Die Streckung, Stauchung und Spiegelung der Scheitelpunkts- und Normalform: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. Dezember 2009, 04:20 Uhr

Lernpfad

Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a

In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

Die Scheitelpunktsform und der Parameter a
Aufgaben zu "f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s"
Die Normalform und der Parameter a
Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion

Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.

Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter y_s und x_s eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken. Wir wollen im Folgenden diese Eigenschaften zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.

Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.

STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a

Quadratische Funktion f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Geogebraanwendung links den Lückentext zu lösen.

Bediene dafür die Schieberegler a, y_s und x_s, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter wieder ins Gedächtnis zu holen.

Ziehe mit gehaltener, linker Maustaste, das passende Puzzleteil, in die freien Felder.

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung y = a[x - x_s]² + y_s. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter a erweitert. Dadurch kommt neben der Verschiebung der Parabel noch die Streckung, Stauchung und Spiegelung dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass die Verschiebung in der Ebene als auch die Veränderung durch den Vorfaktor a unabhängig voneinander betrachtet werden.

Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter nochmal zu wiederholen, betrachte das folgende Merke und überprüfe ob du die Eigenschaften noch beherrscht.

Merke

Für die quadratische Funktion f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s gilt:

Für den Parameter a gilt:
- Der Parameter a sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder Spiegelung der Parabel
- Für a > 1 ist der Graph gestreckt und nach oben geöffnet
- Für 0 < a < 1 ist der Graph gestaucht und nach oben geöffnet
- Für a < -1 ist der Graph gestreckt und nach unten geöffnet
- Für 0 > a > -1 ist der Graph gestaucht und nach unten geöffnet

Für den Parameter x_s gilt:
- Der Parameter x_s sorgt für eine Verschiebung entlang der x-Achse
- Für x_s > 0 gilt: Verschiebung nach rechts
- Für x_s < 0 gilt: Verschiebung nach links

Für den Parameter y_s gilt:
- Der Parameter y_s sorgt für eine Verschiebung auf der y-Achse
- Für y_s > 0 gilt: Verschiebung nach oben
- Für y_s < 0 gilt: Verschiebung nach unten

Nachdem du nun dein Wissen aufgefrischt hast, kann auch gleich geübt werden!

STATION 2: Aufgaben zu "f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s"

1. Aufgabe:

Du siehst hier ein paar Graphen und ein paar Funktionsvorschriften der Form f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s. Versuche jeweils die richtigen Päärchen zu finden.


y = [x - 2,5]² - 1,5		y = -4[x + 2]² + 1		y = [x + 3,5]²		y = 5[x + 2,5]² + 2		y = 2[x - 4]² - 3

Ich nehme an, dass war kein Problem für dich, da man nicht unbedingt den Vorfaktor a bestimmen musste, um die Aufgabe zu lösen.

Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!

Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?

2. Aufgabe:

Finde zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsvorschrift!

Falls du nicht genau weißt wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe!

Tipp! Die Vorgehensweise ist die selbe wie bei "f(x) = ax²".

Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt.

Hilfe:
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Merke

Anleitung zur Bestimmung des Parameters a:

Der Startpunkt zum Bestimmen des Parameters ist der Scheitelpunkt
Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts
Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve
Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Parameter a
Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv
Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ

Wie ist dein Ergebnis:

a] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph? (!y $=$ 1[x - 4]² - 3 ) (!y $=$ 3[x – 4]² + 3 ) (y $=$ 2[x – 4]² - 3 )

b] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph? (!y = $=$ -2[x + 2]² + 1) (y = $=$ -4[x + 2]² + 1) (!y $=$ -0,5[x + 2]² + 1)

3. Aufgabe - Multiple Choice:

Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an. Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!

f(x) $=$ -2x² + 5 (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)

f(x) $=$ (x - 3)² - 2 (!Die Parabel ist gestaucht)(!Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben)

f(x) $=$ 6 + 2 (x + 2)² (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)

Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben. Außerdem ist sie gestreckt (!y $=$ 4 [x - 2]² - 4)(!y $=$ 0,2 [x - 2]² + 4)(!y $=$ 2 [x - 2]² + 4)(y $=$ 3 [x + 2]² + 4)(!y $=$ 0,5 [x + 2]² - 4)(!y $=$ 5 [x + 2]² - 4)(!y $=$ 0,8 [x - 2]² + 4)(y $=$ 1,77 [x + 2]² + 4)

4. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:

Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle? Achtung! Die Aufgabe ist nur durch logisches Denken zu lösen, es ist keine Rechnung erforderlich! (y $=$ 2 [x – 3]² - 2) (!y $=$ 2 [x + 5]² + 1 ) (y $=$ - [x + 1]² + 2) (!y $=$ -3 [x – 1]² -1)

Hilfe:
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!
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Eine Nullstelle ist der Punkt an dem der Graph die x-Achse schneidet!

