Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

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Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.
 
  
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'''Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!
 
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<br>Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast!
 
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Denn nur so lernst du am Besten!'''
 
  
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==1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren==
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== Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren==
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===1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes===
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'''''Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.'''''
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'''''Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!''''' <br>
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'''''Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast!'''''
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'''''Denn nur so lernst du am Besten!'''''
 
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Weißt Du noch was man unter '''Kongruenz von Figuren''' versteht??
 
  
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Eine Wiederholung kann nicht schaden, oder?
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=== Wiederholung des Kongruenzbegriffes===
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[[Bild:Ebert_MotivatorKongruenz.jpg|center]]
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:'''''Weißt Du noch was man unter '<span style="color: green">'''''Kongruenz von Figuren'''''</span> '''versteht??'''''
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:'''''Eine Wiederholung kann sicher nicht schaden.'''''
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=== Teste Dein Wissen!===
  
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===1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!===
 
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<div class="schuettel-quiz">
 
<div class="schuettel-quiz">
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Ein anderes Wort für Kongruenz ist '''Deckungsgleichheit'''
+
:Ein anderes Wort für Kongruenz ist '''Deckungs'''-gleichheit
 
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</div>
 
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:'''Hinweis''': <span style="color:#008B00 ">'''Kongruente'''</span> Figuren kann man zur <span style="color:#008B00 ">'''Deckung'''</span> bringen
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====Aufgabe: Wie erzeugt man kongruente Figuren?====
 
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====Aufgabe: Kongruente Dreiecke====
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===Aufgabe: Kongruente Dreiecke===
 
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Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?<br>Gib die Buchstaben an und begründe warum.
+
:'''''Findest Du alle Dreiecke, die zum <span style="color: green">Dreieck A</span> kongruent sind?'''''<br>'''''''Gib die Buchstaben an.'''''''
 
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[[Bild:Ebert_imageKongruenteDreiecke.jpg]]
+
[[Bild:Ebert_imageKongruenteDreiecke.jpg|center]]
 
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'''Lösung''':<br>
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<quiz display="simple">
−
Kongruente Dreiecke zu A sind: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">C,E,G,H</u>
+
{'''Kongruente Dreiecke zu A sind?'''}
 +
-'''<span style="color: red">B</span> und <span style="color: blue">D</span>'''
 +
+'''<span style="color: gold">C</span> und <span style="color: red">E</span>'''
 +
+'''<span style="color: blue">G</span> und <span style="gold: gold">H</span>'''
 +
-'''<span style="color: red">J</span> und <span style="color: green">K</span>'''
 +
-'''<span style="color: gold">I</span> und <span style="color: green">F</span>'''
 +
 
 +
{ '''Markiere die richtigen Antwort'''}
 +
- alle '''kongruenten''' Figuren haben die '''gleiche Farbe'''
 +
+ alle '''kongruenten''' Figuren haben den '''gleichen Flächeninhalt'''
 +
 
 +
 
 +
</quiz>
 
<br>
 
<br>
 +
''0-1 Punkt: Versuche die Aufgabe noch einmal.'' <br>
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''2 Punkte: Sehr gut gemacht!''
 
<br>
 
<br>
−
Welche Dreiecke sind ähnlich zu A??<br>
+
:'''''War Deine Lösung richtig?''''' <br>
−
Antwort:<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">C,D,E,G,H,K </u> sind ähnlich zu A
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War Deine Lösung richtig? [[Hier findest du die Begründung]]
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[[Bild:Ebert_Loballgemein.jpg|200px]]
  
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====Kleines Quiz====
 
−
Achtung!! Mehrere Antworten sind möglich!
 
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<quiz display="simple">
 
−
{ Markiere die richtigen Antworten}
 
−
- alle zueinander ähnlichen Figuren sind kongurent zueinander
 
−
+ alle zueinander kongruenten Figuren sind ähnlich zueinander
 
−
- alle kongruenten Figuren haben die gleiche Farbe
 
−
+ alle kongruenten Figuren haben den gleichen Flächeninhalt
 
−
</quiz>
 
  
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−
===1.3 Das sollest du also wissen===
+
=== Wie erzeugt man kongruente Figuren?===
−
<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
 
 +
<div style="border: 2px  solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
{|
 
{|
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| <div class="schuettel-quiz"> <br> Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch '''Verschiebung''','''Drehung''' oder '''Spiegelung'''<br> ineinander überführt werden können. <br> Diese drei Abbildungen nennt man daher auch '''Kongruenz'''-abbildungen.<br>
+
*'''''Dreieck A, B, C und D sind kongruent zueinander.'''''
−
|</div>
+
*'' '''Wie kann man die Dreiecke B, C und D ausgehend vom Dreieck A erzeugen?'''''
−
|}
+
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</div>
+
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+
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<br>
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===1.4 Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?===
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Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der
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Kongruenz von Figuren nutzen kann. (wird evt. später noch eingefügt: Kongruenz von Dreiecken, Konstruktionen)
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<br>
+
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<br>
+
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Im nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel kennen
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−
==2. Zerlegungsgleichheit von Figuren==
+
|<ggb_applet height="600"  width="750" showResetIcon="true" filename="Ebert_Kongruenz.ggb"/>||
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===2.1 Eine Einführung===
+
* In der <span style="color: blue">'''1. Möglichkeit'''</span> wird das Dreieck an einer Achse '''gespiegelt'''. '''Die <span style="color: red">Spiegelachse</span> kannst Du an den <span style="color: red">roten Punkten</span> ändern. '''
 
