Flächeninhalt ebener Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

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==1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten==
 
==1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten==
−
:'''Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!'''
+
:'''''Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!'''''
 
[[Bild:Ebert_MotivatorenRechteck.jpg|center]]
 
[[Bild:Ebert_MotivatorenRechteck.jpg|center]]
 
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−
:'''Du hast bereits gelernt, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten berechnet.'''  
+
:'''''Du hast bereits gelernt, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten berechnet.'''''  
−
:'''Erinnerst Du Dich noch daran?'''  
+
:'''''Erinnerst Du Dich noch daran?'''''  
 
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−
:'''Teste Dich in der nächsten Aufgabe. Berechne die fehlenden Felder und fülle die Lücken  mit der passenden Antwort  aus.'''
+
:'''''Teste Dich in der nächsten Aufgabe. Berechne die fehlenden Felder und fülle die Lücken  mit der passenden Antwort  aus.'''''
 
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<br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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</div>
 
</div>
 
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<br>
−
:'''Du hast alle Aufgabe richtig gelöst? Sehr gut! <br>
 
−
:Dann kennst Du noch die Flächeninhaltsformel für Rechtecke und Quadrate.
 
−
:Überprüfe im nächsten Abschnitt, ob du richtig liegst.'''
 
−
<br>
 
−
===Das solltest Du wissen===
 
−
<br>
 
−
: '''Merke Dir die Berechnung für die Flächeninhalte des Rechtecks und Quadrates gut! Du wirst sie später wieder gebrauchen.'''
 
−
<br>
 
−
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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{| <br>
 
−
| [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
 
−
Den <span style="color: red">'''Flächeninhalt von Rechtecken'''</span> berechnet man durch die folgende Formel:<br>
 
−
::::<math>F_{Rechteck}= g \cdot b</math>
 
−
<br>
 
−
mit <span style="color: red">'''g'''</span> als der <span style="color: red">'''Länge der Grundseite'''</span> und <span style="color: red">'''b als Breite'''</span> des Rechteckes.
 
−
<br>
 
−
<br>
 
  
−
Analog berechnet sich der <span style="color: red">'''Flächeninhalt von Quadraten'''</span> durch:<br>
+
[[Bild:Ebert_MotivatorRot.jpg|100px]]
−
::::<math>F_{Quadrat} = a\cdot a = a^2 </math>
+
:'''''Du hast alle Aufgabe richtig gelöst? Sehr gut!''''' <br>
 +
:'''''Dann kennst Du noch die Flächeninhaltsformel für Rechtecke und Quadrate.'''''
 +
:'''''Überprüfe im nächsten Abschnitt, ob du richtig liegst.'''''
 +
 
 
<br>
 
<br>
−
mit <span style="color: red">'''a als Seitenlänge'''</span> des Quadrates.
 
−
|}
 
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</div>
 
 
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 +
===Das solltest Du wissen===
 
<br>
 
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−
 
+
: '''''Merke Dir die Berechnung für die Flächeninhalte des Rechtecks und Quadrates gut! Du wirst sie später wieder gebrauchen.'''''
−
 
+
−
 
+
−
==Flächeninhalt Parallelogramm==
+
−
=== Einstieg===
+
 
<br>
 
<br>
−
[[Bild:Ebert_MotivatorParallelogramm.jpg|center]]
+
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
<br>
+
−
:Lass uns hier gemeinsam die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms erarbeiten. Du wirst sehen, es ist gar nicht so schwer!
+
−
: '''Hier siehst Du eine Möglichkeit, wie man die Flächeninhaltsformel von Parallelogrammen herleiten kann '''
+
−
<br>
+
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
 
{| <br>
 
{| <br>
−
| <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="Ebert_parallelogrammverschieben2.ggb" />|| '''Verschiebe das Rechteck und beobachte was passiert!''' '''Bearbeite dazu die folgenden Fragen''':
+
[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg|100px|left]]'''''Variiere die Seitenlängen des Rechtecks und des Quadrates an den farbigen Eckpunkten. Wie ändert sich der Flächeninhalt?'''''
−
<quiz display="simple">
+
{| class="prettytable"
−
{ Welche Art von Dreieck wird abgeschnitten?}
+
|-
−
- es wird ein '''gleichseitiges''' Dreieck abgeschnitten
+
| <ggb_applet height="400" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_Rechteck.ggb"/> || <ggb_applet height="400" width="500" showResetIcon="true" filename="Ebert_Quadrat.ggb"/>
−
+ es wird ein '''rechtwinkliges''' Dreieck abgeschnitten
+
|-  
−
- es wird ein '''gleichschenkliges'''Dreieck abgeschnitten
+
| <u>Den <span style="color: red">'''Flächeninhalt von Rechtecken'''</span> berechnet man durch die Formel:</u><br>
−
</quiz>
+
::::<math>F_{Rechteck}= g \cdot b</math>
 
