Die quadratische Funktion der Form f(x) = ax²
Lernpfad
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Wie schon am Ende der Lerneinheit „Normalparabel“ angekündigt, werden wir die Normalparabel nun um einen Parameter erweitern.
Es kommt jetzt der Parameter a als „Vorfaktor“ hinzu, wodurch folgende Funktionsgleichung entsteht:
f(x)= ax²
Bearbeite das folgende "Prettytable":
Quadratische Funktion f(x)ax2 | Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
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Hinweise:
Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in Richtung der y-Achse. |
Für die quadratische Funktion f(x) ax² mit dem positiven Faktor a gilt:
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Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.
Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, für den Fall das der Parameter a negativ wird!
Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a: | Aufgabe und Quiz: |
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Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a wenn er negativ wird? Quiz: In welche Richtung ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!Parabel ist nicht geöffnet) (!nach oben) (nach unten) Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Eine Streckung) (!Eine Stauchung) (Eine Streckung oder Stauchung) Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Es liegt die identische Normalparabel vor, gespiegelt an der x-Achse) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) Für welche negativen a-Werte ist der Graph enger/gestreckter als die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) Für welche negativen a ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0) |
Für die quadratische Funktion f(x) ax² mit dem negativen Faktor a gilt:
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Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
Aufgabe:
Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen das Memory-Puzzle zu lösen.
Vorfaktor a ist negativ | Nach unten geöffnete Normalparabel |
Vorfaktor a ist positiv | Nach oben geöffnete Normalparabel |
a < -1 | enger/gestreckter Graph |
0 > a > -1 | weiter/gestauchter Graph |
a > 1 | Graph ist enger/gestreckter |
0 < a < 1 | Graph ist weiter geöffnet |
Scheitelpunkt S für negativen Parameter a | höchster Punkt, liegt im Ursprung
(0, 0) |
Scheitelpunkt S für positiven Parameter a | tiefster Punkt, liegt im Ursprung
(0, 0) |
Der Vorfaktor a bewirkt eine… | Streckung oder Stauchung der Normalparabel |
Bisher hast du ja immer den Wert des Vorfaktors a an der Grafik ablesen können. Nun wollen wir mal schauen wie man anhand eines Graphen den Parameter a bestimmt.
Betrachte hierfür die dargestellte Grafik und versuche mit Hilfe der gemachten Angaben die Funktionsgleichung selbstständig aufzustellen:
Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a: | Aufgabe und Quiz: |
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1. Lies die Koordinaten eines frei gewählten Punktes.
A) f(x) = 5x² B) f(x) = 2x² C) f(x) = 3x²
f(x) 2x2
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Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Parameters a verstanden hast, versuche die nächste Übung zu lösen.
Übung:
Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!
Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!
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1. Aufgabe:
Für diese Aufgabe hast du eine Parabel aus dem Alltag vorgegeben. Du siehst hier einen Ausschnitt einer Kirche und die Parabelform die hier vorkommt, sie ist schwarz eingezeichnet. Stelle hierfür eine Funktionsgleichung auf:
Lösung:
- Deine Lösung für a sollte ungefähr 0,1 betragen
- Hattest du Probleme mit dem Finden des Parameters a, dann geh nochmal zurück zu Station 4