Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x - xs)² + ys - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung) |
K (hat „Benutzer:Michael Schober/Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x - xs)² + ys - Die Scheitelpunktsform“ nach „Lernpfade/Quadratische Funktionen/Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x - xs)² + ys - Die Scheitelpunktsform“ v) |
||
(13 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
− | {{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion | + | {{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" - Die Scheitelpunktsform'''</big> |
Zeile 5: | Zeile 5: | ||
*'''Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor''' | *'''Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor''' | ||
− | *''' | + | *'''Aufgaben zum Parameter y<sub>s</sub>''' |
*'''Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor''' | *'''Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor''' | ||
− | *''' | + | *'''Aufgaben zum Parameter x<sub>s</sub>''' |
− | *''' | + | *'''Die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> in einer Gleichung - Die Scheitelpunktsform''' |
*'''Aufgaben zur Scheitelpunktsform''' | *'''Aufgaben zur Scheitelpunktsform''' | ||
}} | }} | ||
Zeile 81: | Zeile 81: | ||
− | <div align="center"><big><u>'''STATION 2: | + | <div align="center"><big><u>'''STATION 2: Aufgaben zum Parameter y<sub>s</sub>'''</u></big></div> |
Zeile 96: | Zeile 96: | ||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
− | | [[Bild:Parabele1. | + | | [[Bild:Parabele1.png|150px]] || [[Bild:Parabele2.png|150px]] || [[Bild:Parabele3.png|150px]] || [[Bild:Parabele4.png|150px]] || [[Bild:Parabele5.png|150px]] |
|- | |- | ||
| <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 1,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 0,5 </strong> | | <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 1,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 0,5 </strong> | ||
Zeile 226: | Zeile 226: | ||
{{Merke| | {{Merke| | ||
− | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>''' gilt: | + | Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>"''' gilt: |
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der x-Achse | * Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der x-Achse | ||
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel | * Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel | ||
Zeile 250: | Zeile 250: | ||
− | <div align="center"><big><u>'''STATION 4: | + | <div align="center"><big><u>'''STATION 4: Aufgaben zum Parameter x<sub>s</sub>'''</u></big></div> |
Zeile 326: | Zeile 326: | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
− | <div align="center"><big><u>'''STATION 5: | + | <div align="center"><big><u>'''STATION 5: Die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> in einer Gleichung - Die Scheitelpunktsform'''</u></big></div> |
− | Bevor wir nun die beiden Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften | + | Bevor wir nun die beiden Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. |
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht! | Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht! | ||
Zeile 338: | Zeile 338: | ||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
− | | || Frage || Antwort | + | | || <u> Frage </u> || <u> Antwort </u> |
|- | |- | ||
| 1. || Wie lauten die Koordianten für y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>? || <strong>S [2, 0]; S [x<sub>s</sub>, 0] </strong> <br> | | 1. || Wie lauten die Koordianten für y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>? || <strong>S [2, 0]; S [x<sub>s</sub>, 0] </strong> <br> | ||
Zeile 377: | Zeile 377: | ||
Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können. | Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können. | ||
− | In dieser Lerneinheit hast du | + | In dieser Lerneinheit hast du die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> einzeln kennen gelernt. |
− | <br> | + | <br><br> |
− | Ziel dieser Lerneinheit ist | + | Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion '''"f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''', in der beide Parameter integriert sind. |
− | <br> | + | <br><br> |
− | Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. Während der Parameter y<sub>s</sub> für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x<sub>s</sub> den x-Wert an. Genau diese beiden Punkte | + | Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. |
− | + | Während der Parameter y<sub>s</sub> für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x<sub>s</sub> den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" deshalb '''Scheitelpunktsform'''. <br> | |
− | + | Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>. | |
+ | <br><br> | ||
+ | Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun nochmal abgefragt. Viel Erfolg! | ||
Zeile 405: | Zeile 407: | ||
| Scheitelpunkt || Wie nennt man den Punkt S(x<sub>s</sub>, y<sub>s</sub>) der Parabel? | | Scheitelpunkt || Wie nennt man den Punkt S(x<sub>s</sub>, y<sub>s</sub>) der Parabel? | ||
|- | |- | ||
− | | Scheitelpunktsform || Wie | + | | Scheitelpunktsform || Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - x<sub>s</sub>)² + y<sub>s</sub>? |
|- | |- | ||
− | | Symmetrieachse || Wie | + | | Symmetrieachse || Wie heißt die Achse, für die x = y<sub>s</sub> gilt? |
|- | |- | ||
| Normalparabel || Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? | | Normalparabel || Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? | ||
|- | |- | ||
− | | Unten || In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4 | + | | Unten || In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4? |
|- | |- | ||
− | | x-Achse || Auf welcher Achse | + | | x-Achse || Auf welcher Achse verschiebt der Parameter x<sub>s</sub> die Parabel? |
|- | |- | ||
| Ebene || Die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... | | Ebene || Die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... | ||
|- | |- | ||
− | | y-Achse || Auf welcher Achse | + | | y-Achse || Auf welcher Achse verschiebt der Parameter y<sub>s</sub> die Parabel? |
|- | |- | ||
| Zwei || Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben? | | Zwei || Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben? | ||
Zeile 548: | Zeile 550: | ||
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. <br> | Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. <br> | ||
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> + 1,5 und die Punkte W, X, T und P. | Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> + 1,5 und die Punkte W, X, T und P. | ||
− | Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? | + | Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? Überprüfe dies durch Kopfrechnung! |
a) W <math>(0\!\,|\!\,1)</math> | a) W <math>(0\!\,|\!\,1)</math> | ||
Zeile 555: | Zeile 557: | ||
d) P <math>(-3\!\,|\!\,1,5)</math> | d) P <math>(-3\!\,|\!\,1,5)</math> | ||
− | |||
− | Hilfe: <br> | + | Hilfe: <br> Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen! |
{{versteckt| | {{versteckt| | ||
[[Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel]] | [[Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel]] | ||
}} | }} | ||
Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. | Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. | ||
− | Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte | + | Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen. |
<div align="center"><ggb_applet height="480" width="580" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_2_Station_6_Aufgabe_4.ggb " /></div> | <div align="center"><ggb_applet height="480" width="580" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_2_Station_6_Aufgabe_4.ggb " /></div> | ||
Zeile 571: | Zeile 572: | ||
Damit kennst du nun die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind. | Damit kennst du nun die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind. | ||
− | In der nächsten Lerneinheit lernst du dann Normalform kennen. | + | In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen. |
Aktuelle Version vom 23. Dezember 2009, 05:20 Uhr
Lernpfad
|
Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x2" kennen gelernt.
