Eigenschaften der zentrischen Streckung

Lernpfad Eigenschaften der zentrischen Streckung

1. Station: Fixelemente

Für k$\not=$1 gilt:

Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird. Deshalb sind

alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen Fixgeraden. Sie werden bei einer zentrischen Streckung

auf sich selbst abgebildet.

2. Station: Geradentreue und Parallelentreue

• Geradentreue bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
• Parallelentreue liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.

Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z

auf den Punkt P' abgebildet.

Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt. Was stellst du fest?

Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.

3. Station: Längentreue, Winkeltreue und Flächeninhaltstreue

• Längentreue bedeutet, wenn alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
• Ebenso gilt für die Winkeltreue, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
• Flächeninhaltstreue liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.

In diesem Applet siehst du ein zentrisch gestrecktes Dreieck. Lass dir das Winkelmaß, die Streckenlängen und

den Flächeninhalt nacheinander anzeigen. Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaft zutrifft.

Durch Umformung kannst du herausfinden, wie der Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks zu berechnen ist.

Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:

A_$\Delta$ABC = 0,5 ∙ AB ∙ h
A_{$\Delta$A'B'C'} = 0,5 ∙ A'B' ∙ h'
A_{$\Delta$A'B'C'} = 0,5 ∙ |k| ∙ AB ∙ |k| ∙ h
A_{$\Delta$A'B'C'} = |k|² ∙ 0,5 ∙ AB ∙ h
A_{$\Delta$A'B'C'} = |k|² ∙ A_$\Delta$ABC

4. Station: Längenverhältnistreue

Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.

5.. Station: Kreistreue

Kreistreue bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.

Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch strecken. Finde heraus, ob die zentrische Streckung kreistreu ist.

6. Station: Zusammenfassung

Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.

Eigenschaften der zentrischen Streckung
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade.
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist parallelentreu.
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also nicht längentreu.
Jedoch ist sie längenverhältnistreu.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das |k|²-fache des Flächeninhalts der Urfigur. (A_{$\Delta$A'B'C'} = |k|² ∙ A_$\Delta$ABC)
Die zentrische Streckung ist deshalb nicht flächeninhaltstreu.