Shoes and Socks

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe (abgeschlossene zweistellige Verknüpfung + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann gilt für alle $x, a, b \in G$:

Beweis

1. Doppelte Invertierung eines Gruppenelements

2. Shoes and Socks

Aspekte

• Wir können die Aussage (2) auch nachrechnen:

Somit ist $(a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = e$, d.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ ist ein rechtsinverses Element von $(a \cdot b)$.

Wir wissen (siehe Abschwächung der Gruppendefinition), dass in einer Gruppe die Begriffe rechts- und linksinvers zusammenfallen. D.h. $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ muss auch linksinverses Element von $(a \cdot b)$ sein.

Genauso wissen wir mit der Aussage über die Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe, dass ein inverses Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt ist. Somit ist $(b^{-1} \cdot a^{-1})$ das einzige zu $(a \cdot b$) inverse Element.

• Genauso gilt:

Wir können die Aussage so lesen: $x$ ist linksinvers zu $x^{-1}$. Genauso können wir die Aussage auch so lesen: $x^{-1}$ ist rechtsinvers zu $x$.

Also ist $x$ das inverse Element von $x^{-1}$, denn ist ein Gruppenelement linksinvers zu einem anderen, dann auch rechtsinvers zu diesem. Also ein inverses Element. Es kann aber nur ein inverses Element geben.

• Shoes and Socks: Die zweite Aussage kann man sich gut merken. Wenn man $a$ für "Socken anziehen" und $b$ für "Schuhe anziehen" nimmt. Dann ist die "inverse Operation" zu "Socken und Schuhe anziehen": "Socken und Schuhe ausziehen". Aber bevor man die Socken ausziehen kann, muss man zuerst die "Schuhe ausziehen" $b^{-1}$ und dann kann man die "Socken ausziehen" $a^{-1}$.