Die Normalform f(x) = x² + bx + c: Unterschied zwischen den Versionen

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*'''Von der Scheitelpunktsform zur Normalform'''
 
*'''Von der Scheitelpunktsform zur Normalform'''
 
*'''Von der Normalform zur Scheitelpunktsform'''  
 
*'''Von der Normalform zur Scheitelpunktsform'''  
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*'''Aufgaben zur Normalform'''
 
 
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Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man zum einen von der Scheitelpunktsform zur Normalform gelangt und zum anderen die Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktsform.  
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Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man zum einen von der Scheitelpunktsform zur Normalform gelangt und zum anderen die Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktsform.  
  
  
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Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> und der Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c.
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Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" und der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c".
  
 
Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!
 
Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!
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Du hast die Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5 gegeben.  
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Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5" gegeben.  
 
Diese Form soll nun durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme <br>
 
Diese Form soll nun durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme <br>
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auf die Form f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c gebracht werden.
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auf die Form "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" gebracht werden.
  
 
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
 
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
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Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br>
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Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br>
 
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Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.  
 
Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.  
  
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Bei der Normalform „f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
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Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
 
deshalb lernen, wie man die Normalform in die Scheitelpunktsform überführt.  
 
deshalb lernen, wie man die Normalform in die Scheitelpunktsform überführt.  
  
 
Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.  
 
Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.  
  
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Wir wollen nur die quadratische Ergänzung wiederholen.
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Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.<br>
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Löse dafür die folgende Zuordnung.
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Bringen zum einen das Beispiel in die richtige Reihefolge, als auch die allgemeine Umformung von der Normal- zur Scheitelpunktsform. <br>
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'''„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:'''
  
 
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| 1. ||  || y<math>=</math>x<sup>2</sup> + 6x + 11 || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c  </strong>
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| 1. || Normalform der Parabel: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 11 </strong>  
 
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| 2. || || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> <math>\cdot</math> 2 <math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> <math>\frac{b}{2}</math> + c </strong>  
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| 2. || Vergleich mit a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong>  
 
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| 3. || Quadratische Ergänzung: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + bx +  <math>[\frac{b}{2}]</math><sup>2</sup> - <math>[\frac{b}{2}]</math><sup>2</sup> + c </strong>  
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| 3. || Quadratische Ergänzung: || <strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong>  
 
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| 4. || Scheitelform: || <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> || <strong> y<math>=</math> <math>[x + \frac{b}{2}]</math><sup>2</sup> - <math>[\frac{b}{2}]</math><sup>2</sup> + c </strong>
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| 4. || Scheitelpunktsform: || <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> ||  
 
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| 5. || Scheitelkoordinaten: || <strong> S[-3; 2] </strong> || <strong> S[<math>-\frac{b}{2};</math> <math>-[\frac{b}{2}]</math><sup>2</sup> + c] </strong>
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Mit Sicherheit hast du die Aufgabe gelöst und dich an die quadratische Ergänzung erinnert und weißt nun, wie man von der Normalform zur Scheitelpunktsform gelangt.
 
  
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Die Funktionsgleichung f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c heißt Normalform der Parabelgleichung. <br>
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Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>".<br>
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Für die Koordinaten des Scheitelpunkts S gilt:
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Um das ein wenig einzuüben löse die folgende Aufgabe!
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Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!
  
  
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<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
 
<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
  
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Du hast hier 3 verschiedene quadratische Funktion ein Normalform gegeben. Ordne die richtige Umformung, sowie die Scheitelpunktsform mit Scheitelpunkt und den Graph der jeweilgen Normalform zu.  
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Du hast hier 3 verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu.  
  
  
 
<div class="zuordnungs-quiz">
 
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| f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x)<math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 3 || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung1.png]] ||
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| f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> - 2  || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2 || f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3 || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> ||  
 
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| f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> + 10x + 15 || f(x)<math>=</math> (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> - 10 || <math>S(-5\!\,|\!\,-10)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung2.jpg]] ||  
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| f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 15 || f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 5<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15 || f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 10 || <math>S(-5\!\,|\!\,-10)</math> ||
 
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| f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x || f(x)<math>=</math> (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung3.jpg]]
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| f(x) = x<sup>2</sup> + 6x || f(x) = x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> || f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 9 || <math>S(-3\!\,|\!\,-9)</math> ||  
 
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Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungen für die quadratische Funktion. <br>
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Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen für die quadratische Funktion. <br>
 
Es ist zum einen die Scheitelpunktsform und zum anderen die Normalform. <br>
 
Es ist zum einen die Scheitelpunktsform und zum anderen die Normalform. <br>
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In der nächsten Einheit lernst du noch einen neuen Parameter kennen. <br>
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In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen. <br>
 
Aber siehe selbst!! <br>
 
Aber siehe selbst!! <br>

Aktuelle Version vom 23. Dezember 2009, 05:20 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Die Normalform f(x) = x2 + bx + c


In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

  • Von der Scheitelpunktsform zur Normalform
  • Von der Normalform zur Scheitelpunktsform


Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die Normalform f(x) = x2 + bx + c. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man zum einen von der Scheitelpunktsform zur Normalform gelangt und zum anderen die Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktsform.



STATION 1: Von der Scheitelpunktsform zur Normalform



Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys" und der Normalform "f(x) = x2 + bx + c".

Da die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform nicht besonders schwer ist, wirst du diese in der folgenden Aufgabe gleich selbst durchführen!


Aufgabe:

Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - 4)2 + 5" gegeben. Diese Form soll nun durch ausmultiplizieren und zusammenfassen der Terme
auf die Form "f(x) = x2 + bx + c" gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

Von der Scheitelpunktsform zur Normalform
1. y= [x - xs]2 + ys
2. y= [x - 4]2 + 5
3. y= [x2 - 8x + 16] + 5
4. y= x2 - 8x + 21
5. y= x2 + bx + c














Nuvola apps kig.png   Merke

Die Normalform "f(x) = x2 + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys" durch ausmultiplizieren und zusammenfassen der Terme.



STATION 2: Von der Normalform zur Scheitelpunktsform


Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie von früher!

In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat. Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Bei der Normalform "f(x) = x2 + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen deshalb lernen, wie man die Normalform in die Scheitelpunktsform überführt.

Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.

Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.

„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:

Verfahren Beispiel
1. Normalform der Parabel: y = x2 + 6x + 11
2. Vergleich mit a2 + 2ab + b2: y = x2 + 2\cdot x \cdot 3 + 11
3. Quadratische Ergänzung: y = x2 + 6x + 32 - 32 + 11
4. Scheitelpunktsform: y= [x + 3]2 + 2
5. Scheitelkoordinaten: S[-3; 2]













Nuvola apps kig.png   Merke

Man gelangt mittels quadratischer Ergänzung von der Normalform "f(x) = x2 + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys".


Um das ein wenig einzuüben, löse die folgende Aufgabe!


Aufgabe: Zuordnung - Gruppe

Du hast hier 3 verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu.


f(x) = x2 - 2x - 2 f(x) = x2 - 2x - 12 + 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 3 S(1\!\,|\!\,-3)
f(x) = x2 + 10x + 15 f(x) = x2 + 10x + 52 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 10 S(-5\!\,|\!\,-10)
f(x) = x2 + 6x f(x) = x2 + 6x + 32 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 9 S(-3\!\,|\!\,-9)


Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen für die quadratische Funktion.
Es ist zum einen die Scheitelpunktsform und zum anderen die Normalform.
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen.
Aber siehe selbst!!

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