Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen
(Beginn des Lernpfades zur Scheitelpunktsform... erste Eigenschaften und Übungen zum Parameter e) |
K (hat „Benutzer:Michael Schober/Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform“ nach „Lernpfade/Quadratische Funktionen/Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x-d)² + e - Die Scheitelpunktsform“ verschobe) |
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− | {{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion der Form f(x)<math>=</math>(x-d) | + | {{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion der Form f(x)<math>=</math>(x - d)<sup>2</sup> + e - Die Scheitelpunktsform'''</big> |
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− | Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann | + | Bis jetzt haben wir die Normalparabel '''f(x) = x²''' kennen gelernt. Dazu kam dann der Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt. |
− | + | In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen. | |
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− | Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel | + | Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel dazuaddiert wird. |
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus: | Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus: | ||
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|- | |- | ||
| <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParametere.ggb" /> || | | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParametere.ggb" /> || | ||
− | '''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige quadratische Funktion blau <br>* Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder. | + | '''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von e abhängige, quadratische Funktion blau <br>* Bediene den schwarzen Schieberegler e mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von e <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder. |
<br> | <br> | ||
− | '''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler | + | '''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler e. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor e? |
<br> | <br> | ||
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* Für '''e > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | * Für '''e > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | ||
* Für '''e < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | * Für '''e < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse | ||
− | * Der ''' | + | * Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei S <math>(0\!\,|\!\,e)</math> |
− | * Die y-Achse ist | + | * Die y-Achse ist '''Symmetrieachse''' |
}} | }} | ||
− | + | Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen. | |
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Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. | Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. | ||
− | Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsgleichung | + | Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung. |
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{| | {| | ||
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− | | [[Bild:Parabele1.jpg]] || [[Bild:Parabele2.jpg]] || [[Bild:Parabele3.jpg]] || [[Bild:Parabele4.jpg]] || [[Bild:Parabele5.jpg]] | + | | [[Bild:Parabele1.jpg]] || [[Bild:Parabele2.jpg]] || [[Bild:Parabele3.jpg]] || [[Bild:Parabele4.jpg]] || [[Bild:Parabele5.jpg]] |
|- | |- | ||
− | | <strong> | + | | <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 1,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 0,5 </strong> |
|} | |} | ||
+ | |||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <br><br> | ||
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+ | <br> | ||
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+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | <big>'''2. Aufgabe:'''</big> | ||
+ | |||
+ | Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: | ||
+ | |||
+ | a) S <math>(0\!\,|\!\,4,7)</math> <br> | ||
+ | b) S <math>(0\!\,|\!\,-23)</math> <br> | ||
+ | c) S <math>(0\!\,|\!\,-2,5)</math> <br> | ||
+ | d) S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> <br> | ||
+ | e) S <math>(0\!\,|\!\,13)</math> <br> | ||
+ | |||
+ | '''Lösung:''' <br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | |||
+ | Das war bestimmt kein Problem für dich! Man musste den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt! | ||
+ | |||
+ | a) f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> + 4,7 | ||
+ | |||
+ | b) f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 23 | ||
+ | |||
+ | c) f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2,5 | ||
+ | |||
+ | d) f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> | ||
+ | |||
