Der Satz des Thales: Unterschied zwischen den Versionen

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===Der Satz des Thales===
 
===Der Satz des Thales===
 
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:'''Nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (um 600 v. Chr.) wird ein wichtiger gemeotrischer Satz bezeichnet.'''<br>
 
 
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<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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<div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
: '''Nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (um 600 v. Chr.) wird ein wichtiger gemeotrischer Satz bezeichnet.'''
−
'''Hier siehst du einen schönen Regenbogen mitten in einer Berglandschaft auf dem Planet Phantasia.'''
+
−
[[Bild: regenbogen_nico.jpg|thumb|left|600px]]
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[[Bild: ThalesClownAAeinführung1_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
 
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: '''Du hast doch bei der Erarbeitung von Grundwissen verschiedene Winkel kennen gelernt, stimmts?'''
 
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−
'''''Welcher Gipfel dieser Berglandschaft ist am spitzesten?'''''
+
: '''Ich weiß also, dass du in der Lage bist einen spitzen von einem stumpfen Winkel zu unterscheiden!'''
 
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 +
: '''Auf geht's - probiere doch bitte die erste Station aus - viel Spaß!!!'''
 
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−
Frage a): Hast du eine Idee, wie groß der Winkel am Gipfel von Berg A sein könnte?
+
: '''Die Lösung erhälst du, indem du die linke Maustaste gedrückt hältst und über den grauen Streifen ziehst.'''
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===Erste Station:===
 
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{| {{Prettytable}}
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|- style="background-color:#8DB6CD"
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| <ggb_applet height="450" width="500" showResetIcon="true" filename="nico_stahlneugemachtwiderspruchsbeweisthales_nico.ggb" /> || <br>
 +
<br> !!!Ziehe am roten Punkt C. Beobachte dabei den Wert für den Winkel γ!!!
 
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Antwort a):Der Berg A hat am Gipfel ein Winkelmaß von: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 90° </u>
 
 
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 +
* 1.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C innerhalb des gelben Halbkreises befindet? 
 +
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* 1.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ ist größer als 90°. Es gilt: γ > 90°</u>
 
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−
Frage b): Haben die Winkel der Berge A,B,C,D, die den Regenbogen berühren eine Gemeinsamkeit?  
+
* 2.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C außerhalb des gelben Halbkreises befindet? (Jedoch innerhalb der blauen Linien und oberhalb der Strecke [AB]!) 
 
<br>
 
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 +
* 2.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ ist kleiner als 90°. Es gilt: γ < 90°</u>
 
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−
Antwort b): Alle Winkel, die den Regenbogen berühren sind <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> gleich </u> groß.
+
* 3.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C genau auf dem Halbkreis befindet?
 
<br>
 
<br>
 +
* 3.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°</u>
 
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 +
* 4.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn du das Kästchen "Punkt fixieren" anklickst?
 
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 +
* 4.Antwort: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°</u> <br>
 
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 +
Erklärung: <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es gilt: γ = 90°, weil der rote Punkt C genau auf dem Halbreis über der Strecke [AB] liegt.</u> <br>
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|}
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</div>
 
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<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
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[[Bild: ThalesClownSchieberegler_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
 
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−
</div>
+
: '''Nachdem du die erste Station gemacht hast, kannst du dich jetzt der zweiten Station widmen!'''
 
<br>
 
<br>
−
<div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
: '''Achte zunächst auf die linke Animation und beobachte den Winkel am roten Eckpunkt!
−
'''Ein Matrose und sein Kapitän segeln zusammen am Meeresufer entlang und entdecken zwei Leuchttürme unter einem Winkel von 90°.'''
+
−
[[Bild: seemann_nico.jpg|thumb|left|800px]]
+
 
<br>
 
<br>
−
:'''Überlegungen:'''
+
: '''Wenn du damit fertig bist, dann schaue dir bitte dir rechte Animation an!'''
 
