Die Quadratische Funktion der Form f(x) = (x - xs)² + ys - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. Dezember 2009, 05:20 Uhr

Lernpfad Die Quadratische Funktion "f(x)(x - xs)2 + ys" - Die Scheitelpunktsform In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad Der Parameter ys stellt sich vor Aufgaben zum Parameter ys Der Parameter xs stellt sich vor Aufgaben zum Parameter xs Die Parameter ys und xs in einer Gleichung - Die Scheitelpunktsform Aufgaben zur Scheitelpunktsform

Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x²" kennen gelernt.

In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei weiteren Parametern beschäftigen.

Bevor wir beginnen, wollen wir noch einen neuen Begriff einführen, welcher später häufiger verwendet wird.

Merke Die quadratische Funktion "f(x)x2" ist eine spezielle Parabel. Von ihr aussgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb Normalparabel

Zunächst betrachten wir den Parameter y_s, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x²" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:

                                    f(x) = x2 + ys

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften vom Parameter y_s!

Quadratische Funktion f(x)x2+ ys

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise: * In der Grafik ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt eingezeichnet und die von ys abhängige, quadratische Funktion blau * Bediene den schwarzen Schieberegler ys mit gehaltener linker Maustaste, er verändert den Wert von ys * Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen ebenfalls mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder. Aufgabe: Bediene den Schieberegler ys. Welche Veränderungen bewirkt er? Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. Ist der Parameter ys positiv, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben. Ist der Parameter ys hingegen negativ, so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt [0; ys]. Zudem ist die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel.

Merke Für die quadratische Funktion "f(x)x² + ys" gilt: Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der y-Achse Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel Für ys > 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach oben Für ys < 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach unten Der Scheitelpunkt liegt bei S (0; ys) Die y-Achse ist Symmetrieachse

Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.

1. Aufgabe: Zuordnung

Du siehst hier 5 verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x² + y_s". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung.

y x2 + 2,5	y x2 + 1,5	y x2	y x2 - 3,5	y x2 - 0,5

2. Aufgabe:

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

	Scheitelpunkt	Funktionsgleichung
1.	S	y x2 + 4,7
2.	S	y x2 - 23
3.	S	y x2 - 2,5
4.	S	y x2
5.	S	y x2 + 13

3. Aufgabe:

Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.

	Funktionsgleichung	Scheitelpunkt
1.	y x2 + 5,2	S [0; 5,2]
2.	y x2 - 3	S [0; -3]
3.	y x2	S [0; 0]
4.	y 3 + x2	S [0; 3]

4. Aufgabe: Zuordnung

Aufgabe

Quadratische Funktion f(x)x2+ ys

Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen. Finde dazu die zugehörigen Punkte, die auf der Parabel liegen. Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehören könnte. Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet rechts. Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung. Hilfe: [Anzeigen][Verstecken] Es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel, wenn durch Einsetzen eines x-Wertes, der zugehörige y-Wert herauskommt. Als letztes ziehst du die vorgegebenen Punkte zu den jeweilgen Funktionsgleichungen und überprüfst dein Ergebnis. y x² - 1 y x² - 5 y x² + 0 y x² + 2 y x² + 4 [3; 8] [3; 4] [2; 4] [1; 3] [2; 8]

Nachdem du jetzt den Parameter y_s kennst, wollen wir uns mit dem Parameter x_s beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:

                                       f(x) = (x - xs)2

Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler x_s in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-strichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine mit gehaltener linker Maustaste in die Lücken!

Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!

Merke Für die quadratische Funktion "f(x)(x - xs)2" gilt: Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der x-Achse Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel Für xs > 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach rechts Für xs < 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach links Der Scheitelpunkt liegt bei S [xs; 0] Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse

Achtung!

• Für x_s > 0, mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x – x_s)²"

Beispiel: Für x_s = 5: f(x) = (x - 5)²

• Für x_s < 0, mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x + x_s)²"

Beispiel: Für x_s = -5: f(x) = (x + 5)²

Ebenso wie beim Parameter y_s, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.

1. Aufgabe: Zuordnung

Gegeben sind die Graphen 5 verschiedener quadratischer Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:

y [x + 4,5]2	y [x + 2,5]2	y [x + 0]2	y [x - 2]2	y [x - 5]2

2. Aufgabe:

Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!

	Scheitelpunkt	Funktionsgleichung
1.	S	y [x - 2,5]2
2.	S	y [x + 3]2
3.	S	y [x - 120]2
4.	S	y x2
5.	S	y [x + 7]2

3. Aufgabe:

Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.

     f(x) = (x - 2)2
     f(x) = (x - 5)2
     f(x) = (x + 3)2

Überprüfe anschlißend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht.

Bevor wir nun die beiden Parameter y_s und x_s zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!

	Frage	Antwort
1.	Wie lauten die Koordianten für y [x - 2]2?	S [2, 0]; S [xs, 0]
2.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse?	y x2 - ys
3.	Wie lauten die Koordianten für y x2 - 4?	S [0, -4]; S [0, -ys]
4.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse?	y [x + xs]2
5.	Wie lauten die Koordianten für y x2 + 2?	S [0, 2]; S [0, ys]
6.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse?	y [x - xs]2
7.	Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse?	y x2 + ys
8.	Wie lauten die Koordianten für y [x + 4]2?	S [-4, 0]; S [-xs, 0]

Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.

In dieser Lerneinheit hast du die Parameter y_s und x_s einzeln kennen gelernt.

Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion "f(x) = (x - x_s)² + y_s", in der beide Parameter integriert sind.

Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. Während der Parameter y_s für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x_s den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - x_s)² + y_s" deshalb Scheitelpunktsform.
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter x_s und y_s.

Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun nochmal abgefragt. Viel Erfolg!

Quadratische Funktion f(x)(x - xs)2 + ys

Hinweise und Quiz:

Hinweise: * In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel * Mit den Schiebereglnern ys und xs kannst du die Lage der Parabel verändern * Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden. Scheitelpunkt Wie nennt man den Punkt S(xs, ys) der Parabel? Scheitelpunktsform Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - xs)² + ys? Symmetrieachse Wie heißt die Achse, für die x = ys gilt? Normalparabel Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? Unten In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4? x-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter xs die Parabel? Ebene Die Parameter xs und ys bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... y-Achse Auf welcher Achse verschiebt der Parameter ys die Parabel? Zwei Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben?

Merke Für die quadratische Funktion f(x)(x - xs)2 + ys gilt: Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel in der Ebene Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um x Einheiten entlang der x-Achse und um y Einheiten entlang der y-Achse Der Scheitelpunkt liegt bei S [xs; ys] Die Symmetrieachse hat die Gleichung x ys

1. Aufgabe: Multiple Choice

Kreuze alle richtigen Aussagen an!

2. Aufgabe:

Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:

	Scheitelpunkt	Funktionsgleichung
1.	S	y [x - 2]2 - 5
2.	S	y [x - 4]2 - 8
3.	S	y [x - 4]2 + 8
4.	S	y [x - 5]2 - 2

3. Aufgabe-Zuordnung:

Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!

y [x + 3]2 + 4		y [x - 3]2 + 2		y [x - 1]2 - 5		y [x + 5]2 - 1

4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:

Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)² + 1,5 und die Punkte W, X, T und P. Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!

     a)	W  
     b)	X  
     c)	T  
     d)	P  

Hilfe:
Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen! [Anzeigen][Verstecken]

Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.

Prima!

Damit kennst du nun die Parameter x_s und y_s, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.