+ | e) f(x)<math>=</math> x² + 13 | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <big>'''3. Aufgabe:'''</big> | ||
+ | |||
+ | Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S. | ||
+ | |||
+ | a) f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> + 5,2 | ||
+ | |||
+ | b) f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3 | ||
+ | |||
+ | c) f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> | ||
+ | |||
+ | d) f(x)<math>=</math> 3 + x<sup>2</sup> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Hilfe:''' <br> | ||
+ | Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen. Aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer! <br> | ||
+ | {{versteckt| | ||
+ | a) S <math>(0\!\,|\!\,5,2)</math> <br> }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lösung:'''<br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e! | ||
+ | |||
+ | a) S <math>(0\!\,|\!\,5,2)</math> <br> | ||
+ | b) S <math>(0\!\,|\!\,-3)</math> <br> | ||
+ | c) S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> <br> | ||
+ | d) S <math>(0\!\,|\!\,3)</math> <br> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <big>'''4. Aufgabe: Zuordnung'''</big> | ||
+ | |||
+ | Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x<sup>2</sup>. | ||
+ | Ordne die fehlenden Koordinaten zu!! | ||
+ | |||
+ | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | A<math>(?\!\,|\!\,6,5)</math> || B<math>(?\!\,|\!\,2,75)</math> || C<math>(?\!\,|\!\,11,5)</math> || D<math>(1\!\,|\!\,?)</math> || E<math>(3\!\,|\!\,?)</math> || F<math>(-2\!\,|\!\,?)</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <strong> 2 </strong> || <strong> 0,5 </strong> || <strong> 3 </strong> || <strong> 3,5 </strong> || <strong> 11,5 </strong> || <strong> 6,5 </strong> | ||
+ | |} | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Hilfe:''' <br> | ||
+ | {{versteckt| | ||
+ | Du hast einen x-Wert oder einen y-Wert vorgegeben. | ||
+ | Setze einen dieser Werte in die Gleichung ein und errechne dir den zugehörigen x- oder y-Wert! | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | <div align="center"><big><u>'''STATION 3: Der Parameter d stellt sich vor'''</u></big></div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Nachdem du jetzt den Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen. Er wird wie folgt in die quadratische Funktion integriert: | ||
+ | |||
+ | '''f(x) = (x - d)<sup>2</sup>''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene den Schieberegler d in der Grafik und löse im Anschluss den Lückentext. | ||
+ | Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. | ||
+ | Um deine Ergebnisse zu überprüfen, musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehen, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <br> | ||
+ | {| {{Prettytable}} | ||
+ | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
+ | | <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterd.ggb" /> || <br> | ||
+ | <br> !!!Bewege den Schieberegler d. Was verändert sich an der Lage der Parabel im Vergleich zur Normalparabel? | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | * Der Parameter d der quadratischen Funktion f(x) = (x - d)<sup>2</sup> bewirkt eine <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Verschiebung</u> der Normalparabel auf der <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x-Achse</u>. Wie schon bei der Verschiebung beim Parameter e, ist die verschobene Parabel <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">kongruent</u> zur Normalparabel. <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | * Mit Hilfe des Schiebereglers d stellt man fest, dass für positive d-Werte eine Verschiebung um <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">d</u> Einheiten nach <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">rechts</u> erfolgt. Ist der Wert von d <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">negativ</u>, so wird der Graph um d Einheiten nach <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">links</u> verschoben. | ||
+ | <br> | ||
+ | * Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive d-Werte lautet die Funktionsgleichung f(x) = <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">(x - d)<sup>2</sup></u>. Man macht leicht den Fehler und denkt positiv müsste doch (x + d)<sup>2</sup>. Da jedoch die Ausgangsfunktionsgleichung f(x) = (x - d)<sup>2</sup> lautet, entsteht für positive d-Werte eine <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Differenz</u> in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative d-Werte, dort lautet die Funktionsgleichung f(x) = <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">(x + d)<sup>2</sup></u>. | ||
+ | <br> | ||
+ | * Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten S <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">(d, 0)</u>, denn der x-Wert bleibt immer <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Null</u>. | ||
