Shoes and Socks

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle $x, a, b \in G$:

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

2. Shoes and Socks

Aspekte

• Wir können die können die Aussage (2) auch nachrechnen:

Somit ist $(a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e$, d.h. $(a \cdot b)$ ist ein linksinverses Element von $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ und $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ ist ein rechtsinverses Element von $(a \cdot b)$.

Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. Sobald das eine gegeben ist, dann ist auch das andere gegeben.

Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass das Gruppenelement $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ das einzige zu $(a \cdot b$) inverse Element ist.

• Genauso gilt:

Wir können die Aussage so lesen: $x$ ist linksinvers zu $x^{-1}$. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: $x^{-1}$ ist rechtsinvers zu $x$.

Also ist $x$ ist

• Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man $a$ für "Socken anziehen" und $b$ für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen". Erst "Schuhe ausziehen" $b^{-1}$ und dann "Socken ausziehen" $a^{-1}$.