Die Quadratische Funktion der Form f(x) = a(x-d)² + e und die Normalform f(x) = ax² + bx + c: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Erste Angaben zum Lernpfad - Inhalt)
 
(Lernpfad von STation 1 bis Station 4 erstellt)
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*'''Die Normalform f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c'''
 
*'''Die Normalform f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c'''
 
*'''Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''
 
*'''Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''
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Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.
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Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für die Streckung und Stauchung der Parabel verantwortlich ist, und zum anderen, dass die Parameter d und e eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken.
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Wir betrachten nun die Scheitelpunktsform mit dem Vorfaktor a.
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<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Die quadratische Funktion f(x) <math>=</math> a(x - d)² + e'''</u></big></div>
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Im Folgenden bekommst du einen Graphen vorgegeben, mit dessen Hilfe du den Lückentext ausfüllen und so dein bisher gelerntes Wissen überprüfen und festigen kannst.
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Achtung: Solltest du feststellen, dass dir Wissen fehlt, gehe bitte zu den vorherigen Lerneinheiten zurück und frische dein Wissen auf!
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{| {{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>a(x-d)<sup>2</sup>+ e !! Aufgabenstellung und Lückentext:
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|-
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| <ggb_applet height="500" width="500" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /> ||
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'''Aufgabenstellung:''' <br>
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* Bediene die jeweiligen Schieberegler a, d und e, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter wieder ins Gedächtnis zu holen und versuche den Lückentext zu lösen
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* Um dein Ergebnis zu kontrollieren musst du mit gehaltener linker Maustaste über das frei Feld fahren, dadurch wird das richtige Ergebnis eingeblendet.
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'''Lückentext!''' <br>
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Zunächst wollen wir die Eigenschaften von Parameter a festhalten. Er sorgt zum Beispiel für eine <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Streckung</u> oder <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Stauchung</u> der Parabel.
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Ist der Vorfaktor a positiv, so ist der Graph nach <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">oben</u> geöffnet, ist er <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">negativ</u>, so ist er nach unten geöffnet.
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Für <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">0 < a < 1</u> ist der Graph weiter geöffnet als die Normalparabel, wohingegen bei a > 1 der Graph <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">enger</u> wird.
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Für -1 < a < 0 ist der Graph <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">weiter</u> weiter als die Normalparabel und für <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">a < -1</u> wird  der Graph enger. 
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Den tiefsten bzw. den <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">höchsten</u> Punkt einer Parabel nennt man <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Scheitelpunkt</u>.
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Dieser ist abhängig von den Parametern <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">d</u> und <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">e</u>.
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Beide Parameter sind für eine <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Verschiebung</u> der Parabel in der <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Ebene</u> verantwortlich.
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Während der Parameter e die Parabel entlang der <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">y-Achse</u> verschiebt, sorgt der Parameter <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">d</u> für eine Verschiebung entlang der x-Achse.
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Ob nach rechts oder links, nach oben oder unten verschoben wird ist dabei recht einfach:
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Nach oben und rechts verschoben wird für <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">positive</u> Werte der Parameter <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">e</u> und <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">d</u>.
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Nach <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">unten</u> und links verschoben wird für negative Werte der Parameter e und <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">d</u>.
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Nach <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">oben</u> und links wird verschoben, wenn der Parameter e positiv und der Parameter d <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">negativ</u> ist.
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Nach unten und <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">rechts</u> verschoben wird, wenn der Parameter e <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">negativ</u> und der Parameter d positiv ist. 
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|}
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'''Wiederholung der wichtigsten Eigenschaften:'''
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{{Merke|
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Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>a(x - d)<sup>2</sup> + e''' gilt: 
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* Für den Vorfaktor a gilt:
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** Der Vorfaktor a sorgt für eine Streckung oder Stauchung der Parabel
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** Für '''a > 1''' ist der Graph '''enger/gestreckter''' als die Normalparabel
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** Für '''0 < a < 1''' ist der Graph '''weiter/gestauchter''' als die Normalparabel
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** Für '''a < -1''' ist der Graph '''enger/gestreckter''' als die Normalparabel
 +
** Für '''0 > a > -1''' ist der Graph '''weiter/gestauchter''' als die Normalparabel
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* Für den Parameter d gilt:
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** Der Parameter d sorgt für eine '''Verschiebung''' um '''d Einheiten''' auf der x-Achse
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** Für '''d > 0''' gilt: Verschiebung nach '''rechts''', um d Einheiten in Richtung der x-Achse
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** Für '''d < 0''' gilt: Verschiebung nach '''links''', um d Einheiten in Richtung der x-Achse 
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* Für den Parameter e gilt:
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** Der Parameter e sorgt für eine '''Verschiebung''' um '''e Einheiten''' auf der y-Achse
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** Für '''e > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse
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** Für '''e < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten''', um e Einheiten in Richtung der y-Achse
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}}
 
