Der Satz des Thales: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lernpfad|  
 
{{Lernpfad|  
 
===Der Satz des Thales===
 
===Der Satz des Thales===
 
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'''Nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (um 600 v. Chr.) wird ein wichtiger gemeotrischer Satz bezeichnet.'''
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: '''Nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (um 600 v. Chr.) wird ein wichtiger gemeotrischer Satz bezeichnet.'''
 
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[[Bild: ThalesClownAAeinführung1_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
 
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{{Merke|'''Der Satz des Thales:''' <br>
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: '''Du hast doch bei der Erarbeitung von Grundwissen verschiedene Winkel kennen gelernt, stimmts?'''
 
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'''''Jedes Dreieck ∆ABC, dessen Grundseite AB dem Durchmesser eines Halbkreises entspricht und dessen Ecke C auf dem Kreisbogen liegt,'''''<br>
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: '''Ich weiß also, dass du in der Lage bist einen spitzen von einem stumpfen Winkel zu unterscheiden!'''
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'''''ist rechtwinklig. Den Halbkreis mit dem eingeschlossenen Dreieck bezeichnet man kurz als „Thales-Kreis“.'''''}} <br>
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: '''Auf geht's - probiere doch bitte die erste Station aus - viel Spaß!!!'''
 
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: '''Die Lösung erhälst du, indem du die linke Maustaste gedrückt hältst und über den grauen Streifen ziehst.'''
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===Erste Station:===
 
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{| {{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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| <ggb_applet height="450" width="500" showResetIcon="true" filename="nico_stahlneugemachtwiderspruchsbeweisthales_nico.ggb" /> || <br>
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<br> !!!Ziehe am roten Punkt C. Beobachte dabei den Wert für den Winkel γ!!!
 
