Die quadratische Funktion der Form f(x) = ax²

Lernpfad Die Quadratische Funktion der Form f(x)$=$ax² In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad! Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven Parameter a Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den negativen Parameter a Auswirkungen des Vorfaktors a auf einen Blick Aufstellen der Funktionsgleichung Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)$=$ax²

Wie schon am Ende der Lerneinheit „Normalparabel“ angekündigt, werden wir die Normalparabel nun um einen Parameter erweitern.

Es kommt jetzt der Parameter a als „Vorfaktor“ hinzu, wodurch folgende Funktionsgleichung entsteht:

                                            f(x)= a$\cdot$x²

STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven Parameter a

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:

Quadratische Funktion f(x)$=$ax2

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise: * In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau * Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a * Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder Aufgabe: Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a an der quadratischen Funktion im Hinblick auf die Normalparabel? Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Der Vorfaktor a führt zu einer                     der Normalparabel in Richtung der                     . Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a                     beträgt, denn dann ist f(x) = 1x² = x²                     zur Normalparabel. Ist a                     1, so ist der Graph enger oder gestreckter als die Normalparabel. Ist a hingegen kleiner 1, so ist der Graph                     als die Normalparabel. Außerdem ist die quadratische Funktion f(x) = ax² nach                     geöffnet und der                     S ist                     Punkt mit den Koordinaten $(0\!\,|\!\,0)$. Einsweiter oder gestauchtergrößerobenidentischScheitelpunktStreckung oder Stauchungtiefstery-Achse

Merke Für die quadratische Funktion f(x)$=$ a$\cdot$x² mit dem positiven Faktor a gilt: Sie entsteht aus der Normalparabel durch eine Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse Für a $=$ 1 gilt: Identisch zur Normalparabel, denn f(x)$=$ 1$\cdot$x²$=$ x² Für a > 0 gilt: Der Graph ist nach oben geöffnet Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$ Für a > 1 ist der Graph enger/gestreckter als die Normalparabel Für a < 1 ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel

Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.

STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den negativen Parameter a

Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, wenn der Parameter a negativ wird!

Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:

Aufgabe und Quiz:

Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a wenn er negativ wird? Quiz: In welche Richtung ist die Parabel für a < 0 geöffnet? nach unten nach oben Parabel ist nicht geöffnet Welche Aussage ist richtig? Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt Es gibt keinen Scheitelpunkt Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt Was bewirkt der negative Vorfaktor a? Eine Stauchung Eine Streckung oder Stauchung Eine Streckung Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? Die Parabel ist gestaucht Es liegt die identische Normalparabel vor, gespiegelt an der x-Achse Die Parabel ist nach oben geöffnet Für welche negativen a-Werte ist der Graph enger/gestreckter als die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel? für a < -0,5 für a > -1 für a < -1 Für welche negativen a ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel? für 0 > a > -1 für -2 < a < 0 für a > -2 prüfen!

Merke Für die quadratische Funktion f(x)$=$ a$\cdot$x² mit dem negativen Faktor a gilt: Sie entsteht aus der Spiegelung an der x-Achse sowie durch eine Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse Für a $=$ -1 gilt: Kongruente Normalparabel nach unten geöffnet; f(x)$=$-1$\cdot$x²$=$ -x² Für a < 0 gilt: Der Graph ist nach unten geöffnet Scheitelpunkt S ist höchster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$ Für a < -1 ist der Graph enger/gestreckter als die Normalparabel Für a > -1 ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel

STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors a auf einen Blick

Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!

Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen das Memory-Puzzle zu lösen.

weiter/gestauchter Graph enger/gestreckter Graph Nach unten geöffnete Normalparabel Scheitelpunkt S für negativen Parameter a Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung

(0, 0)

Scheitelpunkt S für positiven Parameter a Vorfaktor a ist negativ a < -1 Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung

(0, 0)

Nach oben geöffnete Normalparabel 0 < a < 1 Graph ist weiter geöffnet Streckung oder Stauchung der Normalparabel a > 1 Vorfaktor a ist positiv 0 > a > -1 Der Vorfaktor a bewirkt eine… Graph ist enger/gestreckter

STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung

Bisher hast du ja immer den Wert des Vorfaktors a an der Grafik ablesen können. Nun wollen wir mal schauen wie man anhand eines Graphen den Parameter a bestimmt.

