Algebra: Terme und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<quiz>
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<span style="background:#CD96CD ">'''Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:'''</span><br>
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| type="{}"
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<table style="background-color:#6789AB"><tr><td width="200">Term T1(x) </td><td width="200"> Term T2(x) </td><td width="200"> Rechengesetz </td><td width="200"> Term T3(x) </td></tr></table>
+
−
<table style="background-color:#89ABCD"><tr><td width="200">(3x + 2) + 5 </td><td width="200"> 3x + ({ 2 } + 5) </td><td width="200"> Assoziativgesetz der Addition </td><td width="200"> 3x + 7</td></tr></table>
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</quiz>
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<big>'''Deine neue Lieblings-Merkregel:'''</big><br>
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<div class="schuettel-quiz">
 
<div class="schuettel-quiz">
 
Rechne immer '''Klammer''' vor '''Punkt''' vor '''Strich'''!
 
Rechne immer '''Klammer''' vor '''Punkt''' vor '''Strich'''!
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</div>
 
</div>
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<div class="zuordnungs-quiz">
 
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<big>'''Zuordnung'''</big><br>
 
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Ordne jeder Gleichung die entsprechende Lösungsmenge zu.
 
 
{|  
 
{|  
 
|-
 
|-
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| 8 + x - 3 + 15 + 9x = 0|| x = -2
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| width="550" |
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|-
+
'''Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch <span style="color:#8B4789 ">Äquivalenzumformungen</span>, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert.'''
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| 5(x + 9) - 7(x - 9) = 11(x - 2)|| x = 10
+
||
−
|-
+
::[[Bild:Haas_Balkenwaage.jpg|250px]]
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| 5(7x - 6) - 9(8x - 3) = 2(8 - 9x) || x = -30
+
−
|-
+
−
| (3x + 2)·2 - 6x = 4|| <math> \mathbb{R}</math>
+
−
|-
+
−
| 5(9x - 8) - (8 + 3x)·15 = 13)|| <math> \varnothing</math>
+
−
|-
+
−
| 12a + 6(4 - 7a) = 9(2a + 4)|| x = -0,25
+
−
|-
+
−
| 6(5x - 4) - 3(10x + 2) = 10 || <math> \varnothing</math>
+
−
|-
+
−
| (2x - 5)·9,5 - 2x = -2(4 - 5x) + 13|| x = 7,5
+
−
|-
+
−
| 5(7x - 6) - 9(8x - 3) = 2(8 - 9x)|| x = -1
+
 
|}
 
|}
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</div>
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<span style="background:#CD96CD ">'''Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.'''</span>
  
 
''Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!''
 
''Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!''
  
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: 3x + 10 = 19 <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> | -10 </u>
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''Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.''
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">| : 3</u>
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* 3x + 10 = 19 <!-- leer -->| <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 10 </u>
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">3x = 9</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 3</u>
  
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u>
 
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 3</u>
  
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> </u>{{Lösung versteckt|1=<math>\mathbb{L}= \mathcal{f}3\mathcal{g}</math> }}
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{{Lösung versteckt|1=
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::<math> \ 3x + 10 = 19 | - 10 </math>
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::<math>\Leftrightarrow 3x = 9 | : 3 </math>  
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::<math>\Leftrightarrow x = 3 </math>
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}3\mathcal{g}</math>   
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}}
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* 9x - 18 = 27 | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 18 </u>
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = 45</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u>
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{{Lösung versteckt|1=
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::<math> \ 9x - 18 = 27 | + 18 </math>
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::<math>\Leftrightarrow 9x = 45| : 9 </math>
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::<math>\Leftrightarrow x = 5 </math>
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}</math>   
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}}
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* 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 12 - 1 = 2x + 1</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 1</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">10 = 2x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 2</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 5</u>
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{{Lösung versteckt|1=
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::<math> \ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2 </math>
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:: <math>\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 | - 1 </math> 
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::<math>\Leftrightarrow 10 = 2x | : 2 </math>
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::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math>
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}</math>   
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}}
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* <math>2^3 + 3^2 = 5x + 17</math>
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math></div>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 8 + 9 = 5x + 17 </u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">17 = 5x + 17</u> |<u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> - 17 </u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 = 5x</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 5 </u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = 0 ... wirklich? </u>
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{{Lösung versteckt|1=
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::<math> \ 2^3 + 3^2 = 5x + 17 </math>
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:: <math>\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17 </math> 
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::<math>\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 | - 17 </math>
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::<math>\Leftrightarrow 0 = 5x | : 5 </math>
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:: <math> Da  \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing</math>
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f} \mathcal{g}</math>   
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}}
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* 3x + 8 + 6x - 3 = -13
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div> 
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 9x + 5 = -13</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">- 5</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">9x = -18</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 9</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -2</u>
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{{Lösung versteckt|1=
 +
 
