|
|
| Zeile 2: |
Zeile 2: |
| | | | |
| | | | |
| − | ==1. Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren== | + | == Grundlagen der Zerlegungsgleichheit von Figuren== |
| − | '''Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen. | + | '''Auf dieser Seite lernst Du die Eigenschaften der Zerlegungsgleichheit von Figuren kennen.''' |
| | | | |
| − | '''Bearbeite die Aufgaben sorgfältig! | + | '''Bearbeite die Aufgaben sorgfältig!''' <br> |
| − | Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast! | + | '''Nicht mogeln...schaue erst die Lösungen an, wenn du die Aufgaben selbstsändig bearbeitet hast! |
| | Denn nur so lernst du am Besten!''' | | Denn nur so lernst du am Besten!''' |
| | <br> | | <br> |
| | | | |
| − | ===1.1 Wiederholung des Kongruenzbegriffes=== | + | ===1.Station Wiederholung des Kongruenzbegriffes=== |
| | [[Bild:Ebert_MotivatorKongruenz.jpg|center]] | | [[Bild:Ebert_MotivatorKongruenz.jpg|center]] |
| − | ----
| + | |
| | <br> | | <br> |
| − | :Weißt Du noch was man unter <span style="color:#008B00 ">'''Kongruenz von Figuren'''</span> versteht?? | + | :'''Weißt Du noch was man unter <span style="color:#008B00 ">'''Kongruenz von Figuren'''</span> versteht??''' |
| | + | |
| | + | :'''Eine Wiederholung kann sicher nicht schaden.''' |
| | | | |
| − | :Eine Wiederholung kann sicher nicht schaden.
| + | === Teste Dein Wissen!=== |
| | | | |
| − | ===1.2 Los geht´s: Teste Dein Wissen!===
| |
| − | ----
| |
| | <br> | | <br> |
| | <div class="schuettel-quiz"> | | <div class="schuettel-quiz"> |
| Zeile 30: |
Zeile 30: |
| | | | |
| | | | |
| − | ====Aufgabe: Kongruente Dreiecke====
| + | ===Aufgabe: Kongruente Dreiecke=== |
| | <br> | | <br> |
| | :'''Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?'''<br>'''''Gib die Buchstaben an.''''' | | :'''Findest Du alle Dreiecke, die zum Dreieck A kongruent sind?'''<br>'''''Gib die Buchstaben an.''''' |
| Zeile 52: |
Zeile 52: |
| | <br> | | <br> |
| | <br> | | <br> |
| − | :War Deine Lösung richtig? | + | :'''War Deine Lösung richtig?''' |
| | | | |
| − | ----
| |
| | | | |
| − | ====Wie erzeugt man kongruente Figuren?==== | + | |
| | + | ===2. Station: Wie erzeugt man kongruente Figuren?=== |
| | | | |
| | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| Zeile 73: |
Zeile 73: |
| | | | |
| | | | |
| − | ----
| |
| | | | |
| − | ===Das sollest du also wissen=== | + | |
| | + | === 3.Station: Das sollest Du also wissen=== |
| | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;"> | | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | {| | | {| |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg|center]]|| <div class="schuettel-quiz"> <br> Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch '''Verschiebung''','''Drehung''' oder '''Spiegelung'''<br> ineinander überführt werden können. <br> Diese drei Abbildungen nennt man daher auch '''Kongruenz'''-abbildungen. Kongruente Figuren habe den gleichen Flächeninhalt.<br> | + | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg|center]]|| |
| | + | <div class="schuettel-quiz"> |
| | + | *Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie durch '''Verschiebung''','''Drehung''' oder '''Spiegelung'''<br> ineinander überführt werden können. <br> |
| | + | *Diese drei Abbildungen nennt man daher auch '''Kongruenz'''-abbildungen. |
| | + | *Kongruente Figuren haben den '''gleichen''' Flächeninhalt.<br> |
| | |</div> | | |</div> |
| | |} | | |} |
| Zeile 85: |
Zeile 89: |
| | <br> | | <br> |
| | <br> | | <br> |
| − | ===Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?=== | + | ===4.Station: Wofür können wir die Kongruenz von Figuren gebrauchen?=== |
| − | ----
| + | |
| | <br> | | <br> |
| − | :'''Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der man die Kongruenz von Figuren nutzen kann. | + | :'''Du kennst sicher ein paar Anwendungsbeispiele wofür man die Eigenschaften der man die Kongruenz von Figuren nutzen kann. ''' |
| − | Dazu gehört zum Beispiel die Konstruktion von Dreiecken, wofür man die Kongruenzsätze benötigt. Kennst Du noch alle davon? | + | :'''Dazu gehört zum Beispiel die Konstruktion von Dreiecken, wofür man die Kongruenzsätze benötigt. Kennst Du noch alle davon? ''' |
| − | :::::''Ordne die richtige Abkürzung der Beschreibung zu!'''''
