben findest Du unterm dem folgenden Link:====
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