<br>
 
<br>
−
*'''Welche Position könnte denn das Segelschiff haben?'''  
+
: '''Was fällt dir auf, wenn du die Winkel betrachtest?'''
 
<br>
 
<br>
−
*'''Stehen die beiden Leuchttürme zueinander in Beziehung?'''  
+
: '''Wenn du willst kannst du die Animation auch stoppen, indem du auf den Pauseknopf (links unten im Applet) drückst!'''
 
<br>
 
<br>
−
*'''Könnte es sich um eine geometrische Figur handeln, wenn man Objekte miteinander verbindet?
+
: '''Um die Fragen zu beantworten, nutze bitte den Multiple-Chpoice-Test!'''
 
<br>
 
<br>
−
*'''Was bedeutet die Angabe:''' ''"unter einem Winkel von 90°"''  '''Was kannst du daraus schließen?'''
+
: '''Viel Spaß dabei!!!'''
 
<br>
 
<br>
 +
 +
===Zweite Station:===
 
<br>
 
<br>
−
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px ;">
+
{| {{Prettytable}}
−
'''Auf gehts - löse den Lückentext:'''
+
|- style="background-color:#8DB6CD"
−
<div class="lueckentext-quiz">
+
| <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="OhneWinkelANIMATION_thales_nicostahl.ggb" /> || <ggb_applet height="400" width="400" showResetIcon="true" filename="ANIMATION_thales_nicostahl.ggb" />
−
Zwei Standorte auf dem Festland werden mit A und B bezeichnet. In der Zeichnung sind das die <strong> Leuchttürme </strong>. <br>
+
|}
−
Das Objekt im Meer, also das <strong> Segelschiff </strong> wird mit dem Buchstaben C versehen.
+
<br>
−
Nun verbinden wir die Punkte A,B und C miteinander und erhalten ein <strong> rechtwinkliges Dreieck</strong>. <br>
+
<br>
−
Der Winkel an der <strong> Spitze C </strong> beträgt 90°. <br>
+
<big>'''Welche Aussagen über die dynamischen Animationen stimmen und welche nicht?'''</big>
−
Der Matrose und sein Kapitän segeln mit dem Schiff vom linken zum rechten Leuchtturm genau so, dass der Winkel bei C stets ein Maß von 90° hat. <br>
+
<br>
−
Dies lässt vermuten, dass die gefahrene Route einen <strong> Halbkreis </strong> ergibt. <br>
+
<div class="multiplechoice-quiz">
−
Den Mittelpunkt dieses Halbkreises bildet die <strong> Strecke AB </strong>. <br>
+
 
 +
Der Winkel am roten Eckpunkt hat in der linken Animation eine andere Größe als in der rechten Animation. (Falsch) (!Richtig)
 +
 
 +
Der Winkel γ hat bei beiden Animationen stets ein Maß von 90°. (Richtig) (!Falsch)
 +
 
 +
Die beiden grünen Winkel sind nie gleich groß. (!Richtig) (Falsch)
 +
 
 +
Die Summe der beiden grünen Winkel ergibt stets das gleiche Ergebnis. (Richtig) (!Falsch)
 +
 
 +
Die Summe der beiden grünen Winkel ist so groß wie der Winkel γ. (Richtig) (!Falsch)
 +
 
 +
Wenn der Winkel γ nicht auf dem Kreis liegen würde, dann wäre das Winkelmaß entweder größer oder kleiner 90°. (Richtig) (!Falsch)
 +
 
 
</div>
 
</div>
 
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</div>
 
−
</div>
 
 
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<br>
 
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−
<div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
'''Anhand dieser Zeichnung kannst du den Zusammenhang erkennen, den du im Lückentext erarbeiten solltest.'''
 
−
[[Bild: seemann_nico1.jpg|thumb|left|300px]]
 
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
−
Frage a): Wenn das Schiff zum Leuchtturm B fährt, unter welchem Winkel blicken der Matrose und der Kapitän aufs Festland?
 
