Zerlegungsgleichheit von Figuren

Zerlegungsgleichheit von Figuren

Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?

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Aufgabenstellung:

Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen.

• Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
• Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.
• Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?

Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:

Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)

Begründe Deine Antwort, warum ist diese Insel die größte?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.

Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.

Figuren, die mit der gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren zerlegen. Da die Inseln A und C in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch zerlegungsgleich,

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2.Station: Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit

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Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt. Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren. Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen. Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F1 bis F5 zusammen. Ergänze die fehlenden Felder FQuadrat = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 =FSechseck Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!

Nils fasst hier Dein Ergebnis kurz zusammen. Übertrage es in Dein Heft:

Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren. Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können

Maja möchte Dir auch noch etwas sagen:

Das ist ja klasse! Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen. Der Flächeninhalt dieser beiden Figuren ändert sich dabei aber nicht. Somit können wir feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen, obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!

Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:

Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?

Bist Du sicher,dass Du den Hinweis brauchst?
Hier findest du den Hinweis

3. Station: Zusammenfassung

Übertrage folgende Definition in Dein Heft:

Zerlegungsgleichheit von Figuren Zwei Figuren sind zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können. Beispiel: Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt

4.Station: Anwendung

Maja weiß jetzt, wozu man die Zerlegungsgleichheit von Figuren nutzen kann. Lies, was sie Dir erzählen möchte:

Ich weiß bereits, wie man den Flächeninhalt von Quadraten berechnet, wenn die Seitenlänge gegeben ist. Ist die Seitenlänge des Quadrates a, so ist der Flächeninhalt FQuadrat=a² Da das nebenstehende Sechseck zerlegungsgleich zum Quadrat ist und damit den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat besitzt. kennen wir auch den Flächeninhalt des Sechsecks. Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.

Aufgabe 1

Begründe, warum die folgenden Figuren A und B den gleichen Flächeninhalt besitzen:

Aufgabe 2: Ergänzungsgleiches Parallelogramme

• Maja zerschneidet das Parallelogramm ABCD entlang den roten Linien.
• [BD] ist die Diagonale, [FK] eine Parallele zur Seite [BC] und [LM] eine Parallele zu [AB]
• Die roten Strecken schneiden sich im Punkt S

" Die beiden enstehenden Teilparallelogramme AFSL und MCKS besitzen den gleichen Flächeninhalt!"

Hat Nils Recht?

Orientiere Dich dabei an den Fragen:

1. Welches Parallelogramm halbiert die Diagonale?

	Die Diagonale halbiert das Parallelogramm ABCD
	Die Diagonale halbiert das Parallelogramm MCKS
	Die Diagonale halbiert das Parallelogramm BMFS
	Die Diagonale halbiert das Parallelogramm BMLA
	Die Diagonale halbiert das Parallelogramm SKDL

2. Welche Dreiecke sind kongruent zueinander?

	Dreieck BCD und Dreieck BAD
	Dreieck SKD und Dreieck BAD
	Dreieck BMS und Dreieck SLD
	Dreieck BMS und Dreieck BFS
	Dreieck SKD und Dreieck SLD

Punkte: 0 / 0

Fülle nun den Lückentext aus:

Die Dreiecke BMS und BFS, sowie die beiden Dreiecke SKD und SLD sind kongruent zueinander.
Entfernt man diese Teildreiecke von den kongruenten Dreiecken BAD und BCD, so haben die Restfiguren AFSL und MCKS den gleichen Flächeninhalt.

Hatte Nils nun Recht?

1. Die Parallelogramme besitzen den gleichen Flächeninhalt, Nils hatte mit seiner Aussage Recht.

	ja
	nein

Punkte: 0 / 0

Aufgabe 3: Ergänzungsgleiche Figuren

Zwei Rechtecken mit der Länge 10cm und der Breite 4cm ist ein Quadrat und ein Parallelogramm einbeschrieben.

Was haben Quadrat und Parallelogramm gemeinsam?

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Überlege, wie man das linke und das rechte Rechteck geeignet zerlegen kann.

1. Haben Quadrat und Parallelogramm den gleichen Umfang?

	ja
	nein

2. Besitzen Quadrat und Parallelogramm den gleichen Flächeninhalt?

	ja
	nein

3. Sind Quadrat und Parallelogramm ergänzungsgleiche Figuren?

	ja
	nein

4. Sind Quadrat und Parallelogramm zerlegungsgleich?

	nein
	ja

Punkte: 0 / 0

Bist Du ganz sicher, dass Du den Hinweis brauchst?

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