+ | <br> | ||
+ | * Als Symmetrieachse ergibt sich daher die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">x-Achse</u>. | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Merke| | ||
+ | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>(x - d)<sup>2</sup>''' gilt: | ||
+ | * Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Verschiebung''' um '''d Einheiten''' auf der x-Achse → Der Graph ist '''kongruent''' zur Normalparabel | ||
+ | * Für '''d > 0''' gilt: Verschiebung nach '''rechts''', um d Einheiten in Richtung der x-Achse | ||
+ | * Für '''d < 0''' gilt: Verschiebung nach '''links''', um d Einheiten in Richtung der x-Achse | ||
+ | * Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei S <math>(d\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | * Die '''Symmetrieachse''' ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | '''Achtung!''' | ||
+ | * Für '''d > 0''' mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)<sup>2</sup> vor. | ||
+ | Beispiel: f(x) = (x - 5)<sup>2</sup> → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt | ||
+ | * Für '''d < 0''' mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)<sup>2</sup> vor. | ||
+ | Beispiel: f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)<sup>2</sup> = (x - (-5))<sup>2</sup> = (x + 5)<sup>2</sup> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Ebenso wie beim Parameter e, folgen wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div align="center"><big><u>'''STATION 4: Übungen zum Parameter d'''</u></big></div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <big>'''1. Aufgabe: Zuordnung'''</big> | ||
+ | |||
+ | Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. | ||
+ | Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Hilfe:''' <br> | ||
+ | Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen! <br> | ||
+ | {{versteckt| | ||
+ | Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) <math>=</math> (x + 4,5)<sup>2</sup> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | [[Bild:Parabeld-4,5.jpg]] || [[Bild:Parabeld-2,5.jpg]] || [[Bild:Parabeld0.jpg]] || [[Bild:Parabeld2.jpg]] || [[Bild:Parabeld5.jpg]] | ||
+ | |- | ||
+ | | <strong> y<math>=</math> [x - 4,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x + 0]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x - 5]<sup>2</sup> </strong> | ||
+ | |} | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <br><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <big>'''2. Aufgabe:'''</big> | ||
+ | |||
+ | Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte: | ||
+ | |||
+ | a) S <math>(2,5\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | b) S <math>(-3\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | c) S <math>(120\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | d) S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | e) S <math>(-7\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Hilfe:''' <br> | ||
+ | Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen! <br> | ||
+ | {{versteckt| | ||
+ | a) f(x) <math>=</math> (x - 2,5)<sup>2</sup> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lösung:''' <br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | a) f(x) <math>=</math> (x - 2,5)<sup>2</sup> | ||
+ | b) f(x) <math>=</math> (x + 3)<sup>2</sup> | ||
+ | c) f(x) <math>=</math> (x - 120<sup>2</sup> | ||
+ | d) f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> | ||
+ | e) f(x) <math>=</math> (x + 7)<sup>2</sup> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <big>'''3. Aufgabe:'''</big> | ||
+ | |||
+ | Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an. | ||
+ | |||
+ | a) f(x) <math>=</math> (x - 6)<sup>2</sup> | ||
+ | b) f(x) <math>=</math> (x - 2)<sup>2</sup> | ||
+ | c) f(x) <math>=</math> (x + 3,3)<sup>2</sup> | ||
+ | d) f(x) <math>=</math> (x + 5)<sup>2</sup> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lösung:''' <br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen! | ||
+ | a) S <math>(6\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | b) S <math>(2\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | c) S <math>(-3,3\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | d) S <math>(-5\!\,|\!\,0)</math> | ||
+ | Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | [[Bild:Parabelnd.jpg]] | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div align="center"><big><u>'''STATION 5: Zusammenführung von Parameter e und d zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. | ||
+ | Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | || Vorgabe || Passendes Puzzleteil | ||
+ | |- | ||
+ | | 1. || y<math>=</math> [x - 2]² || <strong>S [2, 0]; S [d, 0] </strong> <br> | ||
+ | |- | ||
+ | | 2. || Verschiebung nach unten auf der y-Achse || <strong>y<math>=</math> x² - e</strong> | ||
+ | |- | ||
+ | | 3. || y<math>=</math> x² - 4 || <strong>S [0, -4]; S [0, -e] </strong> | ||