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Teilaufgaben a) und c) sind richtige Lösungen.
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y_s und den Vorfaktor a an.
Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter y_s zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der x-Achse.
Da die Parabel durch den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet ist, muss es Nullstellen geben.
Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y_s positiv ist.

STATION 3: Die Normalform und der Parameter a

Auch bei der Normalform ändert sich nicht viel, wenn der Parameter a dazukommt.

Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen.

Von der Scheitelpunktsform zur Normalform:

Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad "Die Normalform f(x) $=$ x² + bx + c" gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst vornehmen.

Aufgabe:

Du hast die Scheitelpunktsform f(x) $=$ 2(x - 3)² - 4 gegeben. Diese Form soll nun durch ausmultiplizieren und zusammenfassen der Terme
auf die Form f(x) $=$ ax² + bx + c gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!


1.	y $=$	a[x - x_s]² + y_s
2.	y $=$	2[x - 3]² - 4
3.	y $=$	2[x² - 6x + 9] - 4
4.	y $=$	2x² - 12x + 14
5.	y $=$	ax² + bx + c

Merke

Die Normalform f(x) $=$ ax² + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) $=$ a(x - x_s)² + y_s durch ausmultiplizieren und zusammenfassen der Terme.

Betrachten wir nun die andere Richtung.

Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:

Diese Umformung funktioniert genauso wie das im Lernpfad "Die Normalform f(x) $=$ x² + bx + c" gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.

Zur Wiederholung klicke dich durch die folgende Anleitung:

1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p
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2. Schritt: Faktor ausklammern
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3. Schritt: Quadratische Ergänzung
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4. Schritt: Binom erzeugen
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5. Schritt: Äußere Klammer auflösen
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6. Schritt: Scheitelkoordinaten
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Um das ein wenig einzuüben löse die folgende Aufgabe!

Aufgabe: Zuordnung - Gruppe

Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt zur Hand und stell zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf und ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den Funktionsgleichungen zu.

f(x) $=$ 2x² + 12x + 14	f(x) $=$ 2(x + 3)² - 4	$S(-3\!\,\|\!\,-4)$
f(x) $=$ -3x² + 24x -41	f(x) $=$ -3(x - 4)² + 7	$S(4\!\,\|\!\,7)$
f(x) $=$ x² - 2x - 2	f(x) $=$ (x - 1)² - 3	$S(1\!\,\|\!\,-3)$

Lösung:
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen!
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

     f(x)  2x² + 12x + 14
           2 [x² + 6x] + 14 
           2 [x² + 6x + 3² - 3²] + 14
           2 [(x + 3)² - 3²] + 14 
           2 (x + 3)² - 2(3²) + 14
           2 (x + 3)² - 18 + 14 
           2 (x + 3)² - 4

     f(x)  -3x² + 24x - 41
           -3 [x² - 8x] - 41 
           -3 [x² - 8x + 4² - 4²] - 41
           -3 [(x - 4)² - 4²] - 41 
           -3 (x - 4)² -[-3(-4²)] - 41
           -3 (x - 4)² + 48 - 41 
           -3 (x - 4)² + 7

     f(x)  x² - 2x - 2
           (x - 1)² - 1² - 2 
           (x - 1)² - 3

Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis. Hier wird noch mal alles zuvor Erlernte in vermischten Aufgaben abgefragt. Viel Erfolg!

STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion

1. Aufgabe: Schüttelrätsel

Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern!

Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!

Eine Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c nennt man quadratische Funktion.

Durch Umformen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelpunktsform f(x) = a(x - x_s)² + y_s.

An der Scheitelpunktsform kann man die Koordinaten für den Scheitelpunkt ablesen.

Der Scheitelpunkt gibt dabei den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel an.

Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach unten geöffnet und der Parameter a ist negativ.

Ist der Vorfaktor hingegen positiv, dann besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt und die Parabel ist nach oben geöffnet.

Außerdem bewirkt der Parameter a eine Streckung, Stauchung, und oder eine "Spiegelung" der Parabel.

Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel gestaucht.

Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder größer +1, so wird die Parabel gestreckt.

Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter x_s und y_s, die für eine Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

Für y_s > 0 wird die Parabel nach oben verschoben und für y_s < 0 nach unten.

Ähnlich verhält es sich mit dem Parameter x_s, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt.

Hier wird für x_s > 0 nach rechts und für x_s < 0 nach links verschoben.

2. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x² - x - 2,5

In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man diesen Punkt? (!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen) (Schnittpunkt mit y-Achse: [0; -2,5]) (Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert) (Schnittpunkt mit y-Achse: [1; 2,5])

Tipp!
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Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.

Hilfe:
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Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.

Erklärung:
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Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.

     y  0,5x² - x - 2,5      
     y  0,5(0)² - 0 - 2,5
     y  -2,5

3. Aufgabe: Multiple Choice

Für die Funktion f(x) $=$ x² + 2 gilt: (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)

Diese Funktion ist keine quadratische Funktion: (!y $=$ [x - 2]²)(!y $=$ 2x² + 3 - 5x)(y $=$ 2x³ + 2x + 3) (y $=$ 8 + 2x) (!y $=$ [x + 3][x - 3])

Für die Funktion f(x) $=$ 2x² + 2x gilt: (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt)

Für den Graph der Funktion f(x) $=$ -2 [x + 3]² - 2 gilt: (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y $=$ -2x² -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)

Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S(3, -2)? (!y $=$ 2x² + 3x + 3) (y $=$ -3[x - 3]² - 2) (y $=$ 5[x - 3]² - 2) (!y $=$ 12 [x + 3] - 2)

Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt: (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter y_s ist negativ) (y $=$ 2[x - 5]² + 2) (!y $=$ [x + 6]² - 1)