<br>
 
<br>
−
[[Bild:Ebert_KapitänCheck1.jpg]]
+
* In der <span style="color: #00868B  ">'''2. Möglichkeit'''</span> kannst Du das Dreieck '''verschieben'''
−
<br>  
+
−
Kennst Du den Namen des Legespiels?
+
 
<br>
 
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(Puzzle: Tangram, wird noch eingefügt)
+
* In der <span style="color: purple">'''3. Möglichkeit'''</span> kannst Du das Dreieck  '''drehen.''' Der Winkel zeigt Dir dabei an, um wieviel Grad Du das Dreieck drehst.<br>
 
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 +
|-
 +
|
 +
* ''''''<span style="color: blue">Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen</span>''' nennt man '''<span style="color: blue">Kongruenzabbildungen</span>'''. Dabei kann man das Dreieck A auf die Dreiecke B, C und C abbilden.''''''' <br>
 
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<br>
−
====Aufgabe: Teilfiguren finden====
+
* '''Dreieck A nennt man <span style="color: blue">Ausgangsfigur</span>, Dreieck B,C und D <span style="color: blue">Bildfiguren</span>.'''
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+
* '''Bildfigur und Ausgangsfigur sind kongruent zueinander'''
−
Hier siehts Du drei Figuren: Eine Schiffskatze, ein Papagei und ein Matrose.
+
|}
−
<br> Sie alle lassen sich in Teilfiguren zerlegen.  
+
</div>
−
Aufgabenstellung: Finde die Teilfiguren, indem Du die Linien (''genauere Hilfestellung wird noch gegeben'') einzeichnest.
+
 
<br>
 
<br>
 
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−
''GeoGebra-Applet mit Tangram-Figuren''
 
−
 
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Prima!!! Du hast nun alle Teilfiguren entdeckt.
 
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<br> Was fällt Die beim Vergleich der Figuren auf?
 
−
Tipp: Achte auf Anzahl und Eigenschaften der Teilfiguren (wird noch formatiert)
 
−
 
−
Lösung: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Die Figuren bestehen aus der gleichen Anzahl an Teilfiguren, welche jeweils paarweise kongruent zueinander sind. </u>
 
−
 
−
====Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?====
 
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[[Bild:Ebert_KapitänCheckInsel.jpg]]
 
 
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(''Geogebra-Applet mit Insel-Umrissen'')
 
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−
Tipp: Ziehe mit der linken Maustaste die unten stehenden Figuren auf die Insel- Umrisse, so dass diese bedeckt werden.
 
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−
 
−
Was fällt Dir auf? Welche ist dir größte Insel?? Begründe Deine Antwort!
 
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<quiz display="simple">
 
−
{Markiere die richtige Antwort:}
 
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- Figur A: Isola Grande
 
−
+ Figur B: Isola Bella
 
−
- Figur C: Isola Piccola
 
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ist die größte Insel
 
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</quiz>
 
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Begründung:
 
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<u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.
 
−
<br>Figur B kann mit einer Teilfigur mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.</u>
 
−
 
  
 +
=== Das sollest Du also wissen===
 
<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
{|  
+
{|
−
|Figur A und C nennt man daher auch <span style="color:#00CD00">'''zerlegungsgleich,'''</span>
+
'''''Maja hat die Eigenschaften von kongruenten Figuren aufgeschrieben. Doch ein Sturm hat manche Wörter durcheinander gebracht.'''''<br> '''''Kannst Du sie wieder ordnen?'''''
 +
|[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg|center]]||
 +
<div class="schuettel-quiz">
 +
*Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch '''Verschiebung''','''Drehung''' oder '''Spiegelung'''<br> ineinander überführt werden können. <br>
 +
*Diese drei Abbildungen nennt man daher auch '''Kongruenz'''-abbildungen.
 +
*Kongruente Figuren haben den '''gleichen''' Flächeninhalt.<br>
 +
|</div>
 
|}
 
|}
 
</div>
 
</div>
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===2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit===
 
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Die nebenstehenden Figuren (Bild wird noch eingefügt) wurden in jeweils vier Teilfiguren zerlegt.
 
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Diese Teilfiguren sind '''paarweise zueinander kongruent''', d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren. <br>
 
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Aus den '''Eigenschaften der Kongruenz''' ergibt sich daher, dass diese den '''gleichen Flächeninhalt''' besitzen.
 
 
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Die Quadratfläche setzt sich aus den Teilflächen (...) zusammen
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=== Anwendung der Kongruenz===
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:'''''Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, dann gibt es einen Kongruenzsatz dazu. Manchmal stimmen Seiten oder Winkelgrößen überein.'''''
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:'''''Erinnerst Du dich noch, wie alle Sätze heißen?'''''
  