}}
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Nachdem du nun dein Wissen aufgefrischt hast, kann es auch gleich geübt werden!
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<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Übungen zu f(x) <math>=</math> a(x - d)² + e'''</u></big></div>
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<big>'''1. Aufgabe:'''</big>
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Du siehst hier ein paar Graphen und ein paar Funktionsvorschriften der Form
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f(x) <math>=</math> a(x - d)² + e. Versuche jeweils die richtigen Päärchen zu finden.
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<div class="lueckentext-quiz">
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{|
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|-
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| [[Bild:Parabelkeins.jpg|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkzwei.jpg|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkdrei.jpg|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkvier.jpg|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkfünf.jpg|180px]]
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|-
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| <strong> y = [x - 2,5]<sup>2</sup> - 1,5 </strong>  |||| <strong> y = -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1 </strong> |||| <strong> y = [x + 3,5]<sup>2</sup>  </strong> |||| <strong> y = 5[x + 4,5]<sup>2</sup> + 2 </strong> |||| <strong> y = 2[x - 4]<sup>2</sup> - 3 </strong>
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|}
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</div>
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Das war ja mit Sicherheit kein Problem für dich, da du nicht unbedingt den Vorfaktor a bestimmen musstest, um die Aufgabe zu lösen.
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Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!
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Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?
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<big>'''2. Aufgabe:'''</big>
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Finde zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsvorschrift und gib den Scheitelpunkt an!
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Falls du nicht genau weißt wie du vorgehen sollst, öffne die Hilfe!
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'''Hilfe:''' <br>
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{{versteckt|
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[[Bild:ParabelAufgabe2Station2.jpg|left]]
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1. Scheitelpunkt ablesen an den Parametern d und e:  S <math>(2\!\,|\!\,1)</math>
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2. Vorfaktor a bestimmen:
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* beliebigen Punkt aussuchen (nicht Scheitelpunkt): z.B. Punkt P <math>(4\!\,|\!\,3)</math> 
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* Einsetzen in die Gleichung: 3 <math>=</math> a (4 - 2)² + 1
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* Ausrechnen und umstellen ergibt: a <math>=</math> 2
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3. Funktionsvorschrift lautet: f(x) <math>=</math> 0,5 (x - 2)² + 1
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}}
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[[Bild:ParabelAufgabe2Station2-2.jpg]]
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'''Lösung:''' <br>
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{{Lösung versteckt|
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a) f(x) <math>=</math> 2(x-4)²-3
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b) f(x) <math>=</math> -4(x+2)²+1
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}}
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<big>'''3. Aufgabe - Multiple Choice:'''</big>
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Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an.
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Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!
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<div class="multiplechoice-quiz">
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'''f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)
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'''f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2''' (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel)(!Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben)
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'''f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel) (Die Normalparabel ist enger als die Normalparabel)
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'''Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben und ist enger als die Normalparabel ''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)
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</div>
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<big>'''3. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:'''</big>
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Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle?
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      a) f(x) <math>=</math> 2 (x - 3)<sup>2</sup> - 2
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      b) f(x) <math>=</math> 2 (x + 5)<sup>2</sup> + 1
 +
      c) f(x) <math>=</math> - (x + 1)<sup>2</sup> + 2
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      d) f(x) <math>=</math> -3 (x - 1)<sup>2</sup> -1
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'''Hilfe:''' <br>
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Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!<br>
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{{versteckt|
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Eine Nullstelle ist der Punkt an dem der Graph die x-Achse schneidet, also ist x <math>=</math> 0!}}
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'''Lösung:'''<br>
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{{Lösung versteckt|
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[[Bild:ParabelStation2Aufgabe3.jpg|left]]
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Die Teilaufgaben a) und c) sind richtige Lösungen. <br>
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Wie du in der Grafik sehen kannst, kommt es nur auf den Parameter e und den Vorfaktor a an. <br>