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-{{Lernpfad-M|<big>'''Die Streckung, Stauchung und Spiegelung der Scheitelpunkts- und Normalform'''</big>
+{{Lernpfad-M|<big>'''Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a'''</big>
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 *'''Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''
-*'''Übungen zu f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''
+*'''Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''
 *'''Die Normalform und der Parameter a'''
 *'''Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''
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 <div align="center"><big><u>'''STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''</u></big></div>
+{| {{Prettytable}}
+|- style="background-color:#8DB6CD"
+! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
+|-
+| <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /> ||
-Du hast im Folgenden eine Geogebra-Anwendung gegeben. Versuche mit dessen Hilfe den anschließenden Lückentext zu lösen.
+'''Aufgabe:'''
-* Bediene den jeweiligen Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter wieder ins Gedächtnis zu holen und versuche den Lückentext zu lösen.
+* Versuche mit Hilfe der Geogebraanwendung links den Lückentext zu lösen.
-* Ziehe mit gehaltener linker Maustaste das passende Puzzleteil in die freien Felder.
-<div align="center"><ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /></div>
+* Bediene dafür die Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter wieder ins Gedächtnis zu holen.
+* Ziehe mit gehaltener, linker Maustaste, das passende Puzzleteil, in die freien Felder.
 '''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>
+<br>
 <div class="lueckentext-quiz">
-Zunächst wollen wir die Eigenschaften vom Parameter a festhalten. Er sorgt zum Beispiel für eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' der Parabel.
+Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung '''y = a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter '''a''' erweitert. Dadurch kommt neben der '''Verschiebung''' der Parabel noch die '''Streckung, Stauchung und Spiegelung''' dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass die Verschiebung in der '''Ebene''' als auch die Veränderung durch den Vorfaktor a '''unabhängig''' voneinander betrachtet werden.
-Ist der Vorfaktor a positiv, so ist der Graph nach '''oben''' geöffnet, ist er dagegen '''negativ''', so ist er nach unten geöffnet.
-Für '''0 < a < 1''' ist der Graph gestaucht, wohingegen er bei a > 1 '''gestreckt''' wird.
-Ähnlich ist das für negative Zahlen. Für -1 < a < 0 ist der Graph '''gestaucht''' und für '''a < -1''' gestreckt.
-Den tiefsten bzw. den '''höchsten''' Punkt einer Parabel nennt man '''Scheitelpunkt'''.
-Dieser wird bestimmt durch die Parameter '''x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>'''.
-Beide Parameter sind für eine '''Verschiebung''' der Parabel in der '''Ebene''' verantwortlich.
-Während der Parameter y<sub>s</sub> die Parabel in '''y-Richtung''' verschiebt, sorgt der Parameter '''x<sub>s</sub>''' für eine Verschiebung in x-Richtung.
-Ob nach rechts oder links, nach oben oder unten verschoben wird ist dabei recht einfach:
-Nach oben und rechts verschoben wird für '''positive''' Werte der Parameter '''y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>'''.
-Nach '''unten''' und links verschoben wird für negative Werte der Parameter y<sub>s</sub> und '''x<sub>s</sub>'''.
-Nach '''oben''' und links wird verschoben, wenn der Parameter y<sub>s</sub> positiv und der Parameter x<sub>s</sub> '''negativ''' ist.
-Nach unten und '''rechts''' verschoben wird, wenn der Parameter y<sub>s</sub> '''negativ''' und der Parameter x<sub>s</sub> positiv ist.
 </div>
+|}
+<br><br><br>
-<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
+Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter nochmal zu wiederholen, betrachte das folgende Merke und überprüfe ob du die Eigenschaften noch beherrscht.
-<br><br><br><br><br><br>
-Das hat mit Sicherheit gut geklappt! <br>
-Im folgenden "'''Merke'''" werden die wichtigsten Eigenschaften nochmal auf den Punkt gebracht.
-'''Wiederholung der wichtigsten Eigenschaften:'''
@@ Zeile 67: / Zeile 53: @@
 Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' gilt:
 * Für den Parameter a gilt:
-** Der Parameter a sorgt für eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' der Parabel
+** Der Parameter a sorgt für eine '''Streckung''', '''Stauchung''' und/oder '''Spiegelung''' der Parabel
-** Für '''a > 1''' ist der Graph '''gestreckt'''
+** Für '''a > 1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''oben''' geöffnet
-** Für '''0 < a < 1''' ist der Graph '''gestaucht'''
+** Für '''0 < a < 1''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''oben''' geöffnet
-** Für '''a < -1''' ist der Graph '''gestreckt'''
+** Für '''a < -1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''unten''' geöffnet
-** Für '''0 > a > -1''' ist der Graph '''gestaucht'''
+** Für '''0 > a > -1''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''unten''' geöffnet
 * Für den Parameter x<sub>s</sub> gilt:
-** Der Parameter x<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' um '''x<sub>s</sub> Einheiten''' auf der x-Achse
+** Der Parameter x<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' entlang der x-Achse
-** Für '''x<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''rechts''', um x<sub>s</sub> Einheiten in x-Richtung
+** Für '''x<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''rechts'''
-** Für '''x<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''links''', um x<sub>s</sub> Einheiten in
+** Für '''x<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''links'''
-x-Richtung
 * Für den Parameter y<sub>s</sub> gilt:
-** Der Parameter y<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' um '''y<sub>s</sub> Einheiten''' auf der y-Achse
+** Der Parameter y<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' auf der y-Achse
-** Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben''', um y<sub>s</sub> Einheiten in y<sub>s</sub>-Richtung
+** Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben'''
-** Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um y<sub>s</sub> Einheiten in y<sub>s</sub>-Richtung
+** Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten'''
 }}
@@ Zeile 91: / Zeile 76: @@
-<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Übungen zu f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''</u></big></div>
+<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''</u></big></div>
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 <br>
 <br>
-Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war, da man nicht unbedingt den Vorfaktor a bestimmen musste, um die Aufgabe zu lösen.
+Ich nehme an, dass war kein Problem für dich, da man nicht unbedingt den Vorfaktor a bestimmen musste, um die Aufgabe zu lösen.
 Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!
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 Falls du nicht genau weißt wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe!