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
−
Antwort a):Die beiden Seeleute betrachten es von einem <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 90° </u> Winkel aus.
 
 
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<br>
 
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−
Frage b): Wenn aber das Schiff zum Leuchtturm A fährt, unter welchem Winkel blicken dann der Matrose und der Kapitän aufs Festland ?
 
 
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−
Antwort b): Dann betrachten es die Seemänner von einem <u style="color:lightgrey;background:lightgrey"> 90° </u> Winkel aus.
 
 
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{|
+
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−
| <div class="schuettel-quiz"> <br>
+
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−
Daraus können wir schließen, dass der Winkel bei C immer '''rechtwinklig''' ist,  <br>
+
</div>
−
wenn die Strecke von Leuchtturm A zu Leuchtturm B der '''Durchmesser''' des '''Halbkreises''' über der Strecke AB ist.<br>
+
<br>
−
|</div>
+
<br>
 +
<br>
 +
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 +
<br>
 +
[[Bild: MotivatorOrdnung_nicostahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
 +
<br>
 +
: '''Jetzt hast du einige Fragen beantortet und einen Multiple-Choice-Test erledigt!'''
 +
<br>
 +
: '''Wie sieht's aus?'''
 +
<br>
 +
: '''Hast du ein bisschen Lust das Durcheinander hier aufzuräumen?'''
 +
<br>
 +
: '''Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt ziehen!'''
 +
<br>
 +
===Dritte Station:===
 +
<br>
 +
{| {{Prettytable}}
 +
|- style="background-color:#8DB6CD"
 +
| <ggb_applet height="300" width="500" showResetIcon="true" filename="ThalesWERTE___nico_Nico.Stahl.ggb" /> || <ggb_applet height="300" width="500" showResetIcon="true" filename="ThalesWINKEL__Nico.Stahl.ggb" />
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
 +
<div class="zuordnungs-quiz"> <br>
 +
<big>'''Aufgabenstellung: Ordne die untenstehenden Bilder und Begriffe passend zu!!!'''</big> <br>
 +
{|
 +
| Die Strecken [MA], [MB] und [MC] || sind alle gleich lang || werden mit r bezeichnet || sind der Radius des Kreises k || sind halb so lang wie der Durchmesser des Kreises k
 +
|-
 +
| Basiswinkel im Dreieck AMC || [[Bild:alpha_nicostahl.jpg|150px]]
 +
|-
 +
| [[Bild:beta_nicostahl.jpg|150px]] || Basiswinkel im Dreieck MBC
 +
|-
 +
| [[Bild:alpha+beta_istgleich_nicostahl.jpg|300px]] || [[Bild:GGamma___nicostahl.jpg|150px]] || [[Bild:GGammawinkel90°__nicostahl.jpg|150px]]
 +
|}
 
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</div>
 
</div>
 
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−
Für die folgenden Überlegungen beziehen wir uns auf die dynamsiche Zeichnung                    <br>
 
−
Wir wollen diesen Sachverhalt nun mathematisch untersuchen und dazu gehen wir davon aus,        <br>
 
−
dass das in der Zeichnung ersichtliche Dreieck einen rechten Winkel bei C aufzeigt.            <br>
 
−
Also sind die Punkte A, B und C gleich weit von M entfernt, liegen somit auf dem Kreis um M,    <br>
 
−
der zugleich Mittelpunkt von der Strecke AB ist.                                                <br>
 
−
Das heißt, wenn das Dreieck  ABC bei C rechtwinklig ist,                                        <br>
 
−
dann liegt C auf dem Halbkreis über der Strecke AB.                                            <br> 
 
 
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−
===Was fällt dir beim Ziehen auf?===
 
 
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−
<ggb_applet height="370" width="400" showResetIcon="true" filename="Animationthales.ggb" />
+
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</div>
 +
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 +
<br>
 
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<br>
 
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
−
===Versuche den Lückentext mithilfe der dynamischen Zeichnung zu lösen.===
 
