Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²": Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 5. Dezember 2018, 23:44 Uhr

Lernpfad

Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) $=$ ax²"

In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a
Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a
Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick
Aufstellen der Funktionsgleichung
Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x) $=$ ax²"

In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. Dieser Parameter sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.

Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:

                         f(x)= ax²

Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, wollen wir die Begriffe "Streckung" und "Stauchung" kurz erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.

Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.

Aufgabe:

Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!


gestreckt		gestaucht		normal

Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.

STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:

Quadratische Funktion "f(x) $=$ ax²"

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise:

In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau

Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a

Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder

Aufgabe:
Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die Normalparabel?

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in y-Richtung.
Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a Eins ist, denn dann ist "f(x) = 1x² = x²" identisch der Normalparabel.
Ist a > 1, so ist der Graph gestreckt.
Ist a < 1, so nennt man den Graph gestaucht.
Außerdem ist die quadratische Funktion "f(x) = ax²" für den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt mit den Koordinaten $(0\!\,|\!\,0)$ .

Merke

Für die quadratische Funktion "f(x) $=$ a $\cdot$ x²" mit dem positiven Vorfaktor a gilt:

Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung
Für a $=$ 1 gilt: Identisch zur Normalparabel, denn "f(x) $=$ 1 $\cdot$ x² $=$ x²"
Für a > 0 gilt:
- Der Graph ist nach oben geöffnet
- Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$
- Für a > 1 gilt: Der Graph ist gestreckt
- Für a < 1 gilt: Der Graph ist gestaucht

Da wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.

STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a

Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.

Quadratische Funktion "f(x) = ax²", für positiven und negativen Parameter a:

Aufgabe und Quiz:

Aufgabe:

Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird?

Quiz:

Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten)

Welche Aussage ist für den negativen Vorfaktor a richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt)

Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung)

Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht)

Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1)

Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)

Merke

Für die quadratische Funktion "f(x) $=$ a $\cdot$ x²" mit dem negativen Vorfaktor a gilt:

Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der Spiegelung an der x-Achse sowie einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung
Für a $=$ -1 gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; "f(x) $=$ -1 $\cdot$ x² $=$ -x²"
Für a < 0 gilt:
- Der Graph ist nach unten geöffnet
- Scheitelpunkt S ist höchster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$
- Für a < -1 gilt: Der Graph ist gestreckt
- Für a > -1 gilt: Der Graph ist gestaucht

STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick

Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!

Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!
Lies dafür zunächst alle Vorgaben und alle möglichen Lösungen genau durch.

	Vorgabe	Passender Textbaustein
1.	Vorfaktor a ist negativ	Nach unten geöffnete Parabel
2.	a < -1	Graph ist gestreckt
3.	Scheitelpunkt S für negativen Parameter a	Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S $[0\|0]$
4.	0 > a > -1	Graph ist gestaucht
5.	Vorfaktor a ist positiv	Nach oben geöffnete Parabel
6.	0 < a < 1	Graph ist gestaucht
7.	Scheitelpunkt S für positiven Parameter a	Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S $[0\|0]$
8.	a > 1	Graph ist gestreckt
9.	Der Vorfaktor a bewirkt eine…	Streckung oder Stauchung der Normalparabel

STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung

Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt. Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall für "f(x)= a $\cdot$ x²". Im nächsten Lernpfad erfährst du dann, wie man den Parameter a auch für verschobene Parabeln bestimmt.

Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.

Quadratische Funktion "f(x) = ax²", für positiven und negativen Parameter a:

Hinweis und Aufgaben:

1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x²". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts.

Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen, um die Parabelkurve zu erreichen? (!2) (1) (!3)

2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse.

Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen? (!3) (2) (!4)

3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche das folgende Quiz zu lösen:

Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert: (!1) (!2) (!3) (4)

4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2.

Funktioniert das Ablesen bei einem negativen Vorfaktor a genauso wie bei positiven Werten von a? (!Nein) (JA)

5. Man geht vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten!

Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a?? (!1) (-3) (!3)

Merke

Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:

Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt
Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts
Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve
Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a
Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv
Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ

Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!

Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!


y = -0,5x²		y = 0x²		y = 2x²		y = -4x²		y = 0,5x²

STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x) $=$ ax²"

1. Aufgabe:

Um dir einmal zu zeigen, in welchen Bereichen des Alltags die Parabelform beispielsweise auftaucht, siehst du hier den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung. Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein!