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* 1.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C innerhalb des gelben Halbkreises befindet? 
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* 1.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ ist größer als 90°. Es gilt: γ > 90°</u>
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* 2.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C außerhalb des gelben Halbkreises befindet? (Jedoch innerhalb der blauen Linien und oberhalb der Strecke [AB]!) 
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* 2.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ ist kleiner als 90°. Es gilt: γ < 90°</u>
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* 3.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C genau auf dem Halbkreis befindet?
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* 3.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°</u>
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* 4.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn du das Kästchen "Punkt fixieren" anklickst?
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* 4.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°</u> <br>
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Erklärung: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es gilt: γ = 90°, weil der rote Punkt C genau auf dem Halbreis über der Strecke [AB] liegt.</u> <br>
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[[Bild: ThalesClownSchieberegler_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
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: '''Nachdem du die erste Station gemacht hast, kannst du dich jetzt der zweiten Station widmen!'''
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: '''Achte zunächst auf die linke Animation und beobachte den Winkel am roten Eckpunkt!
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: '''Wenn du damit fertig bist, dann schaue dir bitte dir rechte Animation an!'''
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: '''Was fällt dir auf, wenn du die Winkel betrachtest?'''
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: '''Wenn du willst kannst du die Animation auch stoppen, indem du auf den Pauseknopf (links unten im Applet) drückst!'''
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: '''Um die Fragen zu beantworten, nutze bitte den Multiple-Chpoice-Test!'''
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: '''Viel Spaß dabei!!!'''
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===Zweite Station:===
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{| {{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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| <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="OhneWinkelANIMATION_thales_nicostahl.ggb" /> || <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="ANIMATION_thales_nicostahl.ggb" />
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<big>'''Welche Aussagen über die dynamischen Animationen stimmen und welche nicht?'''</big>
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<div class="multiplechoice-quiz">
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Der Winkel am roten Eckpunkt hat in der linken Animation eine andere Größe als in der rechten Animation. (Falsch) (!Richtig)
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Der Winkel γ hat bei beiden Animationen stets ein Maß von 90°. (Richtig) (!Falsch)
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Die beiden grünen Winkel sind nie gleich groß. (!Richtig) (Falsch)
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Die Summe der beiden grünen Winkel ergibt stets das gleiche Ergebnis. (Richtig) (!Falsch)
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Die Summe der beiden grünen Winkel ist so groß wie der Winkel γ. (Richtig) (!Falsch)
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Wenn der Winkel γ nicht auf dem Kreis liegen würde, dann wäre das Winkelmaß entweder größer oder kleiner 90°. (Richtig) (!Falsch)
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[[Bild: MotivatorOrdnung_nicostahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
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: '''Jetzt hast du einige Fragen beantortet und einen Multiple-Choice-Test erledigt!'''
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: '''Wie sieht's aus?'''
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: '''Hast du ein bisschen Lust das Durcheinander hier aufzuräumen?'''
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: '''Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt ziehen!'''
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===Dritte Station:===
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{| {{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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| <ggb_applet height="300" width="500" showResetIcon="true" filename="ThalesWERTE___nico_Nico.Stahl.ggb" /> || <ggb_applet height="300" width="500" showResetIcon="true" filename="ThalesWINKEL__Nico.Stahl.ggb" />
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|}
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<div class="zuordnungs-quiz"> <br>
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<big>'''Aufgabenstellung: Ordne die untenstehenden Bilder und Begriffe passend zu!!!'''</big> <br>
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| Die Strecken [MA], [MB] und [MC] || sind alle gleich lang || werden mit r bezeichnet || sind der Radius des Kreises k || sind halb so lang wie der Durchmesser des Kreises k
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|-
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| Basiswinkel im Dreieck AMC || [[Bild:alpha_nicostahl.jpg|150px]]
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| [[Bild:beta_nicostahl.jpg|150px]] || Basiswinkel im Dreieck MBC
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| [[Bild:alpha+beta_istgleich_nicostahl.jpg|300px]] || [[Bild:GGamma___nicostahl.jpg|150px]] || [[Bild:GGammawinkel90°__nicostahl.jpg|150px]]
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[[Bild: ThalesClowntippschieberegler_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
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: '''Was bemerkst du beim Winkel γ, wenn der blaue Punkt B so wandert, dass die Strecke [AB] den Mittelpunkt M schneidet?'''
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: '''Betrachte aufmerksam die dynamische Animation!'''
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: '''Auf geht's - viel Spaß beim Ordnen der durchgeschüttelten Wörter!'''
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: '''Keine Angst - Du kennst die gesuchten Wörter - Du schaffst das auf jeden Fall!!!'''
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===Vierte Station:===
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{| {{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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| <ggb_applet height="500" width="550" showResetIcon="true" filename="stumpf_nico_stahl_Animationthaleserscheint_nico.ggb" /> || {|
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| <div class="schuettel-quiz"> <br>
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Wenn die Strecke [AB] den '''Mittelpunkt''' M des Kreises schneidet,
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dann ist der Winkel an der Spitze C '''rechtwinklig'''
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und im Bild erscheint das Wort: '''Thales'''.
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Wenn das Dreieck ABC bei C ein Maß von 90° hat,
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so bezeichnet man die Strecke [AB] als '''Hypotenuse'''.