+ | |- | ||
+ | | 4. || Verschiebung nach links auf der x-Achse || <strong>y<math>=</math> [x + d]²</strong> | ||
+ | |- | ||
+ | | 5. || y<math>=</math> x² + 2 || <strong>S [0, 2]; S [0, e] </strong> | ||
+ | |- | ||
+ | | 6. || Verschiebung nach rechts auf der x-Achse || <strong>y<math>=</math> [x - d]²</strong> | ||
+ | |- | ||
+ | | 7. || Verschiebung nach oben auf der y-Achse || <strong>y<math>=</math> x² + e</strong> | ||
+ | |- | ||
+ | | 8. || y<math>=</math> [x + 4]² || <strong>S [-4, 0]; S [-d, 0] </strong> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können. | ||
+ | |||
+ | Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt. | ||
+ | |||
+ | Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion '''f(x) = (x-d)<sup>2</sup> + e''', in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen. | ||
+ | |||
+ | Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert. | ||
+ | |||
+ | Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt die quadratische Funktion f(x) = (x - d)<sup>2</sup> + e deshalb die Scheitelpunktsform. | ||
+ | |||
+ | Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {| {{Prettytable}} | ||
+ | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
+ | ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>(x - d)<sup>2</sup> + e !! Hinweise und Quiz: | ||
+ | |- | ||
+ | | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterdunde.ggb" /> || | ||
+ | '''Hinweise:''' <br>* In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel | ||
+ | <br>* Mit den Schiebereglnern d und e kannst du die Lage der Parabel verändern | ||
+ | <br>* Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | '''Quiz:''' <br> | ||
+ | |||
+ | Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen. | ||
+ | Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden. | ||
+ | <div class="kreuzwort-quiz"> | ||
+ | {| | ||
+ | |- | ||
+ | | Scheitelpunkt || Wie nennt man den Punkt S(d, e) der Parabel? | ||
+ | |- | ||
+ | | Scheitelpunktsform || Wie nennt man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - d)² + e? | ||
+ | |- | ||
+ | | Symmetrieachse || Wie nennt man die Achse, für die x = d gilt? | ||
+ | |- | ||
+ | | Normalparabel || Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? | ||
+ | |- | ||
+ | | Unten || In welche Richtung auf der x-Achse wird die Parabel f(x) = (x - 3)² - 4 verschoben? | ||
+ | |- | ||
+ | | x-Achse || Auf welcher Achse bewirkt der Parameter d eine Verschiebung? | ||
+ | |- | ||
+ | | Ebene || Die Parameter d und e bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... | ||
+ | |- | ||
+ | | y-Achse || Auf welcher Achse bewirkt der Parameter e eine Verschiebung? | ||
+ | |- | ||
+ | | Zwei || Um wie viel Einheiten wir die Funktion f(x) = (x-5)² + 2 nach oben verschoben? | ||
+ | </div> | ||
+ | |} | ||
+ | |} | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | {{Merke| | ||
+ | Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>(x - d)<sup>2</sup> + e''' gilt: | ||
+ | * Die Parameter d und e bewirken eine '''Verschiebung''' der Normalparabel in der '''Ebene''' → Der Graph von f ist '''kongruent''' zur Normalparabel | ||
+ | * Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um '''d Einheiten''' entlang der '''x-Achse''' und um '''e Einheiten''' entlang der '''y-Achse''' | ||
+ | * Der '''Scheitelpunkt''' der Parabel ist S <math>(d\!\,|\!\,e)</math> | ||
+ | * Die '''Symmetrieachse''' hat die Gleichung x <math>=</math> d | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <div align="center"><big><u>'''STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <big>'''1. Aufgabe: Multiple Choice'''</big> | ||
+ | |||
+ | Kreuze '''alle''' richtigen Aussagen an! | ||
+ | |||
+ | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
+ | |||
+ | '''f(x) <math>=</math> (x - 5)<sup>2</sup> - 3''' (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben) | ||
+ | |||
+ | '''f(x) <math>=</math> 5 + (x + 12)<sup>2</sup>''' (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse) | ||
+ | |||
+ | '''f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 3''' (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet) | ||
+ | |||
+ | '''f(x) <math>=</math>-5 + (x - 6)<sup>2</sup>''' (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben) | ||
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+ | <big>'''2. Aufgabe:'''</big> | ||
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+ | Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. | ||
+ | Stelle mit Hilfe des Scheitelpunkts S die Funktionsgleichung auf! | ||
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+ | a) S (2; -5) | ||
+ | b) S (-3; -3) | ||
+ | c) S (4; 8) | ||
+ | d) S (5; -2) | ||
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+ | '''Hilfe:''' <br> | ||
+ | Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen! <br> | ||