| + | :'''Ordne die richtige Abkürzung der Beschreibung zu!''' |
| | | | |
| | <div class="lueckentext-quiz"> | | <div class="lueckentext-quiz"> |
| Zeile 101: |
Zeile 104: |
| | <br> | | <br> |
| | ::::'''Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen''' | | ::::'''Im dem nächsten Abschnitt lernst Du ein weiteres Anwendungsbeispiel für die Kongruenz kennen''' |
| − | | + | ::::'''Hier geht es weiter:''' |
| − | ==Zerlegungsgleichheit von Figuren==
| + | [[Zerlegungsgleichheit von Figuren]] |
| − | [[Bild:Ebert_MotivatorenEinstiegFI.jpg|center]]
| + | |
| − | ===Einführung===
| + | |
| − | ====Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?====
| + | |
| − | ----
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_KapitänCheckInsel.jpg|center]]<br>
| + | |
| − | :'''Aufgabenstellung:''' | + | |
| − | : '''''Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen. '''''
| + | |
| − | * Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
| + | |
| − | * Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.
| + | |
| − | * Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <ggb_applet height= "550" width="900" filename="Ebert_AufgabeKapitänInselneu2.ggb"/>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | *'''Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | Die größte Insel ist '''Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)'''
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | *'''Begründe Deine Antwort, warum ist diese Insel die größte?'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | {{Lösung versteckt|
| + | |
| − | Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.
| + | |
| − | <br>Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.}}
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]||
| + | |
| − | | + | |
| − | * Figuren, die mit der '''gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt''' werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren '''zerlegen'''.
| + | |
| − | *Da die Inseln A und B in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch <span style="color:#00CD00">'''zerlegungsgleich,'''</span>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | ----
| + | |
| − | | + | |
| − | ===2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit===
| + | |
| − | ----
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | | [[Bild:Ebert_Zerlegungsgleiche Figuren.jpg|center]]
| + | |
| − | :Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils '''fünf Teilfiguren''' zerlegt.
| + | |
| − | :Diese Teilfiguren sind '''paarweise zueinander kongruent''', d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren. <br>
| + | |
| − | :Aus den '''Eigenschaften der Kongruenz''' ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den '''gleichen Flächeninhalt''' besitzen. | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F<sub>1</sub> bis F<sub>5</sub> zusammen.'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | '''Ergänze die fehlenden Felder'''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | F<sub>Quadrat</sub> = '''F<sub>1</sub>''' + F<sub>2</sub> + '''F<sub>3</sub>''' + F<sub>4</sub> + '''F<sub>5</sub>''' ='''F<sub>Sechseck</sub>''' <br>
| + | |
| − | Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den '''gleichen''' Flächeninhalt!
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :::'''Logo fasst hier Deine Beobachtungen kurz zusammen. Übertrage Sie in Dein Heft:'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
| + | |
| − | * '''Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren. '''<br>
| + | |
| − | * '''Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können'''
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :::'''Maja möchte Dir auch noch etwas sagen:'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]] || '''Das ist ja klasse'''! <br>
| + | |
| − | * '''Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen.'''
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_Zerlegungsgleiche Figuren.jpg]] <br>
| + | |
| − | * '''Der Flächeninhalt dieser beiden Figuren ändert sich dabei aber nicht.''' <br>
| + | |
| − | * <span style="color: green">'''Somit können wir feststellen, dass '''zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,''' <br> obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!'''</span>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_Halbkreisbilderneu.jpg|center]]
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | [[Hier findest du den Hinweis ]]
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Zusammenfassung===
| + | |
| − | :'''Übertrage folgende Definition in Dein Heft:'''
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
| + | |
| − | <span style="color:#ff0000">'''Zerlegungsgleichheit von Figuren'''</span>
| + | |
| − | Zwei Figuren sind <span style="color:#ff0000">'''zerlegungsgleich,'''</span> wenn sie in paarweise <span style="color:#ff0000">'''kongruente Teilfiguren'''</span> zerlegt werden können.<br> ''Beispiel:''
| + | |
| − | <br> [[Bild:Ebert_Merkbilder_Zerlegungsgleichheit.jpg]]
| + | |
| − | <br> Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen <span style="color:#ff0000">'''Flächeninhalt'''</span>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | | [[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg]]||
| + | |
| − | * Du weißt bereits, wie man den Flächeninhalt des linken Quadrates berechnet. Formel
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_Merkbilder_Zerlegungsgleichheit.jpg]]
| + | |
| − | * Da das nebenstehende Sechseck zerlegungsgleich zum Quadrat ist und damit den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat besitzt. kennen wir auch den Flächeninhalt des Sechsecks.
