Die quadratische Funktion der Form f(x) = ax²
Lernpfad
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Wie schon am Ende der Lerneinheit „Normalparabel“ angekündigt, werden wir die Normalparabel nun um einen Parameter erweitern.
Es kommt jetzt der Parameter a als „Vorfaktor“ hinzu, wodurch folgende Funktionsgleichung entsteht:
f(x)= ax²
Bearbeite das folgende "Prettytable":
Quadratische Funktion f(x)ax2 | Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
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Hinweise:
Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in Richtung der y-Achse. |
Für die quadratische Funktion f(x) ax² mit dem positiven Faktor a gilt:
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Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.
Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, für den Fall das der Parameter a negativ wird!
Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a: | Aufgabe und Quiz: |
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Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a wenn er negativ wird? Quiz: In welche Richtung ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!Parabel ist nicht geöffnet) (!nach oben) (nach unten) Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Eine Streckung) (!Eine Stauchung) (Eine Streckung oder Stauchung) Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Es liegt die identische Normalparabel vor, gespiegelt an der x-Achse) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) Für welche negativen a-Werte ist der Graph enger/gestreckter als die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) Für welche negativen a ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0) |
Für die quadratische Funktion f(x) ax² mit dem negativen Faktor a gilt:
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Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
Aufgabe:
Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen das Memory-Puzzle zu lösen.
Vorfaktor a ist negativ | Nach unten geöffnete Normalparabel |
Vorfaktor a ist positiv | Nach oben geöffnete Normalparabel |
a < -1 | enger/gestreckter Graph |
0 > a > -1 | weiter/gestauchter Graph |
a > 1 | Graph ist enger/gestreckter |
0 < a < 1 | Graph ist weiter geöffnet |
Scheitelpunkt S für negativen Parameter a | höchster Punkt, liegt im Ursprung
(0, 0) |
Scheitelpunkt S für positiven Parameter a | tiefster Punkt, liegt im Ursprung
(0, 0) |
Der Vorfaktor a bewirkt eine… | Streckung oder Stauchung der Normalparabel |
Bisher hast du ja immer den Wert des Vorfaktors a an der Grafik ablesen können. Nun wollen wir mal schauen wie man anhand eines Graphen den Parameter a bestimmt.
Betrachte hierfür die dargestellte Grafik und versuche mit Hilfe der gemachten Angaben die Funktionsgleichung selbstständig aufzustellen:
Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a: | Aufgabe und Quiz: |
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1. Lies die Koordinaten eines frei gewählten Punktes.
A) f(x) = 5x² B) f(x) = 2x² C) f(x) = 3x²
f(x) 2x2
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Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Parameters a verstanden hast, versuche die nächste Übung zu lösen.
Übung:
Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!
Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!