+ | {{versteckt| | ||
+ | Beispiel: Für den Scheitelpunkt S <math>(12\!\,|\!\,24)</math> lautet die Funktionsvorschrift: f(x) <math>=</math>(x - 12)<sup>2</sup> + 24 | ||
+ | }} | ||
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+ | '''Lösung:''' <br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | Die Funktionsgleichung wird in allgemeiner Scheitelpunktsform aufgestellt. Die Werte für den Parameter d und e werden | ||
+ | direkt an den Koordinaten vom Scheitelpunkt abgelesen. | ||
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+ | a) f(x) <math>=</math>(x - 2)<sup>2</sup> - 5 | ||
+ | b) f(x) <math>=</math>(x + 3)<sup>2</sup> - 3 | ||
+ | c) f(x) <math>=</math>(x - 4)<sup>2</sup> + 8 | ||
+ | d) f(x) <math>=</math>(x - 5)<sup>2</sup> - 2 | ||
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+ | <big>'''3. Aufgabe-Zuordnung:'''</big> | ||
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+ | | <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 4 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x - 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x - 1]<sup>2</sup> - 5 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x + 5]<sup>2</sup> - 1 </strong> | ||
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+ | <big>'''4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:'''</big> | ||
+ | |||
+ | Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. | ||
+ | Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> + 1,5 und die Punkte W, X , T und P. | ||
+ | Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? | ||
+ | |||
+ | a) W <math>(0\!\,|\!\,1)</math> | ||
+ | b) X <math>(0\!\,|\!\,10,5)</math> | ||
+ | c) T <math>(-1\!\,|\!\,2)</math> | ||
+ | d) P <math>(-3\!\,|\!\,1,5)</math> | ||
+ | |||
+ | '''Lösung:''' <br> | ||
+ | {{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Kniffelaufgabe4.jpg]] | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Prima!''' | ||
+ | |||
+ | Damit kennst du nun alle Parameter, welche die quadratische Funktion beeinflussen können. | ||
+ | |||
+ | In der nächsten Lerneinheit führen wir dann die Parameter a, d und e zusammen und lernen die Normalform kennen. |
Aktuelle Version vom 23. Dezember 2009, 05:20 Uhr
Lernpfad
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Bis jetzt haben wir die Normalparabel f(x) = x² kennen gelernt. Dazu kam dann der Parameter a als Vorfaktor, welcher die Parabel in Richtung der y-Achse gestreckt oder gestaucht hat und sie zusätzlich bei negativen Werten an der x-Achse spiegelt.
In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.
Zunächst betrachten wir den Parameter e, welcher zur Normalparabel dazuaddiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x² + e
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften des Parameters e!
Für die quadratische Funktion f(x)x² + e gilt:
|
Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S
b) S
c) S
d) S
e) S
Lösung:
Das war bestimmt kein Problem für dich! Man musste den y-Wert ablesen, da er den Wert von e angibt!
a) f(x) x2 + 4,7 b) f(x) x2 - 23 c) f(x) x2 - 2,5 d) f(x) x2 e) f(x) x² + 13
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde den zugehörigen Scheitelpunkt S.
a) f(x) x2 + 5,2 b) f(x) x2 - 3 c) f(x) x2 d) f(x) 3 + x2
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen. Aber überlege erst selbst, es ist nicht schwer!
Lösung:
Der x-Wert ist immer 0, denn die Parabel wird nur nach oben oder unten verschoben. Den y-Wert kann man gut ablesen, denn er ist identisch dem Wert von e!
a) S
b) S
c) S
d) S
4. Aufgabe: Zuordnung
Die Punkte A, B, C, D, E und F liegen auf der Parabel f(x) = 2,5 + x2. Ordne die fehlenden Koordinaten zu!!
A | B | C | D | E | F |
2 | 0,5 | 3 | 3,5 | 11,5 | 6,5 |
Hilfe:
Du hast einen x-Wert oder einen y-Wert vorgegeben. Setze einen dieser Werte in die Gleichung ein und errechne dir den zugehörigen x- oder y-Wert!
Nachdem du jetzt den Parameter e kennst, wollen wir uns nun mit dem Parameter d beschäftigen. Er wird wie folgt in die quadratische Funktion integriert:
f(x) = (x - d)2
Um die Eigenschaften des Parameters d zu erlernen, bediene den Schieberegler d in der Grafik und löse im Anschluss den Lückentext.
Die blaue Parabel ist abhängig vom Parameter d und die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel.
Um deine Ergebnisse zu überprüfen, musst du mit gehaltener linker Maustaste über das graue Feld ziehen, damit wird das Ergebnis sichtbar!! Aber nicht mogeln!
|
Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!
Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)2 gilt:
|
Achtung!
- Für d > 0 mit einer Verschiebung nach rechts liegt die Gleichung der Form f(x) = (x – d)2 vor.
Beispiel: f(x) = (x - 5)2 → Es steht zwar -5 aber es wurde die positive Zahl 5 in die Gleichung eingesetzt
- Für d < 0 mit einer Verschiebung nach links liegt die Gleichung der Form f(x) = (x + d)2 vor.
