Flächeninhalt ebener Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. Juli 2009, 15:58 Uhr

1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten

Entdecke auf dieser Seite, wie man die Flächeninhalte ebener Figuren berechnet!!

Du hast bereits gelernt, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten berechnet.

Erinnerst Du Dich noch daran?

Teste Dich in der nächsten Aufgabe. Berechne die fehlenden Felder und fülle die Lücken mit der passenden Antwort aus.

30cm $\cdot$ 20cm = 600cm² 1m $\cdot$ 134m = 134m ² 8dm $\cdot$ 8dm = 64dm ²
8cm $\cdot$ 13cm = 104cm² 1mm $\cdot$ 1mm= 1mm² 4dm $\cdot$ 5m = 2m² a $\cdot$ b = ab a $\cdot$ a = a²

Du hast alle Aufgabe richtig gelöst? Sehr gut!

Dann kennst Du noch die Flächeninhaltsformel für Rechtecke und Quadrate.

Überprüfe im nächsten Abschnitt, ob du richtig liegst.

Das solltest Du wissen

Merke Dir die Berechnung für die Flächeninhalte des Rechtecks und Quadrates gut! Du wirst sie später wieder gebrauchen.

Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man durch die folgende Formel:

$F_{Rechteck}= g \cdot b$

mit g als der Länge der Grundseite und b als Breite des Rechteckes.

Analog berechnet sich der Flächeninhalt von Quadraten durch:

$F_{Quadrat} = a\cdot a = a^2$

mit a als Seitenlänge des Quadrates.

Flächeninhalt Parallelogramm

Einstieg

Lass uns hier gemeinsam die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms erarbeiten. Du wirst sehen, es ist gar nicht so schwer!

Hier siehst Du eine Möglichkeit, wie man die Flächeninhaltsformel von Parallelogrammen herleiten kann

Verschiebe das Dreieck und beobachte was passiert!Bearbeite dazu die nebenstehenden Fragen:

2. Begründe, warum ein Rechteck ensteht
Tipp: Denke an die Innenwinkelsumme im Dreieck und Paralellogramm! Lasse Dir dazu die Winkel anzeigen.

Bearbeite dazu den folgenden Lückentext:

gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°

Nebenwinkel:

$\alpha + \beta =$ 180°

Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm:

$\alpha = \alpha_1$
$\beta = \gamma +$ 90° bzw. $\beta = \gamma + \epsilon$

Innenwinkelsumme im Dreieck:

$\alpha + \beta + \epsilon =$ 180°
$\Rightarrow$
$\epsilon =$ 90°
$\alpha_1 + \gamma =$ 90°

3. Welche Breite besitzt das Rechteck?

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks. In der Darstellung entspricht ein Kästchen einem Zentimeter.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 12 (cm²)

Wir haben das Parallelogramm in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegt. Anschließend wurd das Trapez durch Verschiebung des Dreiecks zum Rechteck ergänzt. Diese Verschiebung stellt eine Kongruenzabbildung dar.

Das erhaltene Rechteck und das Ausgangsdreieck sind damit zerlegungsgleich und besitzen somit den gleichen Flächeninhalt.

Da diese Zerlegung und Ergänzung für alle Parallelogramme umsetzbar ist, können wir die Flächeninhaltsformel für Parallelogramme auf die Formel für Rechtecke zurückführen.

Höhen im Parallelogramm

Zur Berechnung des Flächeninhaltes von Rechtecken haben wir die Länge der Seiten benötigt. Eine Seite war die Grundseite, die andere die Breite.
Zur Berechnung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen müssen wir wissen, wie die Höhen im Parallelogramm definiert sind.
Du lernst in diesem Abschnitt, was die Höhen von Parallelogramm sind.

Wenn Du bereits weißt, wie Höhen im Parallelogramm definiert sind, dann ist die Aufgabe eine gute Wiederholung!
Bearbeite auch hier die Aufgaben sorgfältig.

Zusammenfassung: Höhen im Parallelogramm

Merke Dir die Definition für die Höhen im Parallelogramm gut. Du wirst sie später noch gebrauchen! Wenn Du willst, dann kannst Du den Merkkasten in Dein Heft übetragen.

Eine Höhe im Parallelogramm ist die senkrechte Strecke zwischen einem Punkt auf einer Parallelogrammseite und einem anderen Punkt auf der dazughehörigen parallelen Seite.
Sie ist damit der Abstand zweier paralleler Seitenpaare.
Man nennt diese Parallelenseiten jeweils Gundlinie zur Höhe
In einem Parallelogramm existieren genau zwei Höhen.

Beispiel:

Füge in dieser Tabelle die passenden Bezeichnungen für das obige Bild ein.

Grundlinien	Höhen zu den Grundlinien	Länge der Höhen
[AB]	[FH]	h₁
[BC]	[EG]	h₂
[CD]	[FH]	h₁
[AD]	[EG]	h₂

Höhen können auch außerhalb der Parallelogrammfläche liegen!! Sie sind dann die senkrechte Strecke von einer Seite zur gegenüberliegenden Geraden!

Flächeninhaltsformel des Parallelogramms

Jetzt besitzt Du alle Grundlagen, um die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts zu erarbeiten.

Fülle zunächst die Lücken aus. und Übertrage anschließend den Merkkasten in Dein Heft!

Länge(Rechteck) = Grundseite (Parallelogramm)

Breite (Rechteck) =Höhe h (Parallelogramm)

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist definiert als:

F_{Parallelogramm} = g $\cdot$ h mit g als Grundseite
und h als dazugehörigen Höhe

Zusammenfassung:Flächeninhaltsformel Parallelogramm

Merke Dir sehr gut, wie man den Flächeninhalt von Parallelogrammen berechnet. Du wirst später darüber abgefragt!

Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man durch:

F_{Parallelogramm} = g $\cdot$ h

g ist die Länge der Grundseite und h die Länge der dazugehörigen Höhe.

Übung

Übung 1: Berechne den Flächeninhalt

Berechne den Flächeninhalt der dargestellten Parallelogramme WIEN, BERN und KIEW:

Der Flächeninhalt des Parallelogramms WIEN beträgt: 10 (cm²) Der Flächeninhalt des Parallelogramms BERN beträgt: 6 (cm²) Der Flächeninhalt des Parallelogramms KIEW beträgt: 1,25 (cm²)

Übung 2: Berechne die fehlenden Maße

In der Tabelle sind Werte verschiedener Größen von Parallelogrammen angegeben.

Arbeitsauftrag:

Berechne die fehlende Werte und Fülle die Lücken aus! Runde sinnvoll!

Parallelogramm	g1	h1	Flächeninhalt	g2	h2
A	3 cm	2cm	6 cm²	2,24 cm	2,68cm
B	3 cm	3cm	9 cm²	3,6cm	2,5cm
C	6 cm	3,01cm	18,1cm²	3,62cm	5cm

Übung 3 Wie ändert sich der Flächeninhalt?

Wie ändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms ändert, wenn eine oder mehrere Maße im Parallelogramm verändert werden ?

Wie verändert sich der Flächeninhalt, im Parallelogramm, wenn...

Vertiefen und Erweitern

Du hast alle Aufgaben gelöst? Sehr gut! Für die ganz Schnellen gibt es hier ein paar weitere Herleitungsideen.

Variante zur Herleitung

Eine weitere Lösungsidee ist in der nächsten Darstellung verborgen:

Aufgabenstellung:

Verschiebe das dunkel-grüne Dreieck ,so dass ein Rechteck ensteht (Das Dreieck kannst du wieder verbergen)
Erkläre, welche Idee hinter dieser Zerlegung des Parallelogramms steckt. Tipp: Zeige dafür wieder die Höhe an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

In diesem Fall werden nicht die Parallelogrammseiten betrachtet, die auf den Parallelen Geraden liegen, sondern das andere Seitenpaar. Entsprechend wird die dazugehörige Höhe zur Flächenberechnung gewählt!

Zur Berechnung der Flächeninhaltsformel kann

jede Seite des Parallelogrammes als Grundseite und die zugehörige Höhe genommen werden.

Flächeninhaltsgleiche Parallelogramme

Erinnerst Du Dich noch??
Du hast bereits im ersten Lernpfad mit dem Prinzip der Ergänzungsgleichheit nachgewiesen, dass das Parallelogramm und das Quadrat den gleichen Flächeninhalt besitzen. Wie kann man das ohne Ergänzungsgleichheit zeigen???

Erkläre, warum das blaue Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt wie das rote Rechteck besitzt. Berechne zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks. Tipp: Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen.

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt: 12 (cm²)

Du kannst das Parallelogramm mit dem Schieberegler ziehen:

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus:

Das Parallelogramm hat den gleichen Flächeninhalt wie das rote Rechteck, da beide dieselbe Grundseite besitzen. Auch die Höhe ist bei beiden gleich, das die verschiebbaren Seite auf der gleichen Parallele zur Grundseite liegt und somit den gleichen Abstand zur Grundseite besitzt.

Übung zum Vertiefen

Ermittle den Flächeninhalt der vier Figuren I,II, III und IV.

Hier gehts weiter zum nächsten Lernpfad

@@ Zeile 182: / Zeile 182: @@
 |}
 </div>
-* <span style="color: red">'''Höhen können auch außerhalb der Parallelogrammfläche liegen!! Sie sind dann die senkrechte Strecke von einer Seite zur gegenüberliegenden Geraden!'''</span>
+<span style="color: red">'''Höhen können auch außerhalb der Parallelogrammfläche liegen!! Sie sind dann die senkrechte Strecke von einer Seite zur gegenüberliegenden Geraden!'''</span>
 |}
 </div>
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 <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 {| <br>
-*'''Erkläre, warum das blaue Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt wie das rote Rechteck besitzt.'''
+|'''Erkläre, warum das blaue Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt wie das rote Rechteck besitzt.''' '''Berechne zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks.''' '''''Tipp:''''' '''Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen.'''
-* '''Berechne zunächst den Flächeninhalt des Rechtecks.''' '''''Tipp:''''' '''Du kannst auch die Höhe anzeigen lassen.'''
 <div class="lueckentext-quiz">
 Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt: '''12 (cm²)'''
 </div>
+|-
 |<ggb_applet height="450" width="700" showResetIcon="true" filename="Ebert_parallelogrammScherungneu2.ggb" /> ||
-* '''Du kannst das Parallelogramm mit dem Schieberegler ziehen:'''
+'''Du kannst das Parallelogramm mit dem Schieberegler ziehen:'''
 <quiz display="simple">
 { Wie ändert sich die Höhe des Parallelogramms?}

Flächeninhalt ebener Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

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1.Wiederholung: Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten

Das solltest Du wissen

Flächeninhalt Parallelogramm

Einstieg

Höhen im Parallelogramm

Zusammenfassung: Höhen im Parallelogramm

Flächeninhaltsformel des Parallelogramms

Zusammenfassung:Flächeninhaltsformel Parallelogramm

Übung

Übung 1: Berechne den Flächeninhalt

Übung 2: Berechne die fehlenden Maße

Übung 3 Wie ändert sich der Flächeninhalt?

Vertiefen und Erweitern

Variante zur Herleitung

Flächeninhaltsgleiche Parallelogramme

Übung zum Vertiefen

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