Doppelte Invertierung eines Gruppenelements/Shoes and Socks: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 3. Dezember 2018, 16:34 Uhr

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle $x, a, b \in G$ :

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

2. Shoes and Socks

Aspekte

Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:

Somit ist $(a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e$ , d.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ ist ein rechtsinverses Element von $(a \cdot b)$ .

Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ muss auch linksinverses Element von $(a \cdot b)$ sein.

Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ das einzige zu $(a \cdot b)$ inverse Element.

Genauso gilt:

Wir können die Aussage so lesen: $x$ ist linksinvers zu $x^{-1}$ . Genauso können wir die Aussage auch so lesen: $x^{-1}$ ist rechtsinvers zu $x$ .

Also ist $x$ das inverse Element von $x^{-1}$ , denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben (Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe).

Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man $a$ für "Socken anziehen" und $b$ für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" $b^{-1}$ und dann kann man die "Socken ausziehen" $a^{-1}$ .

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 ==Aspekte==
-*Wir können die können die Aussage (2) auch nachrechnen:
+*Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:
 [[Datei:Shoes and Socks 4.jpg|center|700px]]
-:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (a \cdot b) </math> ist ein linksinverses Element von  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> und <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von  <math> (a \cdot b) </math>.
+:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von <math> (a \cdot b) </math>.
-:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.
+:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> muss auch linksinverses Element von   <math> (a \cdot b) </math> sein.
-:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass das Gruppenelement <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b </math>) inverse Element ist.
+:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b) </math> inverse Element.
 *Genauso gilt:
-[[Datei:Shoes and Socks 5.jpg|center|300px]]
+[[Datei:Shoes and Socks 5.jpg|center|200px]]
 :Wir können die Aussage so lesen: <math> x </math> ist linksinvers zu <math> x^{-1} </math>. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: <math> x^{-1} </math> ist rechtsinvers zu <math> x </math>.
-:Also ist <math> x </math> ist
+:Also ist <math> x </math> das inverse Element von <math> x^{-1} </math>, denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben  [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|(Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe)]].
-*Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen". Erst "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.
+*Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann kann man die "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.
 [[Kategorie:Beweis Gruppe|Beweis]]

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