In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
Bevor wir beginnen, wollen wir noch einen neuen Begriff einführen, welcher später häufiger verwendet wird.
Die quadratische Funktion "f(x) |
Zunächst betrachten wir den Parameter ys, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x2" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x2 + ys
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften vom Parameter ys!
Quadratische Funktion f(x)![]() |
Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
---|---|
Hinweise: Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. |
Für die quadratische Funktion "f(x)
|
Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst hier 5 verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x2 + ys". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.
2. Aufgabe:
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!
Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
1. | S ![]() |
y![]() |
2. | S ![]() |
y![]() |
3. | S ![]() |
y![]() |
4. | S ![]() |
y![]() |
5. | S ![]() |
y![]() |
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.
Funktionsgleichung | Scheitelpunkt | |
1. | y![]() |
S [0; 5,2] |
2. | y![]() |
S [0; -3] |
3. | y![]() |
S [0; 0] |
4. | y![]() |
S [0; 3] |
4. Aufgabe: Zuordnung
Aufgabe | Quadratische Funktion f(x)![]() | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen. Finde dazu die zugehörigen Punkte, die auf der Parabel liegen.
Hilfe: Es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel,
|
|
Nachdem du jetzt den Parameter ys kennst, wollen wir uns mit dem Parameter xs beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:
f(x) = (x - xs)2
Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler xs in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-strichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine mit gehaltener linker Maustaste in die Lücken!
Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:
Der Parameter xs der quadratischen Funktion "f(x) = (x - xs)2" bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters ys, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Mit Hilfe des Schiebereglers xs stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von xs negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x - xs]2". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + xs]2" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - xs)2" lautet, entsteht für positive Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von xs, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x + xs]2".
Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten "S [xs; 0]", denn der y-Wert bleibt Null.
Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.
Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!
Für die quadratische Funktion "f(x)
|
Achtung!
- Für xs > 0, mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x – xs)2"
Beispiel: Für xs = 5: f(x) = (x - 5)2
- Für xs < 0, mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x + xs)2"
Beispiel: Für xs = -5: f(x) = (x + 5)2
Ebenso wie beim Parameter ys, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Gegeben sind die Graphen 5 verschiedener quadratischer Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
2. Aufgabe:
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!
Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
1. | S ![]() |
y![]() |
2. | S ![]() |
y![]() |
3. | S ![]() |
y![]() |
4. | S ![]() |
y![]() |
5. | S ![]() |
y![]() |
3. Aufgabe:
Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.
f(x) = (x - 2)2 f(x) = (x - 5)2 f(x) = (x + 3)2
Überprüfe anschlißend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht.
Bevor wir nun die beiden Parameter ys und xs zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!
Frage | Antwort | |
1. | Wie lauten die Koordianten für y![]() |
S [2, 0]; S [xs, 0] |
2. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse? | y![]() |
3. | Wie lauten die Koordianten für y![]() |
S [0, -4]; S [0, -ys] |
4. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse? | y![]() |
5. | Wie lauten die Koordianten für y![]() |
S [0, 2]; S [0, ys] |
6. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse? | y![]() |
7. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse? | y![]() |
8. | Wie lauten die Koordianten für y![]() |
S [-4, 0]; S [-xs, 0] |
Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
In dieser Lerneinheit hast du die Parameter ys und xs einzeln kennen gelernt.
Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys", in der beide Parameter integriert sind.
Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat.
Während der Parameter ys für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter xs den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys" deshalb Scheitelpunktsform.
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter xs und ys.
Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun nochmal abgefragt. Viel Erfolg!
Quadratische Funktion f(x)![]() |
Hinweise und Quiz: | ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hinweise: Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.
|
Für die quadratische Funktion f(x)
|
1. Aufgabe: Multiple Choice
Kreuze alle richtigen Aussagen an!
f(x) (x - 5)2 - 3 (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
f(x) 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
f(x) x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
f(x) -5 + (x - 6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
2. Aufgabe:
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:
Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
1. | S ![]() |
y![]() |
2. | S ![]() |
y![]() |
3. | S ![]() |
y![]() |
4. | S ![]() |
y![]() |
3. Aufgabe-Zuordnung:
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)2 + 1,5 und die Punkte W, X, T und P.
Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!
a) Wb) X
c) T
d) P
![]()
Hilfe:
Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen!
Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.
Prima!
Damit kennst du nun die Parameter xs und ys, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.
In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.