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Die beiden Strecken [AC] und [BC] nennt man '''Katheten'''.
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[[Bild: ThalesClownBEWEISCLOWN_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
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===Fünfte Station:===
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: '''Hast du Lust auf eine Beweisführung?'''
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: '''Klicke mit der linken Maustaste die einzelnen Schritte an!'''
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: '''Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!'''
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: '''Wenn du möchtest kannst du am Punkt C mit der Maus ziehen.'''
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{|{{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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| <ggb_applet height="500" width="650" showResetIcon="true" filename="BeweisführungdesThales_nico.ggb" /> || <div class="zuordnungs-quiz">
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<big>'''Zuordnung'''</big><br>
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Ordne den einzelnen Schritten den jeweils passenden Text zu.
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| Schritt 1 || Dreieck AMC und Dreieck MBC sind gleichschenklig. (r=r)   
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| Schritt 2 || Basiswinkel im Dreieck AMC sind maßgleich: α = α 
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|-
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| Schritt 3 || Basiswinkel im Dreieck MBC sind maßgleich: β = β 
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|-
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| Schritt 4 || Innenwinkelsumme im Dreieck ABC=180°: <br>
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α + α + β + β = 180° <br>
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2α +  2β = 180° <br>
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α + β = 90° <br>
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| Schritt 5 || α + β = γ <br> γ = 90°
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[[Bild: ThalesClownPro_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]] <br>
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===Sechste Station:===
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: '''Du hast mittlerweile schon viele neue Entdeckungen gemacht!'''
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: '''Wende nun diese gewonnenen Erkenntnisse auf den nachfolgenden Lückentext an!'''
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| <div class="schuettel-quiz"> <br>
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Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C '''rechtwinklig''' ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem '''Durchmesser''' AB.<br>
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Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das '''Dreieck''' ABC rechtwinklig bei C.<br>
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''In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Satz und Kehrsatz richtig sind.''<br>
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''Anstelle von zwei Sätzen in Wenn-Dann-Form, wird die  Formulierung'' '''''"...genau dann, wenn..."''''' ''verwendet,''<br>
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''sowohl um die Sätze zusammenzufassen als auch um die Korrektheit der Aussage zu artikulieren.''<br>
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| <div class="schuettel-quiz"> <br> Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen '''rechten''' Winkel, wenn die Ecke C auf dem '''Halbkreis''' über der Strecke AB liegt.<br>
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[[Bild: Hefteintag.ThalesClown_nicostahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
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: '''Es wird wieder Zeit unser neues Wissen zusammen zu tragen!'''
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: '''Übertrage den Merk-Text in dein Arbeitsheft!'''
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{{Merke|'''Der Satz des Thales:'''
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* '''Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C rechtwinklig ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB.'''
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* '''Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C.'''
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* '''Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über der Strecke AB liegt.
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[[Bild: ThalesClownbeweisnr2thales_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
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===Siebte Station:===
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: '''Super, du hast die fünfte und die sechste Station geschafft!'''
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: '''Dann wird die siebte Station dür dich "very easy"!!!'''
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: '''Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!'''
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: '''Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt C ziehen!'''
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{| {{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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| <ggb_applet height="600" width="550" showResetIcon="true" filename="beweisnummer2thales_nicostahl.ggb" /> || <div class="zuordnungs-quiz">
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<big>'''Zuordnung'''</big>
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| Schritt 1 || Gerade g ist parallel zu Strecke [AB]
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| Schritt 2 || Dreieck AMC und Dreieck CMB sind gleichschenklig
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|-
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| Schritt 3 || [MA]=[MB]=[MC]: r=r=r
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|-
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| Schritt 4 || Basiswinkel sind gleich groß: α=α und β=β
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|-
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| Schritt 5 || Innenwinkelsumme im Dreieck: <br> α+β+γ=180° <br> α+β=γ <br> α+β+α+β=180° <br> 2α+2β=180° <br> α+β=90° <br>
 +
|-
 +
| Schritt 6 || Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß: α=α und β=β
 +
|-
 +
| Schritt 7 || Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°: <br> α+α+β+β=180° <br> 2α+2β=180° <br> α+β=90° <br> γ=90° <br>
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|}
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</div>
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[[Bild:ThalesClownSTolz_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
 +
<br>
 +
: '''Eigentlich, müsstest du jetzt doch alles verstanden haben, oder?'''
 +
<br>
 +
: '''Die nachstehenden Aufgaben kannst du in Absprache mit deinem Lehrer oder deiner Lehrerin bearbeiten!'''
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<br>
 +
{{Aufgabe-Mathe|'''Arbeitsauftrag: <br>
 +
* Konstruiere in dein Übungsheft einen Thales-Kreis.<br>
 +
* Schreibe die besonderen Eigenschaften eines Thales-Kreis in dein Heft.<br>
 +
* Füge sonstige Besonderheiten hinzu, die dir während des Bearbeitens des Lernpfades aufgefallen sind.
 +
* Diskutiere in deiner Klassengemeinschaft über diesen Lernpfad '''}}
 +
</div>
 +
<br>
 +
<br>
 +
{{Autoren|'''[[Benutzer:Nico Stahl|Nico Stahl]]'''}}