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Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter e zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der x-Achse. Da die Parabel durch den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet ist, muss es Nullstellen geben.
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Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter e positiv ist. 
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}}
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<div align="center"><big><u>'''STATION 3: Die Normalform f(x) <math>=</math> ax² + bx + c'''</u></big></div>
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Zum Schluss des Lernpfades „Quadratische Funktionen“ wird die Normalform und ihre Herleitung vorgestellt.
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Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> a(x - d)<sup>2</sup> + e und der Normalform f(x) <math>=</math> ax² + bx + c. Das ist aber gar nicht schwer!
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<br>
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Es gibt zwei Betrachtungen:
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1. Von der Scheitelpunktsform zur Normalform? <br>
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2. Von der Normalform zur Scheitelpunktsform? <br>
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<u>Zunächst betrachten wir Punkt 1: Von der Scheitelpunktsform zur Normalform</u>
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Da es nicht besonders schwer ist, wirst du in der folgenden Aufgabe selbst den Zusammenhang zwischen der Scheitelpunktsform zur Normalform herstellen!
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<big>'''Aufgabe:'''</big>
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Du hast die Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> 2(x - 4)² + 5 gegeben.
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Bring die quadratische Funktion f(x) <math>=</math> 2(x - 4)² + 5 durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der <br>
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Terme auf die Form f(x) <math>=</math> ax² + bx + c
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'''Lösung:'''<br>
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{{Lösung versteckt|
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      f(x) <math>=</math> 2 (x - 4)² + 5
 +
          <math>=</math> 2 (x² - 8x + 16) + 5
 +
          <math>=</math> 2x² - 16x + 32 + 5
 +
          <math>=</math> 2x² - 16x + 37
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}}
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{{Merke|
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Die Normalform f(x) <math>=</math> ax² + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> a (x - d)² + e durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br>
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Beispiel: siehe Lösung der vorheringen Aufgabe
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}}
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<u>Jetzt betrachten wir Punkt 2: Von der Normalform zur Scheitelpunktsform</u>
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Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie schon von früher!
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Aus den vorherigen Lerneinheiten weißt du über alle Eigenschaften der Scheitelpunktsform bescheid und welche Veränderung sie an der Parabel vornehmen können
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Da wir das von der Normalform „f(x) = ax² + bx + c" nicht sagen können, müssen wir die Normalform in die Scheitelpunktsform umwandeln.
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Keine Angst, die Vorgehensweise ist die bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.
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Zur Wiederholung klicke dich durch die folgende Anleitung:<br>
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<br>
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'''„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:'''
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1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p <br>
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{{versteckt|
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[[Bild:UmformungSchritt1.jpg]] 
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}}
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 +
 +
2. Schritt: Faktor ausklammern <br>
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{{versteckt|
 +
[[Bild:UmformungSchritt2.jpg]] 
 +
}}
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 +
 +
3. Schritt: Quadratische Ergänzung<br>
 +
{{versteckt|
 +
[[Bild:UmformungSchritt3.jpg]] 
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}}
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 +
4. Schritt: Binom erzeugen<br>
 +
{{versteckt|
 +
[[Bild:UmformungSchritt4.jpg]] 
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}}
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 +
 +
5. Schritt: Äußere Klammer auflösen<br>
 +
{{versteckt|
 +
[[Bild:UmformungSchritt5.jpg]] 
 +
}} 
 +
 +
 +
6. Schritt: Scheitelkoordinaten<br>
 +
{{versteckt|
 +
[[Bild:UmformungSchritt6.jpg]] 
 +
}}
 +
 +
 +
Mit Sicherheit hast du dich wieder an die quadratische Ergänzung erinnert und weißt nun wieder, wie man von der Normalform zur Scheitelpunktsform gelangt.
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Um das ein wenig einzuüben löse die folgende Aufgabe!
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<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
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Nimm dir ein Blatt und stell zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf und ordne anschließend die richtigen Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen der richtigen quadratischen Funktion zu.
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 +
 +
<div class="zuordnungs-quiz">
 +
{|
 +
| f(x)<math>=</math> 2x² + 12x + 14 || f(x)<math>=</math> 2(x + 3)² - 4  || <math>S(-3\!\,|\!\,-4)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung1.jpg]] ||
 +
|-
 +
| f(x)<math>=</math> -3x² + 24x + -41 || f(x)<math>=</math> -3(x - 4)² + 7  || <math>S(4\!\,|\!\,7)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung2.jpg]] ||
 +
|-
 +
| f(x)<math>=</math> x² - 2x - 2 || f(x)<math>=</math> (x - 1)² - 3  || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung3.jpg]]
 +
|}
 +
</div>
 +
 +
 +
'''Lösung:'''<br>
 +
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest kannst du sie dir hier anschauen! <br>
 +
{{Lösung versteckt|
 +
      f(x) <math>=</math> 2x² + 12x + 14
 +
          <math>=</math> 2 [x² + 6x] + 14
 +
          <math>=</math> 2 [x² + 6x + 3² - 3²] + 14
