Shoes and Socks
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Version vom 26. November 2018, 21:03 Uhr von Kilian Schoeller (Diskussion | Beiträge)
Aussage
Sei eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle :
Beweis
1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements
2. Shoes and Socks
Aspekte
- Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:
- Somit ist , d.h. ist ein rechtsinverses Element von .
- Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. muss auch linksinverses Element von sein.
- Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist das einzige zu ) inverse Element.
- Genauso gilt:
- Wir können die Aussage so lesen: ist linksinvers zu . Genauso können wir die Aussage auch so lesen: ist rechtsinvers zu .
- Also ist das inverse Element von , denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben.
- Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man für "Socken anziehen" und für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" und dann kann man die "Socken ausziehen" .