Beispiel: f(x) = (x + 5)2 → Es steht zwar +5 aber es wurde die negative Zahl -5 in die Gleichung eingesetzt und daher ergibt sich für -5: f(x) = (x - d)2 = (x - (-5))2 = (x + 5)2
Ebenso wie beim Parameter e, folgen wieder einige Aufgaben, um auch die Eigenschaften des Parameters d zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst in der Grafik 5 verschiedene quadratische Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Die erste Grafik hat die Funktionsgleichung f(x) (x + 4,5)2
2. Aufgabe:
Bestimme die Funktionsgleichung mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte:
a) S b) S c) S d) S e) S
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
a) f(x) (x - 2,5)2
Lösung:
a) f(x) (x - 2,5)2 b) f(x) (x + 3)2 c) f(x) (x - 1202 d) f(x) x2 e) f(x) (x + 7)2
3. Aufgabe:
Zeichne ohne Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionen. Gib zunächst die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunkts an.
a) f(x) (x - 6)2 b) f(x) (x - 2)2 c) f(x) (x + 3,3)2 d) f(x) (x + 5)2
Lösung:
Die Koordinaten kann man direkt an der Funktionsgleichung ablesen!
a) S b) S c) S d) S
Um die Graphen zu zeichnen, musst du die Normalparabel bei Punkt S erstellen
Bevor wir nun die beiden Parameter e und d zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!
Vorgabe | Passendes Puzzleteil | |
1. | y [x - 2]² | S [2, 0]; S [d, 0] |
2. | Verschiebung nach unten auf der y-Achse | y x² - e |
3. | y x² - 4 | S [0, -4]; S [0, -e] |
4. | Verschiebung nach links auf der x-Achse | y [x + d]² |
5. | y x² + 2 | S [0, 2]; S [0, e] |
6. | Verschiebung nach rechts auf der x-Achse | y [x - d]² |
7. | Verschiebung nach oben auf der y-Achse | y x² + e |
8. | y [x + 4]² | S [-4, 0]; S [-d, 0] |
Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
Bisher habt ihr in dieser Lerneinheit die Parameter e und d einzeln kennen gelernt.
Ziel dieser Lerneinheit war die quadratische Funktion f(x) = (x-d)2 + e, in der beide Parameter gleichzeitig vorkommen.
Wie ihr gelernt habt, steht der Parameter e für den y-Wert im Koordinatensystem und der Parameter d für den x-Wert.
Genau bei diesem Punkt liegt der Scheitelpunkt der Parabel und man nennt die quadratische Funktion f(x) = (x - d)2 + e deshalb die Scheitelpunktsform.
Da sich nicht viel ändert, außer die Kombination der Parameter e und d, sollst du jetzt mit Hilfe der dargestellten Grafik das folgende Kreuzworträtsel lösen.
Quadratische Funktion f(x)(x - d)2 + e | Hinweise und Quiz: | ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hinweise: Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld zum Eintragen. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.
|
Für die quadratische Funktion f(x)(x - d)2 + e gilt:
|
1. Aufgabe: Multiple Choice
Kreuze alle richtigen Aussagen an!
f(x) (x - 5)2 - 3 (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
f(x) 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
f(x) x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
f(x) -5 + (x - 6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
2. Aufgabe:
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Stelle mit Hilfe des Scheitelpunkts S die Funktionsgleichung auf!
a) S (2; -5) b) S (-3; -3) c) S (4; 8) d) S (5; -2)
Hilfe:
Falls du Probleme hast, kannst du dir ein Beispiel anzeigen lassen!
Beispiel: Für den Scheitelpunkt S lautet die Funktionsvorschrift: f(x) (x - 12)2 + 24
Lösung:
Die Funktionsgleichung wird in allgemeiner Scheitelpunktsform aufgestellt. Die Werte für den Parameter d und e werden direkt an den Koordinaten vom Scheitelpunkt abgelesen.
a) f(x) (x - 2)2 - 5 b) f(x) (x + 3)2 - 3 c) f(x) (x - 4)2 + 8 d) f(x) (x - 5)2 - 2
3. Aufgabe-Zuordnung:
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)2 + 1,5 und die Punkte W, X , T und P. Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen?
a) W b) X c) T d) P
Lösung:
Prima!
Damit kennst du nun alle Parameter, welche die quadratische Funktion beeinflussen können.
In der nächsten Lerneinheit führen wir dann die Parameter a, d und e zusammen und lernen die Normalform kennen.