+Tipp! Die Vorgehensweise ist die selbe wie bei "f(x) = ax<sup>2</sup>".
 Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt.
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 {{versteckt|
 {{Merke|
-Anleitung zur Bestimmung des Parameters a:
+'''Anleitung zur Bestimmung des Parameters a:''' <br>
-* Beginne beim Scheitelpunkt<br>
+* Der Startpunkt zum Bestimmen des Parameters ist der Scheitelpunkt<br>
-→ Gehe eine Einheit nach rechts oder links auf der x-Achse <br>
+* Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br>
-→ Bestimme die Anzahl der Einheiten nach oben oder unten bis zur Parabelkurve <br>
+* Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br>
-→ Die Anzahl der Einheiten gibt den Wert vom Parameter a an <br>
+* Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Parameter a <br>
 * Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br>
 * Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ  <br>
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 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''a] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y <math>=</math> 1[x + 4]<sup>2</sup> - 3 ) (!y <math>=</math> 3[x – 4]<sup>2</sup> + 3 ) (y <math>=</math> 2[x – 4]<sup>2</sup> - 3 )
+'''a] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y <math>=</math> 1[x - 4]<sup>2</sup> - 3 ) (!y <math>=</math> 3[x – 4]<sup>2</sup> + 3 ) (y <math>=</math> 2[x – 4]<sup>2</sup> - 3 )
 </div>
 <br>
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 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)
+'''f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)
-'''f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2''' (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel)(!Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben)
+'''f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2''' (!Die Parabel ist gestaucht)(!Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben)
-'''f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel)
+'''f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)
-'''Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben. Außerdem ist sie enger als die Normalparabel ''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)
+'''Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben. Außerdem ist sie gestreckt ''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)
 </div>
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-Auch bei der Normalform ändert sich nicht viel beim Hinzunehmen des Parameters a.
+Auch bei der Normalform ändert sich nicht viel, wenn der Parameter a dazukommt.
-Wieder kommt es darauf an, die Normalform in die Scheitelpunktsform und umgekehrt zu überführen.
+Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen.
 <br>
 <u>Von der Scheitelpunktsform zur Normalform:</u>
-Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad '''Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c''' gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst vornehmen.
+Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst vornehmen.
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 <u>Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:</u>
-Diese Umformung funktioniert ebenso wie die im Lernpfad '''Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c''' vorgestellte Vorgehensweise. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.
+Diese Umformung funktioniert genauso wie das im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.
 Zur Wiederholung klicke dich durch die folgende Anleitung:<br>
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 <big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
-Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt zur Hand und stell zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf und ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen der den Funktionsgleichungen zu.
+Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt zur Hand und stell zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf und ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den Funktionsgleichungen zu.
 <div class="zuordnungs-quiz">
@@ Zeile 391: / Zeile 378: @@
 '''Lösung:'''<br>
-Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest kannst du sie dir hier anschauen! <br>
+Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen! <br>
 {{Lösung versteckt|
        f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14
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 '''In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man diesen Punkt?'''
 (!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen)
-(!Schnittpunkt mit y-Achse: [0; -2,5])
+(Schnittpunkt mit y-Achse: [0; -2,5])
-(Man kennt den x-Wert und kann durch Einsetzen leicht den y-Wert bestimmen)
+(Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert)
 (Schnittpunkt mit y-Achse: [1; 2,5])
 </div>
@@ Zeile 540: / Zeile 527: @@
 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt ist der Punkt an dem die Parabel die x-Achse schneidet)
+'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)
-'''Diese Funktion ist keine quadratische Funktion:''' (!y <math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>)(y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3 - 5x)(!y <math>=</math> 2x<sup>3</sup> + 2x + 3) (y <math>=</math> 8 + 2x) (!y <math>=</math> [x + 3][x - 3])
+'''Diese Funktion ist keine quadratische Funktion:''' (!y <math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>)(!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3 - 5x)(y <math>=</math> 2x<sup>3</sup> + 2x + 3) (y <math>=</math> 8 + 2x) (!y <math>=</math> [x + 3][x - 3])
-'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 2x gilt:''' (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel schneidet die x-Achse zwei Mal) (Die Parabel ist gestaucht)
+'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 2x gilt:''' (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt)
-'''Für den Graph der Funktion f(x) <math>=</math> -2 [x + 3]<sup>2</sup> - 2 gilt:''' (Der Graph geht nicht durch den Ursprung)(Der Graph ist identisch mit y <math>=</math> -2x<sup>2</sup> -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)
+'''Für den Graph der Funktion f(x) <math>=</math> -2 [x + 3]<sup>2</sup> - 2 gilt:''' (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y <math>=</math> -2x<sup>2</sup> -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)
@@ Zeile 555: / Zeile 542: @@
-'''Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt:''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter e ist positiv) (y <math>=</math> 2[x - 5]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> [x + 6]<sup>2</sup>)
+'''Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt:''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter y<sub>s</sub> ist negativ) (y <math>=</math> 2[x - 5]<sup>2</sup> + 2) (!y <math>=</math> [x + 6]<sup>2</sup> - 1)
 </div>
 <br>

Die Streckung, Stauchung und Spiegelung der Scheitelpunkts- und Normalform: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. Dezember 2009, 04:20 Uhr

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