| + | |
| − | * <span style="color: #008B00">'''Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.'''</span>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Ergänzungsgleichheit von Figuren===
| + | |
| − | ====Du hast nun das Prinzip der Zerlegungsgleichheit kennen gelernt. Hier lernst Du noch eine weitere Eigenschaft der Zerlegungsgleichheit====
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | :'''Das Trapez und das Rechteck sind zerlegungsgleich, denn sie können z.B. in jeweils vier zueinander kongruente Dreiecke zerlegt werden. Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:'''<br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_Ergänzungsgleichheit1neu.jpg|center]]<br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | :'''Man nennt dieses Rechteck und das Trapez aber auch <span style="color: blue">ergänzungsgleich</span> Betrachte Dir dazu das nachfolgende Bild:'''<br>
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_Ergänzungsgleichheit2neu.jpg|center]]<br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::'''Was bedeutet Ergänzungsgleichheit? Fülle dazu die Lücken aus:
| + | |
| − | '''
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | Das '''Trapez''' und das Rechteck sind '''ergänzungsgleich''', das sie durch Ergänzung mit '''kongruenten Teilfiguren''', in diesem Fall mit je '''zwei''' blauen Dreiecken in zueinander kongruente Figuren '''A und B''' überführt werden können.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :::: '''Merke Dir folgende Definition zur Ergänzungsgleichheit gut und übetrage sie in Dein Heft!'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | | [[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg]]||
| + | |
| − | * '''Zwei Figuren sind <span style="color: red">ergänzungsgleich</span>, wenn man sie durch <span style="color: red">Ergänzung mit kongruenten Teilfiguren</span> in <span style="color: red">zerlegungsgleiche Figuren</span> umwandeln kann.'''
| + | |
| − | * '''<span style="color: red">Ergänzungsgleiche</span> Figuren sind daher auch <span style="color: red">zerlegungsgleich</span>.'''
| + | |
| − | * '''Ergänzungsgleiche Figuren besitzen den <span style="color: red">gleichen Flächeninhalt.</span>'''
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_Ergänzungsgleichheit2.jpg|center]]
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Übung ===
| + | |
| − | ====Klassenzimmer streichen====
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Eine Schulklasse hat sich entschieden die Rückwand des Klassenzimmers neu zu streichen. Da die Mädchen gelb und die Jungen grün streichen wollen, haben sie sich geeinigt die Rückwand jeweils in der Hälfte der Farben zu streichen. <br>
| + | |
| − | :Hilf der Klasse bei den Designvorschlägen.''' <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :Hier siehst Du die Rückwand des Klassenzimmers. Sie ist '''4 Meter hoch''' und '''6 Meter breit'''.
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_AufgabeSchulwandstreichen.jpg|center]]
| + | |
| − | : '''Das Rechteck stellt die Rückwand des Klassenzimmers dar.'''
| + | |
| − | <div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| + | |
| − | {| <br>
| + | |
| − | : '''Maja hat bereits einen Vorschlag gemacht: Dieses Bild zeigt eine Möglichkeit die Rückwand zur Hälfte grün und zur anderen Hälfte gelb zu streichen.'''
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_VorschlagMaja.jpg|center]]
| + | |
| − | :'''Sie begründet ihr Vorgehen so:'''
| + | |
| − | |[[Bild:Ebert_MotivatorHinweis.jpg|200px]]|| '''"Ich habe die Rückwand in der Höhe halbiert, die Länge aber gleich gelassen und somit das Rechteck in zwei kongruente Teilrechtecke zerlegt, die jeweils gelb und grün gestrichen werden."''' <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | '''Wieviele Vorschläge hast Du?''' ''Übertage das Rechteck in Dein Heft und sei kreativ! Aber achte auch auf die Aufgabenstellung!''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | :'''Du findest hier weitere Lösungsvorschläge:'''
| + | |
| − | :{{Lösung versteckt|
| + | |
| − | [[Bild:Ebert_LösungsvorschlägeWand.jpg|center]]}}
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | '''Hast Du mehr Ideen gefunden?? Prima!'''
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | '''Aufgabenstellung:'''<br>
| + | |
| − | Zeige, warum in den Lösungsvorschlägen '''3, 7 und 8''' jeweils genau die Hälfte grün bzw. gelb gestrichen wird. '''Begründe mit dem, was Du bisher über Flächeninhalte gelernt hast, und fülle die Lücken aus:''' <br>
| + | |
| − | <div class="lueckentext-quiz">
| + | |
| − | [[Bild:Rechteck3.jpg|200px]]<br>
| + | |
| − | Rechteck 3 wurde entlang der '''Diagonalen halbiert'''. Es entstehen dabei '''2 kongruente Teildreiecke.''' Da zueinander kongruente Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen ist genau die Hälfte des Rechtecks grün bzw. gelb. <br>
| + | |
| − | [[Bild:Rechteck7.jpg|200px]]<br>Das Rechteck 7 wurde in '''4 kongruente Dreiecke''' zerlegt. '''Je 2''' davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da <math>{2\over 4}= {1\over2}</math> wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.<br>
| + | |
| − | [[Bild:Rechteck8.jpg|200px]]<br>Dieses 8. Rechteck wurde in '''8 kongruente Teildreiecke''' zerlegt. '''Je 4''' davon wurden grün bzw. gelb gefärbt. Da <math>{4\over 8}= {1\over2}</math> wurde je die Hälfte grün bzw. gelb gefärbt.<br>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
