Volumen: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Volumen von Würfel und Quader)
 
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Wenn wir von dem '''Volumen''' sprechen meinen wir den '''Rauminhalt'''. Rechts in dem Applet kannst du innerhalb des Würfels einen kleineren Würfel sehen. Diesen nennen wir den '''Einheitswürfel'''. Einheitswürfel heißt er, weil er 1 cm breit, 1 cm hoch und 1 cm tief ist. Somit können wir sein Volumen mit 1 cm³ definieren.
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Wenn wir von dem '''Volumen''' sprechen meinen wir den '''Rauminhalt'''. Rechts in dem Applet kannst du innerhalb des Würfels einen kleineren Würfel sehen. Diesen nennen wir den '''Einheitswürfel'''. Einheitswürfel heißt er, weil er 1 cm lang, 1 cm breit und 1 cm hoch ist. Somit können wir sein Volumen mit 1 cm³ definieren.
 
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:Wenn wir nun bei einem Körper das Volumen angeben möchten, dann brauchen wir einfach nur  
 
:Wenn wir nun bei einem Körper das Volumen angeben möchten, dann brauchen wir einfach nur  
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:nachzuzählen wie viele Einheitswürfel da rein passen.
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:nachzuzählen wie viele Einheitswürfel da hineinpassen.
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:Schaue dir das Applet doch mal genau an.  
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:Kannst du sagen, wie viele Einheitswürfel da reinpassen?
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:Kannst du sagen, wie viele Einheitswürfel da hineinpassen?
 
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Es passen '''27(Einheitswürfel)''' in den großen Würfel rein.
 
Es passen '''27(Einheitswürfel)''' in den großen Würfel rein.
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==='''Aufgabe 1:Wie viele Würfel wurden gebraucht?'''===
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Für die Figur A wurden '''16 (Würfel)''' benötigt. Das sind '''4 (Würfel''') mehr als bei Figur B. '''29 (Würfel)''' braucht man um die Figur C zu erhalten. Um daraus ein Quader zu bekommen muss man noch '''43 (Würfel)''' dazupacken.
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Für [[Bild:WürfelfigurA.png|70px]] wurden '''16 (Würfel)''' benötigt. Die Figur A hat somit ein Volumen von '''16(cm³)'''. Das sind '''4 (cm³)''' mehr als bei [[Bild:WürfelfigurB.png|70px]], wofür man nur '''12(Würfel)''' benötigt. '''29 (Würfel)''' braucht man um [[Bild:WürfelfigurC.png|70px]] zu erhalten. Um daraus ein Quader zu bekommen muss man noch '''43 (Würfel)''' dazupacken. Der Quader hätte dann ein Volumen von '''72(cm³)'''.
  
 
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==='''<u>Volumen vom Würfel</u>'''===
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'''Da wir nicht immer alle Einheitswürfel abzählen können, brauchen wir eine Formel die uns beim Berechnen des Volumens helfen soll. Um diese zu erhalten sollen uns die zwei folgenden Bilder helfen.'''
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Da wir nicht immer alle Einheitswürfel abzählen können, brauchen wir eine Formel, die uns beim Berechnen des Volumens helfen soll. Überlege dir '''gemeinsam mit deinem Banknachbarn''' wie diese ausschauen könnte. Das Bild soll euch dabei helfen!
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Die Formel für das Würfelvolumen (V<sub>W</sub>) lautet: <u style="color:lightgreen;background:lightgreen">V<sub>W</sub>=a·a·a=a³</u><br>
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<small>Beachte: Markierst du das grüne Kästchen, dann erhälst du die Lösung.</small>
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'''Hier rechts im Bild haben wir vorne a Einheitswürfel nebeneinander liegen. Und diese Reihe haben wir nach hinten weg insgesamt a mal liegen.'''
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'''Kannst du sagen wie groß dieses untere Volumen ist?''' (a·a cm³) (!a+a cm³) (!a cm³) (!2·a cm³)
 
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'''Wir wissen nun, dass unser unteres Volumen a² m³ groß ist. Dieses Volumen haben wir, wie du rechts im Bild sehen kannst auch a mal nach oben hin.'''
 
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'''Kannst du nun auch sagen wie groß dieses Volumen ist?''' (a²·a cm³) (!a²·a cm²) (!a²+a cm³) (!2·a² cm³)
 
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'''Zähle bei dem Bild ab wie groß a ist. Kannst du sagen wie groß das Volumen an diesem speziellen Würfel ist?''' (!32 cm³) (!20 cm³)(!64 cm²) (64 cm³)
 
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==='''<u>Volumen vom Quader</u>'''===
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==='''<u>Das Quadervolumen</u>'''===
 
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'''Die Einheitswürfel helfen uns nicht nur beim Würfel, sondern auch bei Quader. Hier müssen wir aber beachten, dass wir drei verschiedene Kantenlängen haben. Schaue dir dazu doch mal das Applet rechts an. Ziehst du an dem Punkt nach rechts, so füllt sich der Quader mit Einheitswürfeln.'''
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Die Einheitswürfel helfen uns nicht nur bei dem Würfel, sondern auch beim Quader. Schaue dir dazu doch mal das Applet an.
 
