Eigenschaften der zentrischen Streckung

Lernpfad

Eigenschaften der zentrischen Streckung

1. Station: Fixelemente

Für k $\not=$ 1 gilt:

Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.

Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.

Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:

f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.

Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:

Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind Fixgeraden. Sie werden bei einer zentrischen

Streckung auf sich selbst abgebildet.

Weiter zur 2. Station

2. Station: Geradentreue und Parallelentreue

Geradentreue bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
Parallelentreue liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.

Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z

auf den Punkt P' abgebildet.

Arbeitsauftrag

Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.

Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.

Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit

|k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.

Arbeitsauftrag:

Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und AB = A'B' eingezeichnet.

Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: ZP' = |k| ∙ ZP

Setze in die Lücken richtig ein:

Das Viereck ZA'B'P' ist ein Parallelogramm.
Mit ZP' = A'B' und ZP = AB. Daraus folgt durch einsetzen in die Gleichung zur in Schritt 2: A'B' = |k| ∙ AB

Ist die zentrische Streckung parallelentreu? (Ja) (!Nein)

3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue

Winkeltreue bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
Ebenso gilt für die Längentreue, dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
Flächeninhaltstreue liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.

In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,

die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.

Arbeitsauftrag:

Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.

Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu? (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue)

Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?

Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:

A_ABC = 0,5 ∙ AB ∙ h
A_A'B'C' = 0,5 ∙ A'B' ∙ h'
A_A'B'C' = 0,5 ∙ |k| ∙ AB ∙ |k| ∙ h
A_A'B'C' = |k|² ∙ 0,5 ∙ AB ∙ h
A_A'B'C' = |k|² ∙ A_ABC

4. Station: Längenverhältnistreue

Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.

Arbeitsauftrag:

Berechne den Streckungsfaktor k.
Berechne $\overline{A'P'}$ und $\overline{P'B'}$ .
Berechne ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ und ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ . Runde auf 2 Nachkommastellen.

Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an:

Warum ist ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ = ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ ?

Für $\overline{AP}$ kann man auch |k| ∙ $\overline{A'P'}$ und für $\overline{PB}$ kann man |k| ∙ $\overline{P'B'}$ einsetzen.
Daraus folgt: ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ = ${{|k|}\over{|k|}}$ ∙ ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ . |k| kann man rauskürzen, so dass ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ = ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ gilt.

Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu? (Ja) (!Nein)

5. Station: Kreistreue

Kreistreue bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.

Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus,

ob die zentrische Streckung kreistreu ist.

Es gilt: $\overline{PM}$ = r
Deshalb kann man schreiben: $\overline{P'M'}$ = |m| ∙ $\overline{PM}$ = r'
Der Bildpunkt P' liegt auf dem Kreis k' um M' mit Radius r' = |m| ∙ r.

Ist die zentrische Streckung kreistreu? (Ja) (!Nein)

6. Station: Zusammenfassung

Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.

Eigenschaften der zentrischen Streckung
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade.
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist parallelentreu.
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also nicht längentreu.
Jedoch ist sie längenverhältnistreu.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das |k|²-fache des Flächeninhalts der Urfigur. (A_A'B'C' = |k|² ∙ A_ABC)
Die zentrische Streckung ist deshalb nicht flächeninhaltstreu.

7. Station: Übung

Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren:

Zeichne ein Koordinatensystem $(0 \le x \le 14 ; -3 \le y \le 6)$ mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft.
(Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.)

Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab.
Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'.
Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst.

Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:

Eigenschaften der zentrischen Streckung