 +
          <math>=</math> 2 [(x + 3)² - 3²] + 14
 +
          <math>=</math> 2 (x + 3)² - 2(3²) + 14
 +
          <math>=</math> 2 (x + 3)² - 18 + 14
 +
          <math>=</math> 2 (x + 3)² - 4
 +
 +
      f(x) <math>=</math> -3x² + 24x - 41
 +
          <math>=</math> -3 [x² - 8x] - 41
 +
          <math>=</math> -3 [x² - 8x + 4² - 4²] - 41
 +
          <math>=</math> -3 [(x - 4)² - 4²] - 41
 +
          <math>=</math> -3 (x - 4)² -[-3(-4²)] - 41
 +
          <math>=</math> -3 (x - 4)² + 48 - 41
 +
          <math>=</math> -3 (x - 4)² + 7
 +
 +
      f(x) <math>=</math> x² - 2x - 2
 +
          <math>=</math> (x - 1)² - 1² - 2
 +
          <math>=</math> (x - 1)² - 3
 +
 +
}}
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 +
 +
Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion.
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Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis.
 +
Hier wird noch mal alles zuvor Erlernte in vermischten Aufgaben gefragt.
 +
Viel Erfolg!
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 +
 +
 +
<div align="center"><big><u>'''STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''</u></big></div>
 +
 +
 +
<big>'''1. Aufgabe: Schüttelrätsel'''</big>
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 +
Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern!
 +
 +
Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!
 +
 +
<div class="schuettel-quiz">
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 +
Eine Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c nennt man '''quadratische''' Funktion. <br>
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 +
Durch Umformen mit Hilfe der quadratischen '''Ergänzung''' erhält man die '''Scheitelpunktsform''' f(x) = a(x-d)² + e. <br>
 +
 +
An der Scheitelpunktsform kann man die '''Koordinaten''' für den '''Scheitelpunkt''' ablesen. <br>
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 +
Der Scheitelpunkt gibt dabei den '''höchsten''' oder '''tiefsten''' Punkt der Parabel an. <br>
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Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach '''unten''' geöffnet und der Vorfaktor a vor dem x² ist '''negativ'''. <br>
 +
 +
Ist der Vorfaktor hingegen positiv, dann besitzt die Parabel einen '''tiefsten''' Punkt und die Parabel ist nach '''oben''' geöffnet. <br>
 +
 +
Außerdem ist der Vorfaktor a noch für die '''Streckung''' oder '''Stauchung''' der Parabel verantwortlich. <br>
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Nimmt der Vorfaktor ein Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel '''gestaucht'''. <br>
 +
 +
Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder '''größer''' +1, so wird die Parabel '''gestreckt'''. <br>
 +
 +
Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Vorfaktor a, existieren noch die Parameter d und e, die für eine '''Verschiebung''' der Parabel in der '''Ebene''' verantwortlich sind. <br>
 +
 +
Dabei gilt, dass für e > 0 die Parabel nach '''oben''' auf der y-Achse verschoben wird und für e < 0 nach '''unten'''. <br>
 +
 +
Ähnlich verhält es sich mit dem Parameter d, der für eine Verschiebung der Parabel auf der x-Achse sorgt. <br>
 +
 +
Hier wird für d > 0 nach '''rechts''' auf und für d < 0 nach '''links''' verschoben.
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</div>
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<big>'''2. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE'''</big>
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 +
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x² - x - 2,5 <br>
 +
<br>
 +
Gib die Koordinaten an, an der die Funktion die y-Achse schneidet <br>
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'''Tipp!''' <br>
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Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel y-Achse schneidet.
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'''Hilfe:''' <br>
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Du kennst einen Punkt der Koordinate. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert ein und bestimme den zugehörigen y-Wert. 
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'''Lösung:''' <br>
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S (0; -2,5)
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Erklärung:
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Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.
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      y <math>=</math> 0,5x² - x - 2,5     
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      y <math>=</math> 0,5(0)² - 0 - 2,5
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      y <math>=</math> -2,5
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<big>'''3. Aufgabe: Multiple Choice'''</big>
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'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt ist der Punkt an dem die Parabel die x-Achse schneidet)
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'''Diese Funktion ist keine quadratische Funktion:''' (!y <math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>)(y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3 - 5x)(!y <math>=</math> 2x<sup>3</sup> + 2x + 3) (y <math>=</math> 8 + 2x) (!y <math>=</math> [x + 3][x - 3])
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'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 2x gilt:''' (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel schneidet die x-Achse zwei Mal) (Die Parabel ist gestaucht)
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'''Für den Graph der Funktion f(x) <math>=</math> -2 [x + 3]<sup>2</sup> - 2 gilt:''' (Der Graph geht nicht durch den Ursprung)(Der Graph ist identisch mit y <math>=</math> -2x<sup>2</sup> -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)
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'''Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S(3, -2)?''' (!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3x + 3) (y <math>=</math> -3[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (y <math>=</math> 5[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 12 [x + 3] - 2)
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'''Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt:''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter e ist positiv) (y <math>=</math> 2[x - 5]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> [x + 6]<sup>2</sup>)
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Version vom 28. Juli 2009, 13:03 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Die Quadratische Funktion der Form f(x) = a(x-d)2 + e und die Normalform f(x) = ax2 + bx + c