  
−
<math>A_{Quadrat}=A_1+A_2+A_3+A_4</math>
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<ggb_applet height="400" width="550" showResetIcon="true" filename="Ebert_Sätze.ggb"/>
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Dreieck ABC und Dreieck DEF sind kongruent.
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Es gilt aber auch <math>A_1+A_2+A_3+A_4=A_{Rechteck}</math>
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<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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<div class="lueckentext-quiz">
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Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent: '''SSS-Satz'''<br>
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Merke: Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt <br>  
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Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent: '''WSW-Satz'''<br>
−
| sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren
+
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent:''' SWS-Satz'''<br>
−
|}
+
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent: '''SsW-Satz'''
 
</div>
 
</div>
 
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<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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−
|'''Das ist ja klasse!!''' <br> Wir können feststellen, dass '''zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,''' <br> obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!
 
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:Übertrage folgende Definition in Dein Heft:
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[[Bild:Ebert_Maja.jpg|250px|center]]
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<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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'''Merke''' <span style="color:#ff0000">'''Zerlegungsgleichheit von Figuren'''</span>
+
−
|Zwei Figuren sind <span style="color:#ff0000">'''zerlegungsgleich,'''</span> wenn sie in paarweise <span style="color:#ff0000">'''kongruente Teilfiguren'''</span> zerlegt werden können.<br> ''Beispiel:''
+
−
<br> [[Bild:Ebert_Merkbilder_Zerlegungsgleichheit.jpg]]
+
−
<br> Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen <span style="color:#ff0000">'''Flächeninhalt'''</span>
+
−
|}
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<div style="border: 2px  solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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::::'''''Prima! Das war schon die erste Seite des Lernpfads. Das ging ja fix.''''<br>
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::::'''''Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen'''''<br>
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| Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.
+
::::'''''Hier geht es weiter:'''''
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|}
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→[[Zerlegungsgleichheit von Figuren]]
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Aktuelle Version vom 28. September 2010, 18:39 Uhr


Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren

Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.

Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!
Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast! Denn nur so lernst du am Besten!

Wiederholung des Kongruenzbegriffes

Ebert MotivatorKongruenz.jpg


Weißt Du noch was man unter 'Kongruenz von Figuren versteht??
Eine Wiederholung kann sicher nicht schaden.

Teste Dein Wissen!


Ein anderes Wort für Kongruenz ist Deckungs-gleichheit


Hinweis: Kongruente Figuren kann man zur Deckung bringen



Aufgabe: Kongruente Dreiecke


Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?
''Gib die Buchstaben an.''


Ebert imageKongruenteDreiecke.jpg


1. Kongruente Dreiecke zu A sind?

B und D
C und E
G und H
J und K
I und F

2. Markiere die richtigen Antwort

alle kongruenten Figuren haben die gleiche Farbe
alle kongruenten Figuren haben den gleichen Flächeninhalt

Punkte: 0 / 0


0-1 Punkt: Versuche die Aufgabe noch einmal.
2 Punkte: Sehr gut gemacht!

War Deine Lösung richtig?

Ebert Loballgemein.jpg


Wie erzeugt man kongruente Figuren?

  • Dreieck A, B, C und D sind kongruent zueinander.
  • Wie kann man die Dreiecke B, C und D ausgehend vom Dreieck A erzeugen?
  • In der 1. Möglichkeit wird das Dreieck an einer Achse gespiegelt. Die Spiegelachse kannst Du an den roten Punkten ändern.


  • In der 2. Möglichkeit kannst Du das Dreieck verschieben


  • In der 3. Möglichkeit kannst Du das Dreieck drehen. Der Winkel zeigt Dir dabei an, um wieviel Grad Du das Dreieck drehst.


  • 'Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen nennt man Kongruenzabbildungen. Dabei kann man das Dreieck A auf die Dreiecke B, C und C abbilden.''


  • Dreieck A nennt man Ausgangsfigur, Dreieck B,C und D Bildfiguren.
  • Bildfigur und Ausgangsfigur sind kongruent zueinander





Das sollest Du also wissen

Maja hat die Eigenschaften von kongruenten Figuren aufgeschrieben. Doch ein Sturm hat manche Wörter durcheinander gebracht.
Kannst Du sie wieder ordnen?
Ebert MotivatorHinweis.jpg
  • Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch Verschiebung,Drehung oder Spiegelung
    ineinander überführt werden können.
  • Diese drei Abbildungen nennt man daher auch Kongruenz-abbildungen.
  • Kongruente Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.




Anwendung der Kongruenz


Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, dann gibt es einen Kongruenzsatz dazu. Manchmal stimmen Seiten oder Winkelgrößen überein.
Erinnerst Du dich noch, wie alle Sätze heißen?


Dreieck ABC und Dreieck DEF sind kongruent.

Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent: SSS-Satz
Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent: WSW-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent: SWS-Satz
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent: SsW-Satz


Ebert Maja.jpg


Prima! Das war schon die erste Seite des Lernpfads. Das ging ja fix.'
Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen
Hier geht es weiter:

→Zerlegungsgleichheit von Figuren

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