Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Aufgabe   Konstruiere die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion f(x) = ax Gehe dabei folgendermaßen vor: spiegle den Punkt P an der 1.Mediane y = x (Spiegle Objekt an Geraden). Der dadurch erzeugte Punkt heißt P'. Zeige mit einem Rechtsklick seine Beschriftung an. Zeichne eine Strecke von P nach P' ein. Zeichne den Graph der Umkehrfunktion als Ortslinie von P' (Befehl Ortslinie[P',P] ) Verändere die Basis a und bewege den Punkt P auf dem Graphen der Exponentialfunktion. Beobachte das Verhalten der beiden Funktionsgraphen und beschreibe in eigenen Worten, was dir auffällt (Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie).

Aufgabe   In der obigen Lösung wird bei der Exponentialfunktion f(x) = ax für die Basis a = 1 auch die gespiegelte Gerade gezeichnet. Begründe, warum es sich bei dieser Kurve aber um keinen Graph einer Funktion handeln kann.

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion hat eine große Bedeutung in der Mathematik und in den Naturwissenschaften und trägt die Bezeichnung Logarithmusfunktion.

Merke: Eine Funktion f: R+ → R, f(x) = logax heißt Logarithmusfunktion zur Basis a (a∈R+\{1})

Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen

Da das Logarithmieren die Umkehroperation zum Exponenzieren ist, ist dementsprechend die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zur Exponentialfunktion. Der Graph einer Logarithmusfunktion geht durch Spiegeln an der 1.Mediane aus dem Graphen der entsprechenden Exponentialfunktion hervor.

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Der Graph der Exponentialfunktion y = 1^x = 1 geht durch Spiegelung in eine senkrechte Gerade über, die kein Graph einer Funktion ist. Bei einer Funktion muss jedem x-Wert stets eindeutig ein y-Wert zugeordnet werden, und dies ist hier nicht der Fall.