In diesem Lernpfad werden nun alle erlernten Parameter zusammengeführt und du lernst die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad

  • Die quadratische Funktion f(x) = a(x - d)2 + e
  • Übungen zu f(x) = a(x - d)2 + e
  • Die Normalform f(x) = ax2 + bx + c
  • Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion


Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.

Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für die Streckung und Stauchung der Parabel verantwortlich ist, und zum anderen, dass die Parameter d und e eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken.

Wir betrachten nun die Scheitelpunktsform mit dem Vorfaktor a.



STATION 1: Die quadratische Funktion f(x) = a(x - d)² + e


Im Folgenden bekommst du einen Graphen vorgegeben, mit dessen Hilfe du den Lückentext ausfüllen und so dein bisher gelerntes Wissen überprüfen und festigen kannst.

Achtung: Solltest du feststellen, dass dir Wissen fehlt, gehe bitte zu den vorherigen Lerneinheiten zurück und frische dein Wissen auf!


Quadratische Funktion f(x)=a(x-d)2+ e Aufgabenstellung und Lückentext:

Aufgabenstellung:

  • Bediene die jeweiligen Schieberegler a, d und e, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter wieder ins Gedächtnis zu holen und versuche den Lückentext zu lösen
  • Um dein Ergebnis zu kontrollieren musst du mit gehaltener linker Maustaste über das frei Feld fahren, dadurch wird das richtige Ergebnis eingeblendet.


Lückentext!


Zunächst wollen wir die Eigenschaften von Parameter a festhalten. Er sorgt zum Beispiel für eine Streckung oder Stauchung der Parabel.

Ist der Vorfaktor a positiv, so ist der Graph nach oben geöffnet, ist er negativ, so ist er nach unten geöffnet.

Für 0 < a < 1 ist der Graph weiter geöffnet als die Normalparabel, wohingegen bei a > 1 der Graph enger wird.

Für -1 < a < 0 ist der Graph weiter weiter als die Normalparabel und für a < -1 wird der Graph enger.