<br>
 
<br>
−
'''2.''' Begründe, warum ein Rechteck ensteht<br> Tipp: Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.<br> <br>
+
:mit <span style="color: red">'''g'''</span> als  <span style="color: red">'''Länge der Grundseite'''</span> und <span style="color: red">'''b als Breite'''</span> des Rechtecks
 +
||
 +
<u>Ebenso berechnet man den <span style="color: red">'''Flächeninhalt von Quadraten'''</span>:</u>
 +
::::<math>F_{Quadrat} = g\cdot b </math> <br>
 +
::::Doch <span style="color: red">'''im Quadrat sind die Seiten b und g gleich lang'''</span>! <br>
 +
::::Das heißt wir können schreiben: <br>
 +
:::<math>F_{Quadrat} = g\cdot g = g^2</math>  <math>oder</math>  <math>F_{Quadrat} = b\cdot b = b^2</math>. <br>
  
−
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
* '''gegenüberliegende''' Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
 
−
*'''Nebenwinkel''' im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°
 
−
*Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt '''180°'''
 
−
<br>
 
−
*Nebenwinkel: <br>
 
−
'''<math>\alpha + \beta = </math> 180°'''
 
−
<br>
 
−
*Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm:<br>
 
−
'''<math>\alpha = \alpha_1 </math>'''
 
−
<br>
 
−
<math>\beta = \gamma + </math> '''90°''' bzw. 
 
−
<math>\beta = \gamma + \epsilon</math>
 
−
<br>
 
−
*'''Innenwinkelsumme im Dreieck''': <br>
 
−
<math>\alpha + \beta + \epsilon = </math> 180°
 
−
<br>
 
−
<math>\Rightarrow </math> <br>
 
−
<math>\epsilon = </math> 90° <br>
 
−
'''<math>\alpha_1 + \gamma = </math> 90°'''
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
 
−
 
−
'''3.''' Welche Breite besitzt das Rechteck?
 
−
<quiz display="simple">
 
−
{Markiere die richtige Antwort}
 
−
- Die Breite des Rechtecks entspicht der '''Länge der Grundseite''' des Parallelogramms
 
−
+ Die Breite des Rechtecks entspricht der '''Höhe des Parallelogramms'''.
 
−
- Man kann '''keine Aussage''' über die Breite des Rechtecks treffen.
 
−
+ Das Rechteck besitzt '''dieselbe Höhe''', wie das Parallelogramm.
 
−
</quiz>
 
 
|}
 
|}
−
</div>
 
−
<br>
 
−
<br>
 
  
−
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
   
−
{|
+
−
| [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] || Wir haben das Parallelogramm in ein '''Trapez''' und ein '''rechtwinkliges Dreieck''' zerlegt. Anschließend wurd das Trapez durch '''Verschiebung''' des '''Dreiecks zum Rechteck ergänzt'''. Diese Verschiebung stellt eine '''Kongruenzabbildung''' dar. <br>
+
−
Das erhaltene Rechteck und das Ausgangsdreieck sind damit '''zerlegungsgleich''' und besitzen somit den '''gleichen Flächeninhalt'''.
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
Da diese Zerlegung und Eränzung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.
+
−
|}
+
−
  </div>
+
−
<br>
+
−
<br>
+
−
----
+
  
  
−
=== Höhen im Parallelogramm===
 
−
<br>[[Bild:Ebert_MotivationHöhen.jpg|center]]
 
−
<br>
 
−
* '''Zur Berechnung des Flächeninhaltes von Rechtecken haben wir die Länge der Seiten benötigt. Eine Seite war die Grundseite, die andere die Breite.'''
 
