Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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:'''''Mathematik''' scheint manchmal '''wie Zauberei'''...'''Warum?? Das erfährst Du im nächsten Abschnitt.'''''
 
 
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====Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?====
 
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: '''Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.''' <br>
 
: '''Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.''' <br>
 
: '''''Doch, wie könnte man das nur machen? '''''<br>
 
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:'''''In diesem Applet siehst Du das <span style="color: green">Dreieck ABC</span>
 
  
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  |  <ggb_applet height="500" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_DreieckErgänzungneu.ggb"/>|| '''''Aufgabenstellung:'''''  
 
* '''''Ziehe am <span style="color: green">Schieberegler</span> und beobachte, was passiert.'''''
 
* '''''Ziehe am <span style="color: green">Schieberegler</span> und beobachte, was passiert.'''''
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'''Warum ist dieses zweite Dreieck ''kongruent'' zum ersten?'''  
 
'''Warum ist dieses zweite Dreieck ''kongruent'' zum ersten?'''  
 
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Das Dreieck geht durch '''Drehung''' um den Mittelpunkt aus dem ersten Dreieck hervor. Dies ist eine '''Kongruenz'''-abbildung.
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Das Dreieck geht durch '''Drehung''' um den Mittelpunkt einer Dreiecksseite aus dem ersten Dreieck hervor. Dies ist eine '''Kongruenz'''-abbildung.
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'''''Um wieviel Grad muss gedreht werden, damit ien Parallelogramm ensteht?'''''
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Es muss um '''180(Hier bitte nur Gradzahl eintragen)'''°gedreht werden.
 
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'''''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms'''''
 
'''''Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms'''''
 
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Der Flächeninhalt des <span style="color: green">Parallelogramms</span> beträgt  '''12    (cm²)'''
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Der Flächeninhalt des <span style="color: green">Parallelogramms</span> beträgt  '''12    (Maßzahl eintragen)cm²'''
 
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'''Wie groß ist der Flächeninhalt ''<span style="color: green">eines Dreiecks</span>'''''?
 
'''Wie groß ist der Flächeninhalt ''<span style="color: green">eines Dreiecks</span>'''''?
 
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Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt  ''' 6  (cm²)'''
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Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt  ''' 6  (Maßzahl eintragen)cm²'''
 
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===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
 
===Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks===
  
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:'''''Leite  die allgemeine Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''''' <br>
 
:'''''Leite  die allgemeine Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!''''' <br>
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:'''''Bedenke nochmals, welche Flächeninhaltsformel Du vor Kurzem erst Kennen gelernt hast'''''
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:'''''Bedenke welche Flächeninhaltsformel Du erst gelernt hast'''''
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:'''''Aufgabenstellung:''''' <br>'''''Ergänze die fehlenden Felder in der Rechnung.'''''
 
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:''Gesucht:'' F<sub>Dreieck</sub> = ??<br>
 
 
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*1. Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt: <br>
 
'''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math>  h  <br>
 
'''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = g <math>\cdot</math>  h  <br>
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F<sub>Parallelogramm</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub> + F<sub>Dreieck</sub>''' <br>
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*2. Der Flächeninhalt des Parallelogramms setzt sich aber auch zusammen aus:
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F<sub>Parallelogramm</sub> = '''F<sub>Dreieck</sub> + F<sub>Dreieck</sub>''' oder <br>
 
F<sub>Parallelogramm</sub> = '''2 '''<math>\cdot</math>  F<sub>Dreieck</sub><br>
 
F<sub>Parallelogramm</sub> = '''2 '''<math>\cdot</math>  F<sub>Dreieck</sub><br>
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*Setzen wir beide Gleichungen gleich, erhält man: <br>
 
'''g <math>\cdot</math>  h'''  = 2 <math>\cdot</math>  F<sub>Dreieck</sub><br>
 
'''g <math>\cdot</math>  h'''  = 2 <math>\cdot</math>  F<sub>Dreieck</sub><br>
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und somit ist <br>
 
