Doppelte Invertierung eines Gruppenelements/Shoes and Socks: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. November 2018, 20:03 Uhr

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle $x, a, b \in G$ :

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

2. Shoes and Socks

Aspekte

Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:

Somit ist $(a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e$ , d.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ ist ein rechtsinverses Element von $(a \cdot b)$ .

Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ muss auch linksinverses Element von $(a \cdot b)$ sein.

Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ das einzige zu $(a \cdot b$ ) inverse Element.

Genauso gilt:

Wir können die Aussage so lesen: $x$ ist linksinvers zu $x^{-1}$ . Genauso können wir die Aussage auch so lesen: $x^{-1}$ ist rechtsinvers zu $x$ .

Also ist $x$ das inverse Element von $x^{-1}$ , denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben.

Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man $a$ für "Socken anziehen" und $b$ für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" $b^{-1}$ und dann kann man die "Socken ausziehen" $a^{-1}$ .

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 ==Aspekte==
-*Wir können die können die Aussage (2) auch nachrechnen:
+*Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:
 [[Datei:Shoes and Socks 4.jpg|center|700px]]
-:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (a \cdot b) </math> ist ein linksinverses Element von  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> und <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von  <math> (a \cdot b) </math>.
+:Somit ist <math> (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e </math>, d.h.  <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> ist ein rechtsinverses Element von <math> (a \cdot b) </math>.
-:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.
+:Wir wissen (siehe [[Abschwächung der Gruppendefinition|Abschwächung der Gruppendefinition]]), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> muss auch linksinverses Element von   <math> (a \cdot b) </math> sein.
-:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass das Gruppenelement <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b </math>) inverse Element ist.
+:Genauso wissen wir mit der Aussage über die [[Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe|Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe]], dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist <math> (b^{-1} \cdot a^{-1}) </math> das einzige zu <math> (a \cdot b </math>) inverse Element.
 *Genauso gilt:
-[[Datei:Shoes and Socks 5.jpg|center|300px]]
+[[Datei:Shoes and Socks 5.jpg|center|200px]]
 :Wir können die Aussage so lesen: <math> x </math> ist linksinvers zu <math> x^{-1} </math>. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: <math> x^{-1} </math> ist rechtsinvers zu <math> x </math>.
-:Also ist <math> x </math> ist
+:Also ist <math> x </math> das inverse Element von <math> x^{-1} </math>, denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben.
-*Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen". Erst "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.
+*Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man <math> a </math> für "Socken anziehen" und <math> b </math> für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" <math> b^{-1} </math> und dann kann man die "Socken ausziehen" <math> a^{-1} </math>.
 [[Kategorie:Beweis Gruppe|Beweis]]

Doppelte Invertierung eines Gruppenelements/Shoes and Socks: Unterschied zwischen den Versionen

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