−
* '''Zur Berechnung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen müssen wir wissen, wie die Höhen im Parallelogramm definiert sind.'''
 
−
* '''Du lernst in diesem Abschnitt, was die Höhen von Parallelogramm sind.'''<br>
 
−
* '''Bearbeite auch hier die Aufgaben sorgfältig.'''
 
−
<br>
 
−
:'''Jetzt darfst Du konstruieren!'''<br>
 
−
:Wenn Du die  Geogebra Datei durch Klick auf den Button geöffnet hast, wirst Du ein Parallelogramm sehen.
 
−
:Bearbeite dazu die folgenden Aufgabenstellungen.<br>
 
−
:Hinweis: In Geogebra werden Punkte in Großbuchstaben z.b. A,B,C ; Strecken und Geraden in Kleinbuchstaben a,b,c usw. angegeben.
 
−
:In der '''Menüleiste findest du wichtige Befehle''', mit denen Du konstruieren kannst. <br>
 
−
:'''Mach dich zunächst mit dem Programm vertaut!'''
 
−
<br>
 
−
<ggb_applet height="200" width="200" type="button" filename="Ebert_ParallelogrammHöheKonstruktion.ggb" />
 
−
<br>
 
−
'''Aufgabe:'''
 
−
# Zeichne '''von Punkt D aus''' eine '''senkrechte Gerade''' zur '''Parallelogrammseite a'''. Die Gerade wird automatisch  benannt
 
−
#'''Schneide''' diese Gerade mit der Strecke a. Dabei erscheint ein grauer '''Punkt E'''
 
−
#'''Blende''' die Gerade '''aus'''. (Rechtsklick auf die Gerade und Befehl "Objekt anzeigen" deaktivieren)
 
−
# Erstelle nun eine '''Strecke zwischen Punkt C und E'''
 
−
<br>
 
−
<br>
 
−
:'''Sehr schön, Du hast eine Höhe im Parallelogramm  vom Eckpunkt D zur  parallelen Seite a erstellt! <br>
 
−
: Natürlich kann man von jedem anderen Punkt, der auf der Seite DC liegt, eine Höhe zur Seite AB konstruieren.'''
 
−
<br>
 
−
<br>
 
−
====Zusammenfassung====
 
−
<br>
 
−
:'''Merke Dir die Definition für die Höhen im Parallelogramm gut. Du wirst sie später noch gebrauchen! Wenn Du willst, dann kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übetragen.'''
 
−
<br>
 
−
<div style= "border:2px solid red; backgroundcolor: #ffffff; padding:7px;">
 
−
{|
 
−
|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
 
−
*Eine <span style="color: red">'''Höhe im Parallelogramm'''</span> ist die <span style="color: red">'''senkrechte Strecke'''</span> zwischen einem Punkt auf einer Parallelogrammseite und einem anderen Punkt auf der dazughehörigen parallelen Seite.
 
−
*Sie ist damit der <span style="color: red">'''Abstand zweier paralleler Seitenpaare.'''</span> <br>
 
−
*Man nennt diese Parallelenseiten jeweils <span style="color: red">'''Gundlinie'''</span> zur Höhe<br>
 
−
*In einem Parallelogramm existieren genau <span style="color: red">'''zwei Höhen.'''</span> <br>
 
−
: '''Beispiel:'''
 
−
[[Bild:Ebert_ParallelogrammHöhe.jpg|center]]
 
−
<br>
 
−
'''Füge in dieser Tabelle die passenden Bezeichnungen für das obige Bild ein. '''
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
{| {{Prettytable}}
 
−
|- style="background-color:#FFFFFF"
 
−
! Grundlinien  !! Höhen zu den Grundlinien !! Länge der Höhen
 
−
|-
 
−
| [AB] ||  [FH]  || h<sub>1</sub>
 
−
|-
 
−
| [BC] || '''[EG]'''  || h<sub>2</sub>
 
−
|-
 
−
| [CD] || '''[FH]'''  || '''h<sub>1</sub>'''
 
−
|-
 
−
| '''[AD]''' ||  [EG]  || '''h<sub>2</sub>'''
 
−
|}
 
−
</div>
 
−
|}
 
−
</div>
 
  
−
===Flächeninhaltsformel des Parallelogramms===
 
−
<br>
 
−
:Auch die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts kannst Du hier erarbeiten.
 
