Doppelte Invertierung eines Gruppenelements/Shoes and Socks: Unterschied zwischen den Versionen

Aus DMUW-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „==Aussage== Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Gruppe (d.h. abgeschlossene zweistellige Verknüpfung, Assoziativität, neutrales Element, inverse Elemente), dann…“)

Version vom 26. November 2018, 15:40 Uhr

Aussage

Sei (G,\cdot) eine Gruppe (d.h. abgeschlossene zweistellige Verknüpfung, Assoziativität, neutrales Element, inverse Elemente), dann gilt für alle x, a, b \in G :

Shoes and Socks 1.jpg

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

Shoes and Socks 2.jpg


2. Shoes and Socks

Shoes and Socks 3.jpg


Aspekte

  • Wir können die beiden Aussagen auch nachrechnen:
Shoes and Socks 4.jpg
Wir haben gezeigt, dass (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e , d.h. a \cdot b ist ein linksinverses Element von  :b^{-1} \cdot a^{-1} und b^{-1} \cdot a^{-1} ist ein rechtsinverses Element von a \cdot b .
Wir wissen mit der Aussage über die Abschwächung der Gruppendefinition, dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und :linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.
Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass das Gruppenelement b^{-1} \cdot a^{-1} das einzige zu a \cdot b inverse Element ist.
  • Genauso gilt:
Shoes and Socks 4.jpg
Wir können die Aussage so lesen: x ist linksinvers zu x^{-1} . Genauso gilt aber auch: x^{-1} ist rechtsinvers zu x .
Von „http://dmuw.zum.de/index.php?title=Doppelte_Invertierung_eines_Gruppenelements/Shoes_and_Socks&oldid=32087“