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::<math> \ 3x + 8 + 6x - 3 = -13 </math>
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:: <math>\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 | - 5 </math> 
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::<math>\Leftrightarrow 9x = -18| : 9 </math>
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::<math>\Leftrightarrow x = -2 </math>
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::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-2\mathcal{g}</math>   
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}}
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* <math>-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21</math>
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<div align="right"><math>\mathbb{G}=\mathbb{Q}</math></div>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 6x + 2x = -21</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> -9 + 8x = -21</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> + 9</u>
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:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">8x = -12</u> | <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">: 8</u>
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 +
:<math>\Leftrightarrow</math><u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x = -1,5</u>
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{{Lösung versteckt|1=
 +
 
 +
::<math>-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21</math>
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:: <math>\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21</math> 
 +
 
 +
::<math>\Leftrightarrow -9 + 8x = -21| + 9 </math>
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::<math>\Leftrightarrow 8x = -12| : 8 </math>
 +
 
 +
::<math>\Leftrightarrow x = -1,5 </math>
 +
 
 +
::<math>\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}</math>  
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}}

Aktuelle Version vom 14. Juli 2009, 12:56 Uhr

Deine neue Lieblings-Merkregel zum Umformen von Termen und Gleichungen:

Rechne immer Klammer vor Punkt vor Strich!

Wie bei einer Waage müssen beide Seiten der Gleichung immer im Gleichgewicht sein. Dies erreichst du durch Äquivalenzumformungen, mit denen du beide Seiten der Gleichung einheitlich umstellst, ohne dass sich der Wert der Gleichung ändert.

Haas Balkenwaage.jpg


Wende diese Regel nun auf die folgenden Aufgaben an. Beachte immer die Grundmenge, die rechts steht.

Wenn du dir sicher bist, welche Äquivalenzumformung als nächstes kommt, darfst du durch Markieren des grauen Feldes den jeweils nächsten Schritt sichtbar machen!

Erst ganz am Ende kannst du dann dein Ergebnis durch Klick auf "Lösung anzeigen" überprüfen.


  • 3x + 10 = 19 | - 10
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow3x = 9 | : 3
\Leftrightarrowx = 3


\ 3x + 10 = 19 | - 10
\Leftrightarrow 3x = 9 | : 3
\Leftrightarrow x = 3
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}3\mathcal{g}


  • 9x - 18 = 27 | + 18
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow9x = 45 | : 9
\Leftrightarrowx = 5


\ 9x - 18 = 27 | + 18
\Leftrightarrow 9x = 45| : 9
\Leftrightarrow x = 5
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}


  • 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 | - 1
\Leftrightarrow10 = 2x | : 2
\Leftrightarrowx = 5


\ 12 - 12 : 12 = 2x + 2 : 2
\Leftrightarrow 12 - 1 = 2x + 1 | - 1
\Leftrightarrow 10 = 2x | : 2
\Leftrightarrow x = -2
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}5\mathcal{g}


  • 2^3 + 3^2 = 5x + 17
\mathbb{G}=\mathbb{N}
\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17
\Leftrightarrow17 = 5x + 17 | - 17
\Leftrightarrow0 = 5x | : 5
\Leftrightarrowx = 0 ... wirklich?


\ 2^3 + 3^2 = 5x + 17
\Leftrightarrow 8 + 9 = 5x + 17
\Leftrightarrow 17 = 5x + 17 | - 17
\Leftrightarrow 0 = 5x | : 5
Da \mathcal{f}0\mathcal{g} \notin \mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{L}=\varnothing
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f} \mathcal{g}


  • 3x + 8 + 6x - 3 = -13
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 | - 5
\Leftrightarrow9x = -18 | : 9
\Leftrightarrowx = -2


\ 3x + 8 + 6x - 3 = -13
\Leftrightarrow 9x + 5 = -13 | - 5
\Leftrightarrow 9x = -18| : 9
\Leftrightarrow x = -2
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-2\mathcal{g}


  • -3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21
\mathbb{G}=\mathbb{Q}
\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21
\Leftrightarrow -9 + 8x = -21 | + 9
\Leftrightarrow8x = -12 | : 8
\Leftrightarrowx = -1,5


-3 \cdot (3 - 2x) + 2x = -21
\Leftrightarrow -9 + 6x + 2x = -21
\Leftrightarrow -9 + 8x = -21| + 9
\Leftrightarrow 8x = -12| : 8
\Leftrightarrow x = -1,5
\Rightarrow\mathbb{L}= \mathcal{f}-1,5\mathcal{g}
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