Abschwächung der Gruppendefinition

Aussage

Sei $(G,\cdot)$ eine Halbgruppe (d.h. Zweistellige Verknüpfung + Abgeschlossenheit + Assoziativität). Hat G hat ein rechtsneutrales Element $e$ und rechtsinverse Elemente $x^{-1}$. Dann sind die rechtsinversen Elemente auch linksinvers und das rechtsneutrale Element auch linksneutral.

Erklärungen

Die Halbgruppe hat ein rechtsneutrales Element, d.h. es existiert ein Element in G (welches wir mit $e$ bezeichnen), sodass $\forall g \in G$ gilt $g \cdot e = e$. Diese Gleichung muss für alle Elemente aus G gelten, also auch für $e$ selbst, also gilt insbesondere $e \cdot e = e$. (man sagt e ist idempotent, in Körpern gilt z.B. $0 \cdot 0 = 0$, also ist 0 in Körpern idempotent).

Die Halbgrupe hat rechtsinverse Elemente $x^{-1}$, d.h. $\forall x \in G$ $\exists x^{-1} \in G \text{ mit } x \cdot x^{-1} = e$. Wobei e ein neutrales Element ist. Um von inversen Elementen in einer Gruppe zu sprechen, muss es also auch ein neutrales Element geben, sonst ergibt es keinen Sinn von inversen Elementen zu sprechen. Das inverse Element zu $x$ ist abhängig von $x$, wenn man ein anderes Element aus der Gruppe wählt, dann ist das inverse Element auch ein anderes. (Sodukoregel in Gruppen)

Beweis

Die Aussage enthält zwei Teilaussagen, die wir nacheinander beweisen:

1. Die rechtsinversen Elemente sind auch linksinvers.

2. Ein rechtsneutrales Element ist auch linksneutral.

Aspekte

• An gewissen Stellen in den Umformungen sind Klammern weggelassen worden. Denn wir wissen, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Es gilt also:

Jede mögliche Klammerung darf gewählt werden. Denn jede mögliche Klammerung bildet auf dasselbe Element ab.

• Für ein Produkt endlich vieler Faktoren ist jede Klammerung äquivalent zu jeder anderen. (Verallgemeinertes Assoziativgesetz).

Zum Beispiel betrachten wir im Beweis der Teilaussage (1) ein Produkt von vier Faktoren. Hier verwenden wir, dass jede beliebige Klammerung äquivalent zu einer anderen frei wählbaren Klammerung ist. Das verallgemeinerte Assoziativgesetz kann induktiv gezeigt werden.

• Wir haben beim Beweis der Teilaussage (1) in den einzelnen Schritten sowohl, dass ein rechtsneutrales Element existiert, als auch, dass rechtsinverse Elemente existieren, verwendet. Ebenso die Assoziativität. Es werden also alle gemachten Vorraussetzungen verwendet.
  

• Falls eine Halbgruppe ein linksneutrales Element und linksinverse Elemente enthält, kann analog gefolgert werden, dass ein linksneutrales Element auch rechtsneutral ist und, dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers sind.
  

• Da links- und rechtsinvers in einer Gruppe zusammenfällt, fassen wir diese zwei Eigenschaften unter dem Begriff invers zusammen und sagen: Es existieren inverse Elemente.
  

• Genauso ist ein rechtsneutrales Element in einer Gruppe auch immer linksneutral. Wir fassen auch hier zusammen und sagen: Es existiert ein neutrales Element.

• In in den Umformungen der Teilaussage (2) verwenden wir, dass ein rechtsinverses Element auch linksinvers ist. Deswegen ist es gut und auch Absicht, dass wir zuerst (1) bewiesen haben, da wir in Teilaussage (2) die Teilaussage (1) verwenden.
  

• G hat rechtsinverse Elemente, d.h. zu jedem Element $x \in G$ existiert ein Element aus G, welches wir mit $x^{-1}$ bezeichnen und für dieses gilt: $x \cdot x^{-1} = e$.
  

$x^{-1}$ ist ein Element aus G. D.h. auch für dieses Element muss es ein rechtsinverses Element geben. Dieses bezeichnen wir mit $(x^{-1})^{-1}$. Es stellt sich heraus, dass $(x^{-1})^{-1} = x$ .

(Doppelte Invertierung eines Gruppenelements)

• $a \cdot b$ ist auch ein Element aus G, weil die Verknüpfung $\cdot$ wieder nach G abbildet (Abgeschlossenheit/ innere Verknüpfung). Also muss es auch ein inverses Element zu $a \cdot b$ geben. Es stellt sich heraus, dass $(a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}$.

(Shoes and Socks)

• Wir haben gezeigt: Ist ein Gruppenelement ein rechtsneutrales Element der Gruppe, dann ist dieses Gruppenelement auch linksneutral. Wir haben gesagt: Es existiert (mindestens) ein rechtsneutrales Element, es könnten also auch mehrere rechtsneutrale Elemente existieren, und all diese wären dann auch linksneutral. Wie sich herausstellen wird, gibt es aber nur genau ein neutrales (rechts- und linksneutrales) Element in einer Gruppe. Genauso wird sich zeigen, dass das zu jedem Gruppenelement inverse Element eindeutig bestimmt ist. Es gibt zu $x$ also neben $x^{-1}$ kein zweites Element $z \in G$, sodass $x \cdot z = e$ gelten würde.

(Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente in einer Gruppe)

• Was ist das inverse Element zu $e$? Es gilt $e \cdot e = e$, also ist e zu sich selbst invers. Das inverse Element von $e$ ist also $e$.