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'''Kannst du sagen, wie man das Volumen vom Quader berechnet? Schaue dir dazu nochmal die Schritte an, wie wir auf die Volumenformel beim Würfel gekommen sind.<br> <small>Beachte:Gib das Rechenzeichen als Wort an, z.B. für "+" schreibst du "plus", für "·" schreibst du "mal".</small>''' <br>
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Kannst du sagen, wie man das Volumen vom Quader berechnet? <br>  
 
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Die Volumenformel für ein Quader lautet: V='''a mal b mal c(Volumen vom Quader)'''
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(V<sub>Q</sub> = a·b·c)(!V<sub>Q</sub> = a·b+b·c)(!V<sub>Q</sub> = a·c+b)
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|| <ggb_applet height="450" width="550" filename="QuaderSchieberegler4.ggb"/>
 
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|| <ggb_applet height="450" width="550" filename="VolumenQuader.ggb"/>
 
 
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==='''<u>Übung 1: Verpackungen über Verpackungen</u>'''===
 
==='''<u>Übung 1: Verpackungen über Verpackungen</u>'''===
 
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'''Ein großer Verpackungenhersteller muss die richtige Verpackung für ein neues Produkt finden und untersucht dafür bereits existierende Verpackungen. Die Verpackung muss groß genug sein, dass eine Füllung von 1 l reinpasst. Untersucht werden die folgenden Verpackungen (siehe auch rechts im Bild):
 
 
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Berechne bei allen Verpackungen die Füllmenge (mache die Nebenrechnungen auf ein Blatt Papier) und trage die Lösungen unten ein. Gebe die Füllmenge in ml an. <br>
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* '''Porzellanpackung mit den Maßen: 11 cm hoch, 10 cm breit und 10 cm tief'''
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Beachte: 1 ml = 1 cm³ (ml = Milliliter)
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* '''Parfumpackung mit den Maßen: 8 cm hoch, 8 cm breit und 8 cm tief'''
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* '''Spaghettipackung mit den Maßen: 24 cm hoch, 8 cm breit und 4 cm tief'''
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* '''Milchpackung mit den Maßen: 18 cm hoch, 10 cm breit und 6 cm tief'''
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* '''DVD-Packung mit den Maßen: 17 cm hoch, 14 cm breit und 3 cm tief'''
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'''Berechne bei allen Verpackungen die Füllmenge (mache die Nebenrechnungen auf ein extra Blatt Papier) und trage die Lösungen unten ein.Gebe die Füllmenge in ml an.''' <br>
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'''Beachte: 1 ml = 1 cm³'''
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* Porzellanpackung: '''1100(ml)'''
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* Porzellanpackung: '''1331(ml)'''
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* Parfumpackung: '''512(ml)'''
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* Spaghettipackung: '''768(ml)'''
 
* Spaghettipackung: '''768(ml)'''
 
* Milchpackung: '''1080(ml)'''
 
* Milchpackung: '''1080(ml)'''
 
* DVD-Packung: '''714(ml)'''
 
* DVD-Packung: '''714(ml)'''
 
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'''Die Hersteller benötigt eine Verpackung mit einer Füllmenge von mindestens 1 l, welche Verpackungen kommen dafür in Frage?'''<br>  
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Der Hersteller benötigt eine Verpackung mit einer Füllmenge von mindestens 1 l. Welche Verpackungen kommen dafür in Frage?<br>  
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'''Beachte: 1 l = 1000 ml; es können mehrere Antworten richtig sein.''' (Porezellanpackung) (!Parfumpackung) (!Spaghettipackung) (Milchpackung) (!DVD-Packung)
+
'''Beachte: 1 l = 1000 ml (l = Liter); es können mehrere Antworten richtig sein.''' (Porezellanpackung) (!Spaghettipackung) (Milchpackung) (!DVD-Packung)
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{{Merke|:'''<u>Volumen von Würfel und Quader:</u>'''<br>
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*'''Das Volumen eines Würfels berechnest du mit    <br>   <math>V=a^3</math>''' <br><small>(Beachte: a steht für die Kantenlänge des Würfels, V steht für das Volumen.)</small>
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*'''Das Volumen eines Würfels berechnest du mit'''   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;   <math>V_W=a\cdot a\cdot a = a^3</math> <br /> <small>(Beachte: a steht für die Kantenlänge des Würfels, V steht für das Volumen.)</small>
 
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*'''Das Volumen eines Quaders berechnest du mit <br> <math>V=a\cdot b\cdot c</math>''' <br><small>(Beachte: a, b und c stehen für die Kantenlängen des Quaders.)</small>}}
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*'''Das Volumen eines Quaders berechnest du mit''' &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>V_Q=a\cdot b\cdot c</math> <br><small>(Beachte: a, b und c stehen für die Kantenlängen des Quaders.)</small>}}
 
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:'''Übertrage diesen Merksatz in die vorhergesehene Stelle auf deinem Arbeitsblatt.'''
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:[[Bild:Ausrufezeichen.jpg|20px]]'''Übertrage die Merksätze in die vorhergesehene Stelle auf deinem Arbeitsblatt.'''
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:'''Super! Du hast alles geschafft! Versuche dich doch jetzt mal an den Knobelaufgaben! Viel Spaß!'''
 