Aktuelle Version vom 4. März 2012, 23:34 Uhr


Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Der Satz des Thales



Nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (um 600 v. Chr.) wird ein wichtiger gemeotrischer Satz bezeichnet.


Ich bin der Thales-Clown


Du hast doch bei der Erarbeitung von Grundwissen verschiedene Winkel kennen gelernt, stimmts?


Ich weiß also, dass du in der Lage bist einen spitzen von einem stumpfen Winkel zu unterscheiden!


Auf geht's - probiere doch bitte die erste Station aus - viel Spaß!!!


Die Lösung erhälst du, indem du die linke Maustaste gedrückt hältst und über den grauen Streifen ziehst.


Erste Station:


 !!!Ziehe am roten Punkt C. Beobachte dabei den Wert für den Winkel γ!!!

  • 1.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C innerhalb des gelben Halbkreises befindet?


  • 1.Antwort: Der Winkel γ ist größer als 90°. Es gilt: γ > 90°


  • 2.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C außerhalb des gelben Halbkreises befindet? (Jedoch innerhalb der blauen Linien und oberhalb der Strecke [AB]!)


  • 2.Antwort: Der Winkel γ ist kleiner als 90°. Es gilt: γ < 90°


  • 3.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C genau auf dem Halbkreis befindet?


  • 3.Antwort: Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°


  • 4.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn du das Kästchen "Punkt fixieren" anklickst?


  • 4.Antwort: Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°


Erklärung: Es gilt: γ = 90°, weil der rote Punkt C genau auf dem Halbreis über der Strecke [AB] liegt.





Ich bin der Thales-Clown


Nachdem du die erste Station gemacht hast, kannst du dich jetzt der zweiten Station widmen!


Achte zunächst auf die linke Animation und beobachte den Winkel am roten Eckpunkt!


Wenn du damit fertig bist, dann schaue dir bitte dir rechte Animation an!


Was fällt dir auf, wenn du die Winkel betrachtest?


Wenn du willst kannst du die Animation auch stoppen, indem du auf den Pauseknopf (links unten im Applet) drückst!


Um die Fragen zu beantworten, nutze bitte den Multiple-Chpoice-Test!


Viel Spaß dabei!!!


Zweite Station:



Welche Aussagen über die dynamischen Animationen stimmen und welche nicht?

Der Winkel am roten Eckpunkt hat in der linken Animation eine andere Größe als in der rechten Animation. (Falsch) (!Richtig)

Der Winkel γ hat bei beiden Animationen stets ein Maß von 90°. (Richtig) (!Falsch)

Die beiden grünen Winkel sind nie gleich groß. (!Richtig) (Falsch)

Die Summe der beiden grünen Winkel ergibt stets das gleiche Ergebnis. (Richtig) (!Falsch)

Die Summe der beiden grünen Winkel ist so groß wie der Winkel γ. (Richtig) (!Falsch)

Wenn der Winkel γ nicht auf dem Kreis liegen würde, dann wäre das Winkelmaß entweder größer oder kleiner 90°. (Richtig) (!Falsch)


































Ich bin der Thales-Clown


Jetzt hast du einige Fragen beantortet und einen Multiple-Choice-Test erledigt!


Wie sieht's aus?


Hast du ein bisschen Lust das Durcheinander hier aufzuräumen?


Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt ziehen!


Dritte Station:



Aufgabenstellung: Ordne die untenstehenden Bilder und Begriffe passend zu!!!

Die Strecken [MA], [MB] und [MC] sind alle gleich lang werden mit r bezeichnet sind der Radius des Kreises k sind halb so lang wie der Durchmesser des Kreises k
Basiswinkel im Dreieck AMC Alpha nicostahl.jpg
Beta nicostahl.jpg Basiswinkel im Dreieck MBC
Alpha+beta istgleich nicostahl.jpg GGamma nicostahl.jpg GGammawinkel90° nicostahl.jpg



















































Ich bin der Thales-Clown


Was bemerkst du beim Winkel γ, wenn der blaue Punkt B so wandert, dass die Strecke [AB] den Mittelpunkt M schneidet?