Frage:

Was muss für den Vorfaktor a gelten? (Mehrere Antworten möglich!) (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0)

2. Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x²".

Im folgenden "GeoGebra-Applet" erkennst du die Punkte A, B, C und D. Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben. Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!

3. Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax²".

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt $[2|12]$ verläuft? (!1) (!2) (3) (!4)

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt $[3|9]$ verläuft? (1) (!2) (!3) (!4)

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt $[4|32]$ verläuft? (!1) (2) (!3) (!4)

Glückwunsch!

Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x) $=$ ax²" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!

Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²": Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 5. Dezember 2018, 23:44 Uhr

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-{{Lernpfad-M|<big>'''Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²"'''</big>
+{{Lernpfad-M|<big>'''Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</big>
+__NOCACHE__
 '''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
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 *'''Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick'''
 *'''Aufstellen der Funktionsgleichung'''
-*'''Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup> '''
+*'''Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" '''
 }}
 In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert.
-Wie schon die Überschrift erkennen lässt, sorgt dieser Parameter für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.
+Dieser Parameter sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.
 Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:
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-Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, müssen wir die Begriffe "Streckung", "Stauchung" und "Spiegelung" erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.
+Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, wollen wir die Begriffe "Streckung" und "Stauchung" kurz erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.
 Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.
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 {|
 |-
-| [[Bild:Bild für Lernpfad1.jpg]]   ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad2.jpg]]   ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad3.jpg]]   ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad4.jpg]]   ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad5.jpg]]
+| [[Bild:Bild für Lernpfad1.jpg]]   ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad2.jpg]]   ||||   [[Bild:Bild für Lernpfad3.jpg]]
 |-
-| <strong> gestreckt </strong>  |||| <strong> gestaucht </strong> |||| <strong> normal </strong> |||| <strong> gespiegelt </strong> |||| <strong> keine Spiegelung </strong>
+| <strong> gestreckt </strong>  |||| <strong> gestaucht </strong> |||| <strong> normal </strong>
 |}
 </div>
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 {| {{Prettytable}}
 |- style="background-color:#8DB6CD"
-! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
+! Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
 |-
 | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionpositivea.ggb" /> ||
-'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau <br>* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder
+'''Hinweise:'''
-<br>
+* In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau
+* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a
-'''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a an der quadratischen Funktion im Hinblick auf die  Normalparabel?
+* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder
+<br>
+'''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die  Normalparabel?
 <br>
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 <div class="lueckentext-quiz">
 Der Vorfaktor a führt zu einer '''Streckung oder Stauchung''' der Normalparabel in '''y-Richtung'''. <br>
-Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a '''Eins''' ist, denn dann ist <br>
+Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a '''Eins''' ist, denn dann ist "f(x) = 1x<sup>2</sup> = x<sup>2</sup>" '''identisch''' der Normalparabel. <br>
-f(x) = 1x<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> '''identisch''' der Normalparabel. <br>
 Ist a '''>''' 1, so ist der Graph gestreckt.  <br>
 Ist a < 1, so nennt man den Graph '''gestaucht'''. <br>
-Außerdem ist die quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup> nach '''oben''' geöffnet und der '''Scheitelpunkt''' S ist '''tiefster''' Punkt mit den Koordinaten <math>(0\!\,|\!\,0)</math>.
+Außerdem ist die quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>" für den positiven Vorfaktor a nach '''oben''' geöffnet und der '''Scheitelpunkt''' S ist '''tiefster''' Punkt mit den Koordinaten <math>(0\!\,|\!\,0)</math>.
 </div>
 |}
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 {{Merke|
-Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''positiven''' Faktor a gilt:
+Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>"''' mit dem '''positiven''' Vorfaktor a gilt:
 * Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung
-* Für '''a <math>=</math> 1''' gilt: Identisch zur Normalparabel, denn '''f(x)<math>=</math> 1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> x<sup>2</sup>'''
+* Für '''a <math>=</math> 1''' gilt: Identisch zur Normalparabel, denn '''"f(x)<math>=</math> 1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> x<sup>2</sup>"'''
 * Für '''a > 0''' gilt:
 ** Der Graph ist nach '''oben''' geöffnet
@@ Zeile 91: / Zeile 93: @@
-Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.
+Da wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.