Den tiefsten bzw. den höchsten Punkt einer Parabel nennt man Scheitelpunkt. Dieser ist abhängig von den Parametern d und e.

Beide Parameter sind für eine Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich.

Während der Parameter e die Parabel entlang der y-Achse verschiebt, sorgt der Parameter d für eine Verschiebung entlang der x-Achse.


Ob nach rechts oder links, nach oben oder unten verschoben wird ist dabei recht einfach:

Nach oben und rechts verschoben wird für positive Werte der Parameter e und d.

Nach unten und links verschoben wird für negative Werte der Parameter e und d.

Nach oben und links wird verschoben, wenn der Parameter e positiv und der Parameter d negativ ist.

Nach unten und rechts verschoben wird, wenn der Parameter e negativ und der Parameter d positiv ist.


Wiederholung der wichtigsten Eigenschaften:

Nuvola apps kig.png   Merke

Für die quadratische Funktion f(x)=a(x - d)2 + e gilt:

  • Für den Vorfaktor a gilt:
    • Der Vorfaktor a sorgt für eine Streckung oder Stauchung der Parabel
    • Für a > 1 ist der Graph enger/gestreckter als die Normalparabel
    • Für 0 < a < 1 ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel
    • Für a < -1 ist der Graph enger/gestreckter als die Normalparabel
    • Für 0 > a > -1 ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel
  • Für den Parameter d gilt:
    • Der Parameter d sorgt für eine Verschiebung um d Einheiten auf der x-Achse
    • Für d > 0 gilt: Verschiebung nach rechts, um d Einheiten in Richtung der x-Achse
    • Für d < 0 gilt: Verschiebung nach links, um d Einheiten in Richtung der x-Achse
  • Für den Parameter e gilt:
    • Der Parameter e sorgt für eine Verschiebung um e Einheiten auf der y-Achse
    • Für e > 0 gilt: Verschiebung nach oben, um e Einheiten in Richtung der y-Achse
    • Für e < 0 gilt: Verschiebung nach unten, um e Einheiten in Richtung der y-Achse


Nachdem du nun dein Wissen aufgefrischt hast, kann es auch gleich geübt werden!



STATION 2: Übungen zu f(x) = a(x - d)² + e


1. Aufgabe:

Du siehst hier ein paar Graphen und ein paar Funktionsvorschriften der Form f(x) = a(x - d)² + e. Versuche jeweils die richtigen Päärchen zu finden.


Parabelkeins.jpg Parabelkzwei.jpg Parabelkdrei.jpg Parabelkvier.jpg Parabelkfünf.jpg
y = [x - 2,5]2 - 1,5 y = -4[x + 2]2 + 1 y = [x + 3,5]2 y = 5[x + 4,5]2 + 2 y = 2[x - 4]2 - 3



















Das war ja mit Sicherheit kein Problem für dich, da du nicht unbedingt den Vorfaktor a bestimmen musstest, um die Aufgabe zu lösen.

Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!

Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?



2. Aufgabe:

Finde zu den vorgegebenen Graphen die Funktionsvorschrift und gib den Scheitelpunkt an!

Falls du nicht genau weißt wie du vorgehen sollst, öffne die Hilfe!


Hilfe:

ParabelAufgabe2Station2.jpg

1. Scheitelpunkt ablesen an den Parametern d und e: S (2\!\,|\!\,1)

2. Vorfaktor a bestimmen:

  • beliebigen Punkt aussuchen (nicht Scheitelpunkt): z.B. Punkt P (4\!\,|\!\,3)
  • Einsetzen in die Gleichung: 3 = a (4 - 2)² + 1
  • Ausrechnen und umstellen ergibt: a = 2

3. Funktionsvorschrift lautet: f(x) = 0,5 (x - 2)² + 1

ParabelAufgabe2Station2-2.jpg

Lösung:

a) f(x) = 2(x-4)²-3

b) f(x) = -4(x+2)²+1



3. Aufgabe - Multiple Choice:

Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an. Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!

f(x) = -2x2 + 5 (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)

f(x) = (x - 3)2 - 2 (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel)(!Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um drei Einheiten nach rechts verschoben)

f(x) = 6 + 2 (x + 2)2 (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel) (Die Normalparabel ist enger als die Normalparabel)

Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben und ist enger als die Normalparabel (!y = 4 [x - 2]2 - 4)(!y = 0,2 [x - 2]2 + 4)(!y = 2 [x - 2]2 + 4)(y = 3 [x + 2]2 + 4)(!y = 0,5 [x + 2]2 - 4)(!y = 5 [x + 2]2 - 4)(!y = 0,8 [x - 2]2 + 4)(y = 1,77 [x + 2]2 + 4)






























3. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:

Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle? 

     a)	f(x) = 2 (x - 3)2 - 2 
     b)	f(x) = 2 (x + 5)2 + 1 
     c)	f(x) = - (x + 1)2 + 2
     d)	f(x) = -3 (x - 1)2 -1


Hilfe:
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!

Eine Nullstelle ist der Punkt an dem der Graph die x-Achse schneidet, also ist x = 0!


Lösung:


ParabelStation2Aufgabe3.jpg

Die Teilaufgaben a) und c) sind richtige Lösungen.
Wie du in der Grafik sehen kannst, kommt es nur auf den Parameter e und den Vorfaktor a an.
Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter e zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der x-Achse. Da die Parabel durch den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet ist, muss es Nullstellen geben.

Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter e positiv ist.



STATION 3: Die Normalform f(x) = ax² + bx + c


Zum Schluss des Lernpfades „Quadratische Funktionen“ wird die Normalform und ihre Herleitung vorgestellt.

Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform f(x) = a(x - d)2 + e und der Normalform f(x) = ax² + bx + c. Das ist aber gar nicht schwer!

Es gibt zwei Betrachtungen:

1. Von der Scheitelpunktsform zur Normalform?
2. Von der Normalform zur Scheitelpunktsform?

Zunächst betrachten wir Punkt 1: Von der Scheitelpunktsform zur Normalform

Da es nicht besonders schwer ist, wirst du in der folgenden Aufgabe selbst den Zusammenhang zwischen der Scheitelpunktsform zur Normalform herstellen!


Aufgabe:

Du hast die Scheitelpunktsform f(x) = 2(x - 4)² + 5 gegeben. Bring die quadratische Funktion f(x) = 2(x - 4)² + 5 durch ausmultiplizieren und zusammenfassen der
Terme auf die Form f(x) = ax² + bx + c


Lösung:

     f(x) = 2 (x - 4)² + 5
          = 2 (x² - 8x + 16) + 5 
          = 2x² - 16x + 32 + 5
          = 2x² - 16x + 37


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Normalform f(x) = ax² + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) = a (x - d)² + e durch ausmultiplizieren und zusammenfassen der Terme.
Beispiel: siehe Lösung der vorheringen Aufgabe


Jetzt betrachten wir Punkt 2: Von der Normalform zur Scheitelpunktsform

Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie schon von früher!

Aus den vorherigen Lerneinheiten weißt du über alle Eigenschaften der Scheitelpunktsform bescheid und welche Veränderung sie an der Parabel vornehmen können

Da wir das von der Normalform „f(x) = ax² + bx + c" nicht sagen können, müssen wir die Normalform in die Scheitelpunktsform umwandeln.

Keine Angst, die Vorgehensweise ist die bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.

Zur Wiederholung klicke dich durch die folgende Anleitung:

„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:

1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p

UmformungSchritt1.jpg


2. Schritt: Faktor ausklammern

UmformungSchritt2.jpg


3. Schritt: Quadratische Ergänzung

UmformungSchritt3.jpg


4. Schritt: Binom erzeugen

UmformungSchritt4.jpg


5. Schritt: Äußere Klammer auflösen

UmformungSchritt5.jpg


6. Schritt: Scheitelkoordinaten

UmformungSchritt6.jpg


Mit Sicherheit hast du dich wieder an die quadratische Ergänzung erinnert und weißt nun wieder, wie man von der Normalform zur Scheitelpunktsform gelangt.

Um das ein wenig einzuüben löse die folgende Aufgabe!