Betrachte aufmerksam die dynamische Animation!


Auf geht's - viel Spaß beim Ordnen der durchgeschüttelten Wörter!


Keine Angst - Du kennst die gesuchten Wörter - Du schaffst das auf jeden Fall!!!


Vierte Station:

Wenn die Strecke [AB] den Mittelpunkt M des Kreises schneidet,
dann ist der Winkel an der Spitze C rechtwinklig
und im Bild erscheint das Wort: Thales.
Wenn das Dreieck ABC bei C ein Maß von 90° hat,
so bezeichnet man die Strecke [AB] als Hypotenuse.
Die beiden Strecken [AC] und [BC] nennt man Katheten.






Ich bin der Thales-Clown


Fünfte Station:


Hast du Lust auf eine Beweisführung?


Klicke mit der linken Maustaste die einzelnen Schritte an!


Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!


Wenn du möchtest kannst du am Punkt C mit der Maus ziehen.



Zuordnung
Ordne den einzelnen Schritten den jeweils passenden Text zu.

Schritt 1 Dreieck AMC und Dreieck MBC sind gleichschenklig. (r=r)
Schritt 2 Basiswinkel im Dreieck AMC sind maßgleich: α = α
Schritt 3 Basiswinkel im Dreieck MBC sind maßgleich: β = β
Schritt 4 Innenwinkelsumme im Dreieck ABC=180°:

α + α + β + β = 180°
2α + 2β = 180°
α + β = 90°

Schritt 5 α + β = γ
γ = 90°








Ich bin der Thales-Clown


Sechste Station:


Du hast mittlerweile schon viele neue Entdeckungen gemacht!


Wende nun diese gewonnenen Erkenntnisse auf den nachfolgenden Lückentext an!



Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C rechtwinklig ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB.
Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C.

In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Satz und Kehrsatz richtig sind.
Anstelle von zwei Sätzen in Wenn-Dann-Form, wird die Formulierung "...genau dann, wenn..." verwendet,
sowohl um die Sätze zusammenzufassen als auch um die Korrektheit der Aussage zu artikulieren.


Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über der Strecke AB liegt.




Ich bin der Thales-Clown


Es wird wieder Zeit unser neues Wissen zusammen zu tragen!


Übertrage den Merk-Text in dein Arbeitsheft!


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Der Satz des Thales:

  • Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C rechtwinklig ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB.


  • Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C.


  • Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über der Strecke AB liegt.



Ich bin der Thales-Clown



Siebte Station:


Super, du hast die fünfte und die sechste Station geschafft!


Dann wird die siebte Station dür dich "very easy"!!!


Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!


Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt C ziehen!


Zuordnung

Schritt 1 Gerade g ist parallel zu Strecke [AB]
Schritt 2 Dreieck AMC und Dreieck CMB sind gleichschenklig
Schritt 3 [MA]=[MB]=[MC]: r=r=r
Schritt 4 Basiswinkel sind gleich groß: α=α und β=β
Schritt 5 Innenwinkelsumme im Dreieck:
α+β+γ=180°
α+β=γ
α+β+α+β=180°
2α+2β=180°
α+β=90°
Schritt 6 Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß: α=α und β=β
Schritt 7 Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°:
α+α+β+β=180°
2α+2β=180°
α+β=90°
γ=90°
















Ich bin der Thales-Clown


Eigentlich, müsstest du jetzt doch alles verstanden haben, oder?


Die nachstehenden Aufgaben kannst du in Absprache mit deinem Lehrer oder deiner Lehrerin bearbeiten!


  Aufgabe   Stift.gif

Arbeitsauftrag:

  • Konstruiere in dein Übungsheft einen Thales-Kreis.
  • Schreibe die besonderen Eigenschaften eines Thales-Kreis in dein Heft.
  • Füge sonstige Besonderheiten hinzu, die dir während des Bearbeitens des Lernpfades aufgefallen sind.
  • Diskutiere in deiner Klassengemeinschaft über diesen Lernpfad



Team.gif
Entstanden unter Mitwirkung von:

Nico Stahl

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