@@ Zeile 100: / Zeile 102: @@
+Bearbeite das folgende '''Quiz''' und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.
-Bearbeite das folgende '''Quiz''' und lerne die Auswirkungen kennen, wenn der Parameter a negativ wird!
 {| {{Prettytable}}
 |- style="background-color:#8DB6CD"
-! Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz:
+! Quadratische Funktion "f(x) = ax²", für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz:
 |-
 | <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionnegativea.ggb" /> || <div class="multiplechoice-quiz">
@@ Zeile 112: / Zeile 112: @@
 '''Aufgabe:'''
-Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a, wenn er negativ wird?
+Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird?
 '''Quiz:'''
@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten)
-Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt)
+Welche Aussage ist für den negativen Vorfaktor a richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt)
-Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkgt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung)
+Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung)
 Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht)
-Für welche negativen Werte von a, ist der an der x-Achse gespiegelte Graph gestreckt?  (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1)
+Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestreckt?  (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1)
-Für welche negativen Werte von a, ist der an der x-Achse gespiegelte Graph gestaucht?  (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)
+Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht?  (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)
 </div>
@@ Zeile 133: / Zeile 133: @@
 {{Merke|
-Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''negativen''' Faktor a gilt:
+Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>"''' mit dem '''negativen''' Vorfaktor a gilt:
 * Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie einer '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung
-* Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; '''f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> -x<sup>2</sup>'''
+* Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; '''"f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> -x<sup>2</sup>"'''
 * Für '''a < 0''' gilt:
 ** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet
@@ Zeile 151: / Zeile 151: @@
-Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
+Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
 <div class="lueckentext-quiz">
-[[Bild:OriginalbildParametera.jpg|300px|right|border]]
 {| class="puzzle"
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera1.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera1.jpg|100px]]'''
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera4.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera4.jpg|100px]]'''
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera7.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera7.jpg|100px]]'''
 |-
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera2.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera2.jpg|100px]]'''
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera5.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera5.jpg|100px]]'''
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera8.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera8.jpg|100px]]'''
 |-
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera3.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera3.jpg|100px]]'''
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera6.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera6.jpg|100px]]'''
-|'''[[Bild:OriginalbildParametera9.jpg|100px]]'''
+|'''[[Bild:PParametera9.jpg|100px]]'''
 |}
 </div>
+<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
+<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
+<br><br><br>
 '''Aufgabe:'''
-Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen die richtigen Kombinationen zu finden!
+Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!<br>
-Lies die Vorgaben und die möglichen Lösungen zuerst genau durch.
+Lies dafür zunächst alle Vorgaben und alle möglichen Lösungen genau durch.
@@ Zeile 182: / Zeile 184: @@
 {|
 |-
-|  || <u> Vorgabe </u> || <u> Passendes Puzzleteil </u>
+|  || <u> Vorgabe </u> || <u> Passender Textbaustein </u>
 |-
 | 1. || Vorfaktor a ist negativ  || <strong>Nach unten geöffnete Parabel</strong> <br>
@@ Zeile 188: / Zeile 190: @@
 | 2. || a < -1  || <strong>Graph ist gestreckt</strong>
 |-
-| 3. || Scheitelpunkt S für negativen Parameter a  || <strong>Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]</strong>
+| 3. || Scheitelpunkt S für negativen Parameter a  || <strong>Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S <math>[0|0]</math> </strong>
 |-
 | 4. || 0 > a > -1  || <strong>Graph ist gestaucht</strong>
@@ Zeile 196: / Zeile 198: @@
 | 6. || 0 < a < 1  || <strong>Graph ist gestaucht</strong>
 |-
-| 7. || Scheitelpunkt S für positiven Parameter a  || <strong>Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]</strong>
+| 7. || Scheitelpunkt S für positiven Parameter a  || <strong>Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S <math>[0|0]</math> </strong>
 |-
 | 8. || a > 1  || <strong>Graph ist gestreckt</strong>
@@ Zeile 231: / Zeile 233: @@
-Bisher hast du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler der Geogebraanwendungen ablesen können. Nun wollen wir mal schauen, wie man anhand eines Graphen, den Parameter a bestimmt.
+Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt.
-Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall, dass die Parabel weder in x-Richtung noch in y-Richtung verschoben wird, also für "f(x)= a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>". Im nächsten Lernpfad folgt dann die Bestimmung des Parameters a auch für verschobene Parabeln.
+Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall für "f(x)= a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>".   Im nächsten Lernpfad erfährst du dann, wie man den Parameter a auch für verschobene Parabeln bestimmt.
-Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei, die Vorgehensweise zum Bestimmen des Parameters a zu erkennen.
+Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.
 {| {{Prettytable}}
 |- style="background-color:#8DB6CD"
-! Quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup>, für positiven und negativen Parameter a:!! Hinweis und Aufgaben:
+! Quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>", für positiven und negativen Parameter a:!! Hinweis und Aufgaben:
 |-
 | <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="BestimmungParametera.ggb" /> ||
-. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x<sup>2</sup>". Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse.
+. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x<sup>2</sup>". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts.
 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen um die Parabelkurve zu erreichen?''' (!2) (1) (!3)
+'''Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen, um die Parabelkurve zu erreichen?''' (!2) (1) (!3)
 </div>
 <br>
-. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1.
+. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse.
 <div class="multiplechoice-quiz">
@@ Zeile 258: / Zeile 260: @@
-. Erkennst du schon ein Muster? Versuche folgendes Quiz zu lösen:
+. Erkennst du schon ein Muster? Versuche das folgende Quiz zu lösen:
 <div class="multiplechoice-quiz">
@@ Zeile 270: / Zeile 272: @@
 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Funktioniert das Ablesen des negativen Parameters a genauso, wie bei positiven Werten von a?''' (!Nein) (JA)
+'''Funktioniert das Ablesen bei einem negativen Vorfaktor a genauso wie bei positiven Werten von a?''' (!Nein) (JA)
 </div>
 <br>
@@ Zeile 279: / Zeile 281: @@
 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Wie lautet der Wert vom Parameter a??''' (!1) (-3) (!3)
+'''Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a??''' (!1) (-3) (!3)
 </div>
 <br>
@@ Zeile 287: / Zeile 289: @@
 {{Merke|
-'''Anleitung zur Bestimmung des Parameters a:''' <br>
+'''Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:''' <br>
-* Der Startpunkt zum Bestimmen des Parameters ist der Scheitelpunkt<br>
+* Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br>
 * Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br>
 * Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br>
-* Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Parameter a <br>
+* Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a <br>
 * Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br>
 * Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ  <br>
 }}
-Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Parameters a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.
+Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.
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-<div align="center"><big><u>'''STATION 5: Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>'''</u></big></div>
+<div align="center"><big><u>'''STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</u></big></div>
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 <big>'''1. Aufgabe:'''</big>
-Um mal zu zeigen, woe die Parabel alles im Alltag vorkommt, hast du hier den Ausschnitt einer Brücke gegeben. Beantworte zuerst die Frage und stelle dann den Graphen, durch Bedienen des Schiebereglers, richtig ein!
+Um dir einmal zu zeigen, in welchen Bereichen des Alltags die Parabelform beispielsweise auftaucht, siehst du hier den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung. Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein!
 Frage:
 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Was muss für den Parameter a gelten?''' (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0)
+'''Was muss für den Vorfaktor a gelten? (Mehrere Antworten möglich!)''' (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0)
 </div>
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 Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x<sup>2</sup>".
-In der folgenden Geogebra-Anwendung erkennst du die Punkte A, B, C und D.
+Im folgenden "GeoGebra-Applet" erkennst du die Punkte A, B, C und D.
-Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist vorgegeben.
+Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben.
 Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle.
-Überprüfe anschlieschließend, durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graphen liegen, denn dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!
+Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!
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 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [2; 12] verläuft?''' (!1) (!2) (3) (!4)
+'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[2|12]</math> verläuft?''' (!1) (!2) (3) (!4)
 </div>
 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [3; 9] verläuft?''' (1) (!2) (!3) (!4)
+'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[3|9]</math> verläuft?''' (1) (!2) (!3) (!4)
 </div>
 <div class="multiplechoice-quiz">
-'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [4; 32] verläuft?''' (!1) (2) (!3) (!4)
+'''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt <math>[4|32]</math> verläuft?''' (!1) (2) (!3) (!4)
 </div>
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 '''Glückwunsch!'''
-Damit hast du den Lernpfad "Streckung, Stauchung und Spiegelung der quadratischen Funktion" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktionen gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!
+Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!