Die quadratische Funktion der Form f(x) = ax²: Unterschied zwischen den Versionen

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(Was bewirkt der positive Vorfaktor a bei der quadratischen Funktion)
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*'''Auswirkungen des Vorfaktors a auf die Parabel auf einen Blick'''
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*'''Aufstellen der Funktionsgleichung '''
 
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'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau. <br>* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a. <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.  
 
'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau. <br>* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a. <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.  
 
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! Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz:
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Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a wenn er negativ wird? 
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In welche Richtung ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!Parabel ist nicht geöffnet) (!nach oben) (nach unten)
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Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt)
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Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Eine Streckung) (!Eine Stauchung) (Eine Streckung oder Stauchung)
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Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Es liegt die identische Normalparabel vor, gespiegelt an der x-Achse) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht)
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Für welche negativen a-Werte ist der Graph enger/gestreckter als die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel?  (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1)
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Für welche negativen a ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)   
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Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x²''' mit dem '''negativen''' Faktor a gilt: 
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* Sie entsteht aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in Richtung der y-Achse 
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* Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: Kongruente Normalparabel nach unten geöffnet; '''f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x²<math>=</math> -x²'''
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* Für '''a < 0''' gilt:
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** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet
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** '''Scheitelpunkt S''' ist '''höchster Punkt''' und liegt im Ursprung <math>S(0\!\,|\!\,0)</math>
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** Für '''a < -1''' ist der Graph '''enger/gestreckter''' als die Normalparabel
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** Für '''a > -1''' ist der Graph '''weiter/gestauchter''' als die Normalparabel
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Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
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Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen das Memory-Puzzle zu lösen.
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<div class="memo-quiz">
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| Vorfaktor a ist negativ  || Nach unten geöffnete Normalparabel
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|-
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| Vorfaktor a ist positiv  || Nach oben geöffnete Normalparabel
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|-
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| a < -1  || enger/gestreckter Graph
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|-
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| 0 > a > -1 || weiter/gestauchter Graph
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|-
 +
| a > 1 || Graph ist enger/gestreckter
 +
|-
 +
| 0 < a < 1 || Graph ist weiter geöffnet
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|-
 +
| Scheitelpunkt S für negativen Parameter a || höchster Punkt, liegt im Ursprung
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(0, 0)
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|-
 +
| Scheitelpunkt S für positiven Parameter a || tiefster Punkt, liegt im Ursprung
 +
(0, 0)
 +
|-
 +
| Der Vorfaktor a bewirkt eine… || Streckung oder Stauchung der Normalparabel
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|}
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</div>

Version vom 12. Juli 2009, 19:36 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Die Quadratische Funktion der Form f(x)=ax²


Auf dieser Seite lernst du die die quadratischen Funktion mit dem Vorfaktor a! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad

  • Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven Parameter a
  • Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den negativen Parameter a
  • Auswirkungen des Vorfaktors a auf einen Blick
  • Aufstellen der Funktionsgleichung
  • Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)=ax²


Wie schon am Ende der Lerneinheit „Normalparabel“ angekündigt, werden wir die Normalparabel nun um einen Parameter erweitern.

Es kommt jetzt der Parameter a als „Vorfaktor“ hinzu, wodurch folgende Funktionsgleichung entsteht:


f(x)= a\cdotx²


STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den positiven Parameter a


Bearbeite das folgende "Prettytable":

Quadratische Funktion f(x)=ax2 Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise:
* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau.
* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a.
* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder.


Aufgabe:
Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a an der quadratischen Funktion im Hinblick auf die Normalparabel?


Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:

Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in Richtung der y-Achse.
Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a Eins beträgt, denn dann ist
f(x) = 1x² = x² identisch zur Normalparabel.
Ist a größer 1, so ist der Graph enger oder gestreckter als die Normalparabel.
Ist a hingegen kleiner 1, so ist der Graph weiter oder gestauchter als die Normalparabel.
Weiterhin gilt: Die quadratische Funktion f(x) = ax² ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt mit den Koordinaten (0\!\,|\!\,0).


Nuvola apps kig.png   Merke

Für die quadratische Funktion f(x)= a\cdotx² mit dem positiven Faktor a gilt:

  • Sie entsteht aus der Normalparabel durch eine Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse
  • Für a = 1 gilt: Identisch zur Normalparabel, denn f(x)= 1\cdotx²= x²
  • Für a > 0 gilt:
    • Der Graph ist nach oben geöffnet
    • Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung S(0\!\,|\!\,0)
    • Für a > 1 ist der Graph enger/gestreckter als die Normalparabel
    • Für a < 1 ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel


Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.


STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Parabel für den negativen Parameter a


Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, für den Fall das der Parameter a negativ wird!


Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a: Aufgabe und Quiz:

Aufgabe:

Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a wenn er negativ wird?

Quiz:

In welche Richtung ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!Parabel ist nicht geöffnet) (!nach oben) (nach unten)

Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt)

Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Eine Streckung) (!Eine Stauchung) (Eine Streckung oder Stauchung)

Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Es liegt die identische Normalparabel vor, gespiegelt an der x-Achse) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht)

Für welche negativen a-Werte ist der Graph enger/gestreckter als die an der x-Achse gespiegelte Normalparabel? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1)

Für welche negativen a ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)


Nuvola apps kig.png   Merke

Für die quadratische Funktion f(x)= a\cdotx² mit dem negativen Faktor a gilt:

  • Sie entsteht aus der Spiegelung an der x-Achse sowie durch eine Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse
  • Für a = -1 gilt: Kongruente Normalparabel nach unten geöffnet; f(x)=-1\cdotx²= -x²
  • Für a < 0 gilt:
    • Der Graph ist nach unten geöffnet
    • Scheitelpunkt S ist höchster Punkt und liegt im Ursprung S(0\!\,|\!\,0)
    • Für a < -1 ist der Graph enger/gestreckter als die Normalparabel
    • Für a > -1 ist der Graph weiter/gestauchter als die Normalparabel


STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors a auf einen Blick


Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!


Normalparabel


Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen das Memory-Puzzle zu lösen.

Vorfaktor a ist negativ Nach unten geöffnete Normalparabel
Vorfaktor a ist positiv Nach oben geöffnete Normalparabel
a < -1 enger/gestreckter Graph
0 > a > -1 weiter/gestauchter Graph
a > 1 Graph ist enger/gestreckter
0 < a < 1 Graph ist weiter geöffnet
Scheitelpunkt S für negativen Parameter a höchster Punkt, liegt im Ursprung

(0, 0)

Scheitelpunkt S für positiven Parameter a tiefster Punkt, liegt im Ursprung

(0, 0)

Der Vorfaktor a bewirkt eine… Streckung oder Stauchung der Normalparabel
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