Betrachte hierfür die dargestellte Grafik und versuche mit Hilfe der gemachten Angaben die Funktionsgleichung selbstständig aufzustellen:

Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:	Aufgabe und Quiz:
	1. Lies die Koordinaten eines frei gewählten Punktes. Achtung: Nimm nicht den Scheitelpunkt 2. Füge den x- und den y-Wert in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ein. Hinweis: f(x) = y 3. Löse die aufgestellte Gleichung nach a auf. Wie ist dein Ergebnis? A) f(x) = 5x² B) f(x) = 2x² C) f(x) = 3x² [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] f(x) $=$2x2

Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Parameters a verstanden hast, versuche die nächste Übung zu lösen.

Übung:

Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!

Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!

y = 2x²y = -4x²y = 0,5x²y = -0,5x²y = 0x²

STATION 5: Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)$=$ax²

1. Aufgabe:

Für diese Aufgabe hast du eine Parabel aus dem Alltag vorgegeben. Du siehst hier einen Ausschnitt einer Kirche und die Parabelform die hier vorkommt, sie ist schwarz eingezeichnet. Stelle hierfür eine Funktionsgleichung auf:

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

- Deine Lösung für a sollte ungefähr -0,1 betragen, damit ergibt sich die Funktionsgleichung: f(x)$=$-0,1x²
- Hattest du Probleme mit dem Finden des Parameters a, dann geh nochmal zurück zu Station 4

2. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:

Nachdem du nun weißt wie man am Graphen die Funktionsvorschrift abliest, fällt es dir auch sicher auch nicht schwer einen Graphen selbst zu zeichnen, von dem du die Funktionsvorschrift kennst.

Nimm dir ein Blatt Papier und zeichne die Graphen für folgende Funktionsvorschriften:

a) f(x) = 3x²

b) g(x) = -2x²

Hilfe:
Falls du nicht weißt was du machen sollst, kannst du dir hier eine Hilfe holen!
[Anzeigen][Verstecken]

- Gebe dir einen x-Wert in der Gleichung vor und finde den dazugehörigen y-Wert. z.B. für x $=$ 1 ist y $=$ 3$\cdot$(1)² $=$ 3 - Suche mehrere Punkte und verbinde diese

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Nachdem man sich mehrere Koordinaten errechnet hat, kann man diese ins Koordinatensystem eintragen und die Punkte verbinden.

3. Aufgabe:

Die Funktion f hat die Gleichung f(x) = ax². Bestimme den Faktor a wenn der Graph f durch den Punkt $(-1,2\!\,|\!\,-1,44)$ verläuft

Tipp! Ähnlich zur 2. Aufgabe

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

f(x)$=$ax² und P $(-1,2\!\,|\!\,-1,44)$

→ -1,44$=$a$\cdot$(-1,2)²

Umstellen nach a ergibt: $a=\frac{-1,44}{(-1,22)^2}$

→ a$=$1

4. Aufgabe:

Ein Junge spuckt von einer Brücke und misst die Zeit und den zugehörigen Weg wie in der Tabelle dargestellt.
Dabei ist der x-Wert die Strecke und der y-Wert ist die Zeit.
Stelle die Funktionsvorschrift in der Form f(x) = ax² auf.

Lösung:
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Man nimmt sich einen beliebigen Punkt, z.B. P $(1,5\!\,|\!\,13,5)$ und berechnet den Parameter a:

13,5$=$a$\cdot$(1,5)²

→ a$=$6

→ f(x)$=$6$\cdot$x²