Aufgabe: Zuordnung - Gruppe

Nimm dir ein Blatt und stell zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf und ordne anschließend die richtigen Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen der richtigen quadratischen Funktion zu.


f(x)= 2x² + 12x + 14 f(x)= 2(x + 3)² - 4 S(-3\!\,|\!\,-4) Station3AufgabeZuordnung1.jpg
f(x)= -3x² + 24x + -41 f(x)= -3(x - 4)² + 7 S(4\!\,|\!\,7) Station3AufgabeZuordnung2.jpg
f(x)= x² - 2x - 2 f(x)= (x - 1)² - 3 S(1\!\,|\!\,-3) Station3AufgabeZuordnung3.jpg


Lösung:
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest kannst du sie dir hier anschauen! 

     f(x) = 2x² + 12x + 14
          = 2 [x² + 6x] + 14 
          = 2 [x² + 6x + 3² - 3²] + 14
          = 2 [(x + 3)² - 3²] + 14 
          = 2 (x + 3)² - 2(3²) + 14
          = 2 (x + 3)² - 18 + 14 
          = 2 (x + 3)² - 4 

     f(x) = -3x² + 24x - 41
          = -3 [x² - 8x] - 41 
          = -3 [x² - 8x + 4² - 4²] - 41
          = -3 [(x - 4)² - 4²] - 41 
          = -3 (x - 4)² -[-3(-4²)] - 41
          = -3 (x - 4)² + 48 - 41 
          = -3 (x - 4)² + 7

     f(x) = x² - 2x - 2
          = (x - 1)² - 1² - 2 
          = (x - 1)² - 3


Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion. Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis. Hier wird noch mal alles zuvor Erlernte in vermischten Aufgaben gefragt. Viel Erfolg!


STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion


1. Aufgabe: Schüttelrätsel

Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern!

Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!

Eine Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c nennt man quadratische Funktion.

Durch Umformen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung erhält man die Scheitelpunktsform f(x) = a(x-d)² + e.

An der Scheitelpunktsform kann man die Koordinaten für den Scheitelpunkt ablesen.

Der Scheitelpunkt gibt dabei den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel an.

Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach unten geöffnet und der Vorfaktor a vor dem x² ist negativ.

Ist der Vorfaktor hingegen positiv, dann besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt und die Parabel ist nach oben geöffnet.

Außerdem ist der Vorfaktor a noch für die Streckung oder Stauchung der Parabel verantwortlich.

Nimmt der Vorfaktor ein Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel gestaucht.

Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder größer +1, so wird die Parabel gestreckt.

Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Vorfaktor a, existieren noch die Parameter d und e, die für eine Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.

Dabei gilt, dass für e > 0 die Parabel nach oben auf der y-Achse verschoben wird und für e < 0 nach unten.

Ähnlich verhält es sich mit dem Parameter d, der für eine Verschiebung der Parabel auf der x-Achse sorgt.

Hier wird für d > 0 nach rechts auf und für d < 0 nach links verschoben.



































2. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE


Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x² - x - 2,5

Gib die Koordinaten an, an der die Funktion die y-Achse schneidet


Tipp!

Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel y-Achse schneidet.

Hilfe:

Du kennst einen Punkt der Koordinate. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert ein und bestimme den zugehörigen y-Wert.

Lösung:


S (0; -2,5)

Erklärung: Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert. 

     y = 0,5x² - x - 2,5      
     y = 0,5(0)² - 0 - 2,5
     y = -2,5



3. Aufgabe: Multiple Choice

Für die Funktion f(x) = x2 + 2 gilt: (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt ist der Punkt an dem die Parabel die x-Achse schneidet)


Diese Funktion ist keine quadratische Funktion: (!y = [x - 2]2)(y = 2x2 + 3 - 5x)(!y = 2x3 + 2x + 3) (y = 8 + 2x) (!y = [x + 3][x - 3])


Für die Funktion f(x) = 2x2 + 2x gilt: (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel schneidet die x-Achse zwei Mal) (Die Parabel ist gestaucht)


Für den Graph der Funktion f(x) = -2 [x + 3]2 - 2 gilt: (Der Graph geht nicht durch den Ursprung)(Der Graph ist identisch mit y = -2x2 -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)


Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S(3, -2)? (!y = 2x2 + 3x + 3) (y = -3[x - 3]2 - 2) (y = 5[x - 3]2 - 2) (!y = 12 [x + 3] - 2)


Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt: (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter e ist positiv) (y = 2[x - 5]2 - 2) (!y = [x + 6]2)


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