−
:'''Fülle zunächst die Lücken aus.''' und Übertrage anschließend den Merkkasten in Dein Heft!<br>
 
−
<div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|<br>
 
−
|[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]] || <div class="lueckentext-quiz">
 
−
Länge('''Rechteck''') = '''Grundseite '''(Parallelogramm)<br>
 
−
'''Breite''' (Rechteck)    ='''Höhe h '''(Parallelogramm)
 
−
</div>
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist definiert als: <br>
 
−
'''F<sub>Parallelogramm</sub>''' = '''g''' <math>\cdot </math> h  mit
 
−
g als '''Grundseite''' <br> und h als  '''dazugehörigen Höhe'''<br>
 
−
</div>
 
−
|}
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
<br>
 
−
===Zusammenfassung:===
 
−
<br>
 
−
:'''Merke Dir sehr gut, wie man den Flächeninhalt von Parallelogrammen berechnet. Du wirst später darüber abgefragt!'''
 
−
<br>
 
−
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|<br>
 
−
| [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]] || Den <span style="color: red">'''Flächeninhalt eines Parallelogramms''' </span> berechnet man durch: <br>
 
−
'''F<sub>Parallelogramm</sub> = g <math>\cdot </math> h''' <br> <br>
 
−
<span style="color: red">'''g'''</span> ist die <span style="color: red">'''Länge der Grundseite'''</span> und <span style="color: red">'''h'''</span> die <span style="color: red">'''Länge der dazugehörigen Höhe.
 
−
'''</span>
 
−
[[Bild:Ebert_MerkbildParallelogramm.jpg|center]]
 
−
|}
 
−
</div>
 
−
===Übung===
 
  
−
===Vertiefen und Erweitern===
 
  
−
'''Bitte bearbeite die folgenden Aufgaben.'''
 
−
=== Variante zur Herleitung===
 
−
'''Eine weitere Lösungsidee ist in der nächsten Darstellung verborgen:'''
 
−
<br>
 
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|
 
−
|<ggb_applet height="450" width="800" showResetIcon="true" filename="Ebert_Parallelogrammergänzung2.ggb"/>|| '''Aufgabenstellung:'''
 
−
# Verschiebe das dunkel-grüne Dreieck ,so dass ein Rechteck ensteht (Das Dreieck kannst du wieder verbergen)
 
−
# Erkläre, welche '''Idee''' hinter dieser Zerlegung des Parallelogramms steckt. Tipp: Zeige dafür wieder die Höhe an.
 
−
<br>
 
−
{{Lösung versteckt|
 
−
In diesem Fall werden nicht die Parallelogrammseiten betrachtet, die auf den Parallelen Geraden liegen, sondern '''das andere Seitenpaar'''. Entsprechend wird die '''dazugehörige Höhe''' zur Flächenberechnung gewählt!
 
−
}}
 
−
|}
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
  
−
 
−
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{|
 
−
|[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]|| Zur Berechnung der Flächeninhaltsformel kann <br>
 
−
'''jede Seite''' des Parallelogrammes als Grundseite und die '''zugehörige Höhe''' genommen werden.<br>
 
 
|}
 
|}
 
</div>
 
</div>
−
<br>
 
−
===Flächeninhaltsgleiche Parallelogramme===
 
−
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{| <br>
 
−
|<ggb_applet height="400" width="600" showResetIcon="true" filename="Ebert_parallelogrammScherungneu.ggb" /> ||  '''Erkläre, warum die abgebildeten Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt, wie das rote Rechteck haben.'''
 
−
Du kannst die Parallelogramme mit dem Schieberegler ziehen.
 
−
'''Tipp:''' Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen.
 
−
<br>
 
−
<div class="lueckentext-quiz">
 
−
Die Parallelogramme haben den '''gleichen Flächeninhalt''' wie das rote Rechteck, da sie dieselbe '''Grundseite''' besitzen. Auch die '''Höhe''' ist in allen Parallelogrammen (wie auch im Rechteck) gleich, das die verschiebbaren Seiten auf der '''gleichen Parallele''' zur Grundseite liegen und somit den '''gleichen Abstand''' zur Grundseite besitzen.
 
