Doppelte Invertierung eines Gruppenelements/Shoes and Socks: Unterschied zwischen den Versionen

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Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Gruppe (d.h. abgeschlossene zweistellige Verknüpfung, Assoziativität, neutrales Element, inverse Elemente), dann gilt für alle <math> x, a, b \in G </math>:
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Sei <math>(G,\cdot)</math> eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle <math> x, a, b \in G </math>:
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*Wir können die beiden Aussagen auch nachrechnen:
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*Wir können die können die Aussage (2) auch nachrechnen:
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:Wir haben gezeigt, dass <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> a \cdot b </math> ist ein linksinverses Element von  <math> :b^{-1} \cdot a^{-1} </math> und <math> b^{-1} \cdot a^{-1} </math> ist ein rechtsinverses Element von  <math> a \cdot b </math>.
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:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (a \cdot b) </math> ist ein linksinverses Element von  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> und <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von  <math> (a \cdot b) </math>.
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:Wir wissen mit der Aussage über die [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]], dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und :linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.
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:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.
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:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass das Gruppenelement <math> b^{-1} \cdot a^{-1} </math> das einzige zu <math> a \cdot b </math> inverse Element ist.
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:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass das Gruppenelement <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b </math>) inverse Element ist.
  
 
*Genauso gilt:
 
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:Wir können die Aussage so lesen: <math> x </math> ist linksinvers zu <math> x^{-1} </math>. Genauso gilt aber auch: <math> x^{-1} </math> ist rechtsinvers zu <math> x </math>.
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:Wir können die Aussage so lesen: <math> x </math> ist linksinvers zu <math> x^{-1} </math>. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: <math> x^{-1} </math> ist rechtsinvers zu <math> x </math>.
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:Also ist <math> x </math> ist
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*Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen". Erst "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.
  
  
  
 
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Version vom 26. November 2018, 18:45 Uhr

Aussage

Sei (G,\cdot) eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle x, a, b \in G :

Shoes and Socks 1.jpg

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

Shoes and Socks 2.jpg


2. Shoes and Socks

Shoes and Socks 3.jpg


Aspekte

  • Wir können die können die Aussage (2) auch nachrechnen:
Shoes and Socks 4.jpg
Somit ist (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e , d.h. (a \cdot b) ist ein linksinverses Element von (b^{-1} \cdot a^{-1}) und (b^{-1} \cdot a^{-1}) ist ein rechtsinverses Element von (a \cdot b) .
Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.
Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass das Gruppenelement (b^{-1} \cdot a^{-1}) das einzige zu (a \cdot b ) inverse Element ist.
  • Genauso gilt:
Shoes and Socks 5.jpg
Wir können die Aussage so lesen: x ist linksinvers zu x^{-1} . Genauso können wir die Aussage auch so lesen: x^{-1} ist rechtsinvers zu x .
Also ist x ist
  • Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man a für "Socken anziehen" und b für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen". Erst "Schuhe ausziehen" b^{-1} und dann "Socken ausziehen" a^{-1} .
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