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[[../Knobelaufgaben|'''Hier geht es zu den Knobelaufgaben für die Schnellen''']]
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[[../Oberfläche|'''Hier geht es zurück zur 2. Station''']]

Aktuelle Version vom 21. Juli 2010, 13:52 Uhr


Volumen von Würfel und Quader



Der Einheitswürfel



Wenn wir von dem Volumen sprechen meinen wir den Rauminhalt. Rechts in dem Applet kannst du innerhalb des Würfels einen kleineren Würfel sehen. Diesen nennen wir den Einheitswürfel. Einheitswürfel heißt er, weil er 1 cm lang, 1 cm breit und 1 cm hoch ist. Somit können wir sein Volumen mit 1 cm³ definieren.

V=1 cm^3
Wenn wir nun bei einem Körper das Volumen angeben möchten, dann brauchen wir einfach nur
nachzuzählen wie viele Einheitswürfel da hineinpassen.
Schaue dir das Applet doch einmal genau an.
Kannst du sagen, wie viele Einheitswürfel da hineinpassen?

Es passen 27(Einheitswürfel) in den großen Würfel rein.




Wie viele Würfel wurden gebraucht?

Für WürfelfigurA.png wurden 16 (Würfel) benötigt. Die Figur A hat somit ein Volumen von 16(cm³). Das sind 4 (cm³) mehr als bei WürfelfigurB.png, wofür man nur 12(Würfel) benötigt. 29 (Würfel) braucht man um WürfelfigurC.png zu erhalten. Um daraus ein Quader zu bekommen muss man noch 43 (Würfel) dazupacken. Der Quader hätte dann ein Volumen von 72(cm³).

AufgabeWürfel.png




Das Würfelvolumen



Da wir nicht immer alle Einheitswürfel abzählen können, brauchen wir eine Formel, die uns beim Berechnen des Volumens helfen soll. Überlege dir gemeinsam mit deinem Banknachbarn wie diese ausschauen könnte. Das Bild soll euch dabei helfen!

VolumenWürfel3.png


Die Formel für das Würfelvolumen (VW) lautet: VW=a·a·a=a³
Beachte: Markierst du das grüne Kästchen, dann erhälst du die Lösung.




Das Quadervolumen



Die Einheitswürfel helfen uns nicht nur bei dem Würfel, sondern auch beim Quader. Schaue dir dazu doch mal das Applet an.
Kannst du sagen, wie man das Volumen vom Quader berechnet?

(VQ = a·b·c)(!VQ = a·b+b·c)(!VQ = a·c+b)




Übung 1: Verpackungen über Verpackungen


Verpackungsaufgabe.jpg


Berechne bei allen Verpackungen die Füllmenge (mache die Nebenrechnungen auf ein Blatt Papier) und trage die Lösungen unten ein. Gebe die Füllmenge in ml an.
Beachte: 1 ml = 1 cm³ (ml = Milliliter)

  • Porzellanpackung: 1331(ml)
  • Spaghettipackung: 768(ml)
  • Milchpackung: 1080(ml)
  • DVD-Packung: 714(ml)


Der Hersteller benötigt eine Verpackung mit einer Füllmenge von mindestens 1 l. Welche Verpackungen kommen dafür in Frage?
Beachte: 1 l = 1000 ml (l = Liter); es können mehrere Antworten richtig sein. (Porezellanpackung) (!Spaghettipackung) (Milchpackung) (!DVD-Packung)

 




Nuvola apps kig.png   Merke
Volumen von Würfel und Quader:
  • Das Volumen eines Würfels berechnest du mit       V_W=a\cdot a\cdot a = a^3
    (Beachte: a steht für die Kantenlänge des Würfels, V steht für das Volumen.)


  • Das Volumen eines Quaders berechnest du mit       V_Q=a\cdot b\cdot c
    (Beachte: a, b und c stehen für die Kantenlängen des Quaders.)


Ausrufezeichen.jpgÜbertrage die Merksätze in die vorhergesehene Stelle auf deinem Arbeitsblatt.
Super! Du hast alles geschafft! Versuche dich doch jetzt mal an den Knobelaufgaben! Viel Spaß!




Hier geht es zu den Knobelaufgaben für die Schnellen

Hier geht es zurück zur 2. Station

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