'''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>  g <math>\cdot</math>  h '''  = F<sub>Dreieck</sub> <br>
 
'''<math>{1 \over 2}</math> <math>\cdot</math>  g <math>\cdot</math>  h '''  = F<sub>Dreieck</sub> <br>
 
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::::::::::::'''''Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden.'''''
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::::::::::::'''''Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden. und hast den 3. Lernpfad bald geschafft'''''
 
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*'''''Begründe mit einem Prinzip, dass Du im ersten Lernpfad kennen gelernt hast, warum man die Formel auf diesem Wege herleiten kann. Gehe hier vom Flächeninhalt des Parallelogramms aus. '''''<br>
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Auf der nächsten Seite findest Du die...'''
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*'''''Fülle den folgenden Lückentext aus. '''''
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→[[Zusammenfassung: Flächeninhalt des Dreiecks]]
 
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'''Zerlegungsgleichheit''' ist das Stichwort!
 
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Die Flächeninhaltsformel für Dreiecke lässt sich herleiten, indem man ein '''Parallelogramm''' geeignet halbiert. Man halbiert dies entlang seiner '''Diagonalen'''. <br>
 
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Diese '''Halbierung''' zerlegt das Parallelogramm in '''zwei kongruente Dreiecke''', die jeweils den '''gleichen ''' Flächeninhalt besitzen und deren '''Gesamtflächeninhalt''' dem des Parallelogramms entspricht. Ein Dreieck ist damit '''halb''' so groß wie ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und '''Höhe '''.
 
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[[Höhen im Dreieck]]
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'''''Du hast den 3. Lernpfad bald geschafft!''
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Auf der nächsten Seite findest Du die...'''
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→[[Zusammenfassung: Flächeninhalt des Dreiecks]]
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Aktuelle Version vom 17. August 2009, 15:04 Uhr


Ebert MotivatorZauber.jpg


Fast wie Zauberei! Zweimal Unbekannt = Bekannt?

Wir wollen die Flächeninhaltsformel für Dreiecke herausfinden.
Doch, wie könnte man das nur machen?


In diesem Applet siehst Du das Dreieck ABC
 Aufgabenstellung:
  • Ziehe am Schieberegler und beobachte, was passiert.
  • Hilft uns dieses Modell weiter, die Formel für das Dreieck zu finden?

Das Dreieck wird durch ein zweites kongruentes Dreieck zum Parallelogramm (Figur eintragen) ergänzt.

Warum ist dieses zweite Dreieck kongruent zum ersten?

Das Dreieck geht durch Drehung um den Mittelpunkt einer Dreiecksseite aus dem ersten Dreieck hervor. Dies ist eine Kongruenz-abbildung.

Um wieviel Grad muss gedreht werden, damit ien Parallelogramm ensteht?

Es muss um 180(Hier bitte nur Gradzahl eintragen)°gedreht werden.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt 12 (Maßzahl eintragen)cm²

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks?

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt 6 (Maßzahl eintragen)cm²



Die Flächeninhaltsformel des Dreiecks

Leite die allgemeine Flächeninhaltsformel für Dreiecke her!
Bedenke welche Flächeninhaltsformel Du erst gelernt hast

  • 1. Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt:

FParallelogramm = g \cdot h

  • 2. Der Flächeninhalt des Parallelogramms setzt sich aber auch zusammen aus:

FParallelogramm = FDreieck + FDreieck oder
FParallelogramm = 2 \cdot FDreieck

  • Setzen wir beide Gleichungen gleich, erhält man:

g \cdot h = 2 \cdot FDreieck
und somit ist
{1 \over 2} \cdot g \cdot h = FDreieck


Ebert Motivatoren.jpg

Super! Du hast die Flächeninhaltsformel für Dreiecke gefunden. und hast den 3. Lernpfad bald geschafft




Auf der nächsten Seite findest Du die... →Zusammenfassung: Flächeninhalt des Dreiecks

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Höhen im Dreieck

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