−
</div>
 
−
<br>
 
−
|}
 
−
</div>
 
 
<br>
 
<br>
  
−
 
+
----
−
 
+
[[Bild:Ebert_Motivatoren.jpg|200px]]
 +
'''''Das war doch ganz  leicht,oder?''' <br>
 +
'''Konzentrier Dich im nächsten Abschnitt gut, denn da lernst Du wieder etwas Neues.'''''<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 +
'''''Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:'''''
 
<br>
 
<br>
−
 
+
→[[Flächeninhalt Parallelogramm]]
−
===Übung===
+
−
 
+
−
:In der Tabelle sind Werte verschiedener Größen von Parallelogrammen angegeben.<br>
+
−
:Arbeitsauftrag: <br>
+
−
:Berechne die fehlende Werte und Fülle die Lücken aus! Runde sinnvoll!
+
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
−
 
+
−
{| {{Prettytable}}
+
−
|- style="background-color:#8DB6CD"
+
−
! Parallelogramm !! g1 !! h1 !! Flächeninhalt  !!  g2 !! h2
+
−
|-
+
−
| A              ||3 cm  || 2cm  || '''6  cm²'''          ||  '''2,24 cm'''  || 2,68cm
+
−
|-
+
−
|B              ||3 cm  || '''3cm'''  || 9  cm²          ||  3,6cm      || '''2,5cm'''
+
−
|-
+
−
| C              || 4 cm ||    '''4 cm'''                ||    16 '''cm²'''  ||  4,47cm    ||3,57cm
+
−
|-
+
−
| D              ||''' 6cm''' ||  5  cm                ||  30cm²    ||  '''5,39 cm'''    || 5,57cm
+
−
|-
+
−
|  E            ||6 cm ||  3,01cm || '''18,1cm²''' || '''3,62cm''' ||5cm
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
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+
−
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+
−
 
+
−
[[Benutzer:Anja Ebert/Flächeninhalt ebener Figuren- Teil 2|Hier gehts weiter zum nächsten Lernpfad]]
+

Aktuelle Version vom 19. Dezember 2009, 19:24 Uhr


1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten

Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!
Ebert MotivatorenRechteck.jpg


Du hast bereits gelernt, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten berechnet.
Erinnerst Du Dich noch daran?




Teste Dich in der nächsten Aufgabe. Berechne die fehlenden Felder und fülle die Lücken mit der passenden Antwort aus.


Ebert RechteckA.jpg 30cm \cdot 20cm = 600cm2 Ebert RechteckB.jpg 1m \cdot 134m = 134m 2 Ebert RechteckC.jpg 8dm \cdot 8dm = 64dm 2
Ebert RechteckD.jpg 8cm \cdot 13cm = 104cm2 Ebert RechteckG.jpg 1mm \cdot 1mm= 1mm2 Ebert RechteckH.jpg 4dm \cdot 5m = 2m2 Ebert RechteckI.jpg a \cdot b = ab Ebert RechteckJ.jpg a \cdot a = a2


Ebert MotivatorRot.jpg

Du hast alle Aufgabe richtig gelöst? Sehr gut!
Dann kennst Du noch die Flächeninhaltsformel für Rechtecke und Quadrate.
Überprüfe im nächsten Abschnitt, ob du richtig liegst.






Das solltest Du wissen


Merke Dir die Berechnung für die Flächeninhalte des Rechtecks und Quadrates gut! Du wirst sie später wieder gebrauchen.


Ebert MotivatorMerke.jpg
Variiere die Seitenlängen des Rechtecks und des Quadrates an den farbigen Eckpunkten. Wie ändert sich der Flächeninhalt?
Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man durch die Formel:
F_{Rechteck}= g \cdot b


mit g als Länge der Grundseite und b als Breite des Rechtecks

Ebenso berechnet man den Flächeninhalt von Quadraten:

F_{Quadrat} = g\cdot b
Doch im Quadrat sind die Seiten b und g gleich lang!
Das heißt wir können schreiben:
F_{Quadrat} = g\cdot g = g^2 oder F_{Quadrat} = b\cdot b = b^2.






Ebert Motivatoren.jpg Das war doch ganz leicht,oder?
Konzentrier Dich im nächsten Abschnitt gut, denn da lernst Du wieder etwas Neues.

Hier geht es weiter zum nächsten Abschnitt:
→Flächeninhalt Parallelogramm

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