Rechnerische Beziehung

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Rechnerische Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion

Willst du nun rechnerisch eine Aufgabe vom Typ b = a^x nach x auflösen, musst du folgendermaßen vorgehen:

b = a^x → x = log_ab

Merke: Der Ausdruck x = logab heißt gesprochen: x ist gleich dem Logarithmus b zur Basis a, wobei x der Exponent, b der Logarithmand und a die Basis ist.

Beispiel: 8 = 2^x → x = log₂8

In diesem einfachen Beispiel sieht man, dass die Lösung für x = 3 ist, da man weiß, dass 2³ = 8, also 3 = log₂8.

Aufgabe   Löse die Aufgabe 10x = 10000 zuerst zeichnerisch, in dem du einen Punkt A bei (0/10000) machst (mache immer einen Rechtsklick und gehe auf Beschriftung anzeigen), eine senkrechte Gerade a zur y-Achse durch A legst, den Schnittpunkt B der Senktrechten a mit der Funktion f(x) bestimmst, eine Senkrechte b zur x-Achse durch den Punkt B legst, den Schnitt C der Senkrechten b mit der x-Achse bestimmst. Die x-Koordinate des Punktes C ist die Lösung für x. Löse die Aufgabe nun rechnerisch, in dem du sie zuvor (wie oben) nach x auflöst und dann x mit Hilfe des Logarithmusrechners ausrechnest.

(Mache einen Doppelklick auf dem Applet, dann erscheint eine neues Fenster, in welchem du arbeiten kannst. Wenn du deine Arbeit beendet hast, kannst du das geöffnete Fenster schließen und deine Arbeit speichert sich im Fenster.)

Aufgabe   Löse die folgenden Aufgaben zuvor (wie oben) nach x auf und rechne x mit Hilfe des Logarithmusrechners aus. 8x = 480000 15x = 480000 40x = 480000

Aufgabe   Zum Abschluss des Lernpfades nun eine kleine Knobelaufgabe: Wie oft müsste man theoretisch ein Blattpapier falten, damit der entstehende Turm von der Erde bis zum Mond reichen würde, unter der Annahme, dass das Papier eine Dicke von 0,2mm besitzt und der Abstand von der Erde zum Mond 384400km ist? Schätze zuerst und löse anschließend die Aufgabe mit Hilfe des Logarithmusrechners. (Erst überlegen, falls du einen kleinen Tipp brauchst, auf die Hilfestellung klicken)

Hilfestellung zur 3. Aufgabe anzeigen

Hilfestellung zur 3. Aufgabe verstecken

0,2mm * 2^x = 384.400.000.000mm

Lösung 1. Aufgabe anzeigen

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Lösung der Aufgabe: x = 4

Lösung 2. Aufgabe anzeigen

Lösung 2. Aufgabe verstecken

1. x = 6,29
2. x = 4,83
3. x = 3,55

Lösung 3. Aufgabe anzeigen

Lösung 3. Aufgabe verstecken

0,2mm * 2^x = 384.400.000.000mm

2^x = 1.922.000.000.000mm

x = log₂1.922.000.000.000 (Hinweis: hier fällt die Einheit weg)

x = 41

Man müsste ein Blattpapier also 41 mal falten, damit die Dicke von der Erde bis zum Mond reichen würde.

→ Hier geht´s noch zu weiteren Übungen und zur Lösung des Arbeitsblattes