Station 7

Station 7

Aufgabe 1

Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.

( I ) 3x + 7y = - 30    und    ( II ) - 5x - 7y = 22                 

Addiere nun die Gleichung ( I ) und ( II )

( I ) + ( II ) :

( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22

Nun kannst du die Gleichung wieder nach x auflösen.

( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y )	=	-30 + 22
3x - 5x	=	-8
-2x	=	-8
x	=	4

Nun musst du den x - Wert wieder in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen, um y rauszufinden.

3x + 7y	=	- 30
3 * 4 + 7y	=	- 30
12 + 7y	=	- 30
7y	=	- 42
y	=	-6

Mache nun die Probe, indem du den x - und y - Wert in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Gleichung ( I ) :

3x + 7y	=	- 30
3 * 4 (x - Wert) + 7 * - 6 (y - Wert)	=	- 30
12 (ausmultipliziert) - 42	=	- 30
- 30	=	- 30

Gleichung ( II ):

-5x - 7y	=	22
-5 * 4 (x - Wert) - 7 * - 6 (y - Wert)	=	22
-20 + 42 (ausmultipliziert)	=	22
22	=	22

Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( 4 (x - Wert)| -6 (y - Wert) ) }

 

Aufgabe 2

Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Varaible wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.

Beispiel: (I) 2x + 3y = 134 und (II) 3x + 5y = 221

               wir multiplizieren die Gleichung (I) mit 3 und die Gleichung (II) mit -2
                      
                (I) 2x + 3y = 134 | * 3
               (II) 3x + 5y = 221 | * (-2)

           dies ergibt (I) 6x + 9y = 402
                      (II) -6x - 10y = -442

         Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Varaible x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!

Zuordnung
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!

( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) 2x + 6y = 6	( II ) * (-2)	( I ) 16x + 12y = 68    und    ( II ) -4x - 12y = -12
( I ) 11x - 5y = -3    und    ( II ) -9x + 4y = 2	( I ) * 4 und ( II ) * 5	( I ) 44x - 20y = -12    und    ( II ) -45 x + 20y = 10
( I ) -5x + 6y = 41    und    ( II ) 3x - 8y = -73	( I ) * 4 und ( II ) * 3	( I ) -20x + 24y = 164    und    ( II ) 9x - 24y = -219

Das Additionsverfahren! Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen. Hierbei addierst du die beiden Gleichungen mit dem Ziel, dass eine Variable herausfällt, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen. Um dies zu erreichen kannst du die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation oder Division so umformen, dass durch Addition eine Variable herausfällt. Den Wert der anderen Variablen kannst du berechnen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt. Wenn du dann noch die Probe gemacht hast, kannst du die Lösungsmenge angeben.

→ auf zur letzten Station

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 6