Eigenschaften der zentrischen Streckung: Unterschied zwischen den Versionen
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*'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes. | *'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes. | ||
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:In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß, | :In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß, | ||
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| − | :Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein: | + | (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue) |
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Version vom 3. Juli 2009, 08:09 Uhr
 Lernpfad
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1. Station: Fixelemente
- Für k
1 gilt:
- Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
- Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.
- Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
- f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.
- Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
- Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind Fixgeraden. Sie werden bei einer zentrischen
- Streckung auf sich selbst abgebildet.
2. Station: Geradentreue und Parallelentreue
- Geradentreue bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
- Parallelentreue liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
- Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
- auf den Punkt P' abgebildet.
- Arbeitsauftrag
- Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.
- Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.
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- Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit
- |k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.
- Arbeitsauftrag:
- Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und AB = A'B' eingezeichnet.
- Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: ZP' = |k| ∙ ZP
| Setze in die Lücken richtig ein:
Das Viereck ZA'B'P' ist ein Parallelogramm. |
Ist die zentrische Streckung parallelentreu? (Ja) (!Nein)
3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue
- Winkeltreue bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
- Ebenso gilt für die Längentreue, dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
- Flächeninhaltstreue liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
- In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
- die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.
- Arbeitsauftrag:
- Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.
Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu? (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue)
- Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?
- Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
A
ABC = 0,5 ∙ AB ∙ h
AA'B'C' = 0,5 ∙ A'B' ∙ h'
AA'B'C' = 0,5 ∙ |k| ∙ AB ∙ |k| ∙ h
AA'B'C' = |k|² ∙ 0,5 ∙ AB ∙ h
AA'B'C' = |k|² ∙ AABC
4. Station: Längenverhältnistreue
- Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
5. Station: Kreistreue
- Kreistreue bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
- Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
6. Station: Zusammenfassung
- Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade.
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist parallelentreu.
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also nicht längentreu.
Jedoch ist sie längenverhältnistreu.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das |k|²-fache des Flächeninhalts der Urfigur. (AA'B'C' = |k|² ∙ AABC)
Die zentrische Streckung ist deshalb nicht flächeninhaltstreu.
