Die quadratische Funktion der Form f(x) = ax²: Unterschied zwischen den Versionen
(Was bewirkt der positive Vorfaktor a bei der quadratischen Funktion) |
(Weiterentwicklung des Lernpfades - Vorfaktor a negativ) |
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'''Auf dieser Seite lernst du die die quadratischen Funktion mit dem Vorfaktor a! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad''' | '''Auf dieser Seite lernst du die die quadratischen Funktion mit dem Vorfaktor a! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad''' | ||
− | *'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven | + | *'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven Parameter a''' |
*'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den negativen Parameter a''' | *'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den negativen Parameter a''' | ||
− | *'''Auswirkungen des Vorfaktors a | + | *'''Auswirkungen des Vorfaktors a auf einen Blick''' |
*'''Aufstellen der Funktionsgleichung ''' | *'''Aufstellen der Funktionsgleichung ''' | ||
*'''Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax² ''' | *'''Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax² ''' | ||
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− | <div align="center"><big><u>'''STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven | + | <div align="center"><big><u>'''STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven Parameter a'''</u></big></div> |
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! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext: | ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext: | ||
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− | | <ggb_applet height="500" width=" | + | | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionpositivea.ggb" /> || |
'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau. <br>* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a. <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder. | '''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau. <br>* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a. <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder. | ||
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** Für '''a < 1''' ist der Graph '''weiter/gestauchter''' als die Normalparabel | ** Für '''a < 1''' ist der Graph '''weiter/gestauchter''' als die Normalparabel | ||
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+ | Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird. | ||
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+ | Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, für den Fall das der Parameter a negativ wird! | ||
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+ | ! Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz: | ||
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+ | | <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionnegativea.ggb" /> || <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
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+ | Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a wenn er negativ wird? | ||
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+ | '''Quiz:''' | ||
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+ | In welche Richtung ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!Parabel ist nicht geöffnet) (!nach oben) (nach unten) | ||
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+ | Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) | ||
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+ | Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Eine Streckung) (!Eine Stauchung) (Eine Streckung oder Stauchung) | ||
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+ | Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Es liegt die identische Normalparabel vor, gespiegelt an der x-Achse) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) | ||
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+ | Für welche negativen a-Werte ist der Graph enger/gestreckter als die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) | ||
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+ | Für welche negativen a ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0) | ||
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+ | {{Merke| | ||
+ | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x²''' mit dem '''negativen''' Faktor a gilt: | ||
+ | * Sie entsteht aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in Richtung der y-Achse | ||
+ | * Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: Kongruente Normalparabel nach unten geöffnet; '''f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x²<math>=</math> -x²''' | ||
+ | * Für '''a < 0''' gilt: | ||
+ | ** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet | ||
+ | ** '''Scheitelpunkt S''' ist '''höchster Punkt''' und liegt im Ursprung <math>S(0\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | ** Für '''a < -1''' ist der Graph '''enger/gestreckter''' als die Normalparabel | ||
+ | ** Für '''a > -1''' ist der Graph '''weiter/gestauchter''' als die Normalparabel | ||
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+ | <div align="center"><big><u>'''STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors a auf einen Blick'''</u></big></div> | ||
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+ | Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!! | ||
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+ | <div align="center"><u>[[Bild: Zusammenfassung-Vorfaktor.jpg|Normalparabel]]</u></div> | ||
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+ | Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen das Memory-Puzzle zu lösen. | ||
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+ | <div class="memo-quiz"> | ||
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+ | | Vorfaktor a ist negativ || Nach unten geöffnete Normalparabel | ||
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+ | | Vorfaktor a ist positiv || Nach oben geöffnete Normalparabel | ||
+ | |- | ||
+ | | a < -1 || enger/gestreckter Graph | ||
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+ | | 0 > a > -1 || weiter/gestauchter Graph | ||
+ | |- | ||
+ | | a > 1 || Graph ist enger/gestreckter | ||
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+ | | 0 < a < 1 || Graph ist weiter geöffnet | ||
+ | |- | ||
+ | | Scheitelpunkt S für negativen Parameter a || höchster Punkt, liegt im Ursprung | ||
+ | (0, 0) | ||
+ | |- | ||
+ | | Scheitelpunkt S für positiven Parameter a || tiefster Punkt, liegt im Ursprung | ||
+ | (0, 0) | ||
+ | |- | ||
+ | | Der Vorfaktor a bewirkt eine… || Streckung oder Stauchung der Normalparabel | ||
+ | |} | ||
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+ | </div> |
Version vom 12. Juli 2009, 19:36 Uhr
Lernpfad
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Wie schon am Ende der Lerneinheit „Normalparabel“ angekündigt, werden wir die Normalparabel nun um einen Parameter erweitern.
Es kommt jetzt der Parameter a als „Vorfaktor“ hinzu, wodurch folgende Funktionsgleichung entsteht:
f(x)= ax²
Bearbeite das folgende "Prettytable":
Quadratische Funktion f(x)ax2 | Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
---|---|
Hinweise:
Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in Richtung der y-Achse. |
Für die quadratische Funktion f(x) ax² mit dem positiven Faktor a gilt:
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Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.
Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, für den Fall das der Parameter a negativ wird!
Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a: | Aufgabe und Quiz: |
---|---|
Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a wenn er negativ wird? Quiz: In welche Richtung ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!Parabel ist nicht geöffnet) (!nach oben) (nach unten) Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Eine Streckung) (!Eine Stauchung) (Eine Streckung oder Stauchung) Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Es liegt die identische Normalparabel vor, gespiegelt an der x-Achse) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) Für welche negativen a-Werte ist der Graph enger/gestreckter als die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) Für welche negativen a ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0) |
Für die quadratische Funktion f(x) ax² mit dem negativen Faktor a gilt:
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Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
Aufgabe:
Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen das Memory-Puzzle zu lösen.
Vorfaktor a ist negativ | Nach unten geöffnete Normalparabel |
Vorfaktor a ist positiv | Nach oben geöffnete Normalparabel |
a < -1 | enger/gestreckter Graph |
0 > a > -1 | weiter/gestauchter Graph |
a > 1 | Graph ist enger/gestreckter |
0 < a < 1 | Graph ist weiter geöffnet |
Scheitelpunkt S für negativen Parameter a | höchster Punkt, liegt im Ursprung
(0, 0) |
Scheitelpunkt S für positiven Parameter a | tiefster Punkt, liegt im Ursprung
(0, 0) |
Der Vorfaktor a bewirkt eine… | Streckung oder Stauchung der Normalparabel |