Algebra: Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus DMUW-Wiki
( eingefügt) |
K |
||
(11 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
− | < | + | <div style="border: 3px solid #551A8B ; background-color:#CD96CD ; padding:7px;"><big><span style="color:#551A8B ">'''Gleichungen</span>'''</big></div> |
− | + | <br /> | |
− | + | ||
− | </ | + | |
{| | {| | ||
|- | |- | ||
Zeile 13: | Zeile 11: | ||
|} | |} | ||
− | + | <span style="background:#CD96CD ">'''Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:'''</span><br> | |
+ | <div class="schuettel-quiz"> | ||
+ | Rechne immer '''Klammer''' vor '''Punkt''' vor '''Strich'''! | ||
+ | </div> | ||
<span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span> | <span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span> | ||
Zeile 21: | Zeile 22: | ||
''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.'' | ''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.'' | ||
+ | <div style="border: 4px solid #551A8B ; background-color:#00000 ; padding:7px;"> | ||
+ | * <span style="color: #551A8B">'''Beispiel :'''</span> | ||
+ | :<math> \ 9x - 12 = 60</math> | ||
+ | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
+ | |||
+ | :<math> \ 9x - 12 = 60 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 12 </math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\Leftrightarrow 9x = 72 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\Leftrightarrow x = 8 </math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}8\mathcal{g}</math> | ||
+ | </div> | ||
− | * 3x + 10 = 19 | + | * 3x + 10 = 19 |
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u> | + | :3x + 10 = 19 | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 10 </u> |
+ | |||
+ | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u> | ||
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u> | ||
Zeile 33: | Zeile 49: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
− | ::<math> \ 3x + 10 = 19 | - 10 </math> | + | ::<math> \ 3x + 10 = 19 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 10 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 3x = 9 | : 3 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 3x = 9 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 3 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = 3 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = 3 </math> | ||
Zeile 42: | Zeile 58: | ||
}} | }} | ||
− | * 9x - 18 = 27 | + | * 9x - 18 = 27 |
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = 45</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u> | + | :9x - 18 = 27 | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 18 </u> |
+ | |||
+ | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = 45</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u> | ||
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | ||
Zeile 52: | Zeile 70: | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
− | ::<math> \ 9x - 18 = 27 | + 18 </math> | + | ::<math> \ 9x - 18 = 27 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 18 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 9x = | + | ::<math>\Leftrightarrow 9x = \;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ||
Zeile 65: | Zeile 83: | ||
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u> |
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">10 = 2x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 2</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">10 = 2x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 2</u> |
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u> | ||
Zeile 76: | Zeile 94: | ||
::<math> \ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2 </math> | ::<math> \ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2 </math> | ||
− | :: <math>\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 | - 1 </math> | + | :: <math>\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 1 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 10 = 2x | : 2 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 10 = 2x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 2 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math> | ||
Zeile 86: | Zeile 104: | ||
− | * < | + | * 2<sup>3</sup> + 3<sup>2</sup> = 5x + 17 |
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div> | ||
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> |<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u> |
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u> |
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u> | ||
Zeile 104: | Zeile 122: | ||
:: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math> | :: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math> | ||
− | ::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 | - 17 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 17 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x | : 5 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x \;\;\;\;\;\;\;\;| : 5 </math> |
:: <math> Da \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math> | :: <math> Da \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math> | ||
Zeile 117: | Zeile 135: | ||
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u> |
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = -18</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = -18</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u> |
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u> | ||
Zeile 128: | Zeile 146: | ||
::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math> | ::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math> | ||
− | :: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 | - 5 </math> | + | :: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 \;\;\;\;\;\;\;\;| - 5 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 9x = -18| : 9 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 9x = -18\;\;\;\;\;\;\;\;| : 9 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math> | ||
Zeile 137: | Zeile 155: | ||
}} | }} | ||
− | * <math> | + | * -3 <math>\cdot</math>(3 - 2x) + 2x = -21 |
<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | <div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> | ||
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u> | ||
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u> |
− | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u> | + | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u> |
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u> | :<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u> | ||
Zeile 155: | Zeile 173: | ||
:: <math>\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21</math> | :: <math>\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21</math> | ||
− | ::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21| + 9 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21 \;\;\;\;\;\;\;\;| + 9 </math> |
− | ::<math>\Leftrightarrow 8x = -12| : 8 </math> | + | ::<math>\Leftrightarrow 8x = -12 \;\;\;\;\;\;\;\;| : 8 </math> |
::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math> | ::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math> | ||
Zeile 163: | Zeile 181: | ||
::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math> | ::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math> | ||
}} | }} | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <div align="left">[[Aufgabentypen/Geometrie: Geometrische Ortlinien und Ortsbereiche |<math>\Rightarrow</math> Weiter zu 7. Klasse Geometrie]]</div> | ||
+ | <br> | ||
+ | <div align="left">[[Aufgabentypen/Geometrie: Achsenspiegelung|<math>\Leftarrow</math> Zurück zu 6. Klasse Geometrie]]</div> |
Aktuelle Version vom 17. Juli 2009, 14:17 Uhr
Gleichungen
Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch Äquivalenzumformungen, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert. |
Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:
Rechne immer Klammer vor Punkt vor Strich!
Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.
Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!
Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.
- Beispiel :
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
- 3x + 10 = 19
![\mathbb{G}=\mathbb{N}](/images/math/3/4/e/34e58df89e398607957579d87f67b100.png)
- 3x + 10 = 19 | - 10
3x = 9 | : 3
x = 3
- 9x - 18 = 27
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
- 9x - 18 = 27 | + 18
9x = 45 | : 9
x = 5
- 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
12 - 1 = 2x + 1 | - 1
10 = 2x | : 2
x = 5
- 23 + 32 = 5x + 17
![\mathbb{G}=\mathbb{N}](/images/math/3/4/e/34e58df89e398607957579d87f67b100.png)
8 + 9 = 5x + 17
17 = 5x + 17 | - 17
0 = 5x | : 5
x = 0 ... wirklich?
- 3x + 8 + 6x - 3 = -13
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
9x + 5 = -13 | - 5
9x = -18 | : 9
x = -2
- -3
(3 - 2x) + 2x = -21
![\mathbb{G}=\mathbb{Q}](/images/math/1/4/3/143582b29f8a71ff351694c17feef609.png)
-9 + 6x + 2x = -21
-9 + 8x = -21 | + 9
8x = -12 | : 8
x = -1,5