 
<br>
 
<br>
−
{|
+
[[Bild: ThalesClowntippschieberegler_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
−
| <div class="schuettel-quiz"> <br> Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C '''rechtwinklig''' ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem '''Durchmesser''' AB.<br>
+
<br>
 +
: '''Was bemerkst du beim Winkel γ, wenn der blaue Punkt B so wandert, dass die Strecke [AB] den Mittelpunkt M schneidet?'''
 +
<br>
 +
: '''Betrachte aufmerksam die dynamische Animation!'''
 +
<br>
 +
: '''Auf geht's - viel Spaß beim Ordnen der durchgeschüttelten Wörter!'''
 +
<br>
 +
: '''Keine Angst - Du kennst die gesuchten Wörter - Du schaffst das auf jeden Fall!!!'''
 +
<br>
 +
===Vierte Station:===
 +
<br>
 +
{| {{Prettytable}}
 +
|- style="background-color:#8DB6CD"
 +
| <ggb_applet height="500" width="550" showResetIcon="true" filename="stumpf_nico_stahl_Animationthaleserscheint_nico.ggb" /> || {|
 +
| <div class="schuettel-quiz"> <br>
 +
Wenn die Strecke [AB] den '''Mittelpunkt''' M des Kreises schneidet,
 +
<br>
 +
dann ist der Winkel an der Spitze C '''rechtwinklig'''
 +
<br>
 +
und im Bild erscheint das Wort: '''Thales'''.
 +
<br>
 +
Wenn das Dreieck ABC bei C ein Maß von 90° hat,
 +
<br>
 +
so bezeichnet man die Strecke [AB] als '''Hypotenuse'''.
 +
<br>
 +
Die beiden Strecken [AC] und [BC] nennt man '''Katheten'''.
 +
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|</div>
 
|</div>
 
|}
 
|}
 +
</div>
 
<br>
 
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−
{|
+
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−
| <div class="schuettel-quiz"> <br> Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das '''Dreieck''' ABC rechtwinklig bei C.<br>
+
<br>
−
|</div>
+
<br>
 +
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 +
<br>
 +
[[Bild: ThalesClownBEWEISCLOWN_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
 +
<br>
 +
 
 +
===Fünfte Station:===
 +
<br>
 +
: '''Hast du Lust auf eine Beweisführung?'''
 +
<br>
 +
: '''Klicke mit der linken Maustaste die einzelnen Schritte an!'''
 +
<br>
 +
: '''Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!'''
 +
<br>
 +
: '''Wenn du möchtest kannst du am Punkt C mit der Maus ziehen.'''
 +
<br>
 +
<br>
 +
{|{{Prettytable}}
 +
|- style="background-color:#8DB6CD"
 +
| <ggb_applet height="500" width="650" showResetIcon="true" filename="BeweisführungdesThales_nico.ggb" /> || <div class="zuordnungs-quiz">
 +
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
 +
Ordne den einzelnen Schritten den jeweils passenden Text zu.
 +
{|
 +
| Schritt 1 || Dreieck AMC und Dreieck MBC sind gleichschenklig. (r=r)   
 +
|-
 +
| Schritt 2 || Basiswinkel im Dreieck AMC sind maßgleich: α = α 
 +
|-
 +
| Schritt 3 || Basiswinkel im Dreieck MBC sind maßgleich: β = β 
 +
|-
 +
| Schritt 4 || Innenwinkelsumme im Dreieck ABC=180°: <br>
 +
α + α + β + β = 180° <br>
 +
2α +  2β = 180° <br>
 +
α + β = 90° <br>
 +
|-
 +
| Schritt 5 || α + β = γ <br> γ = 90°
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
 +
</div>
 
<br>
 
<br>
−
''In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Satz und Kehrsatz richtig sind.''<br>
+
|}
−
''Anstelle von zwei Sätzen in Wenn-Dann-Form, wird die  Formulierung'' '''''"...genau dann, wenn..."''''' ''verwendet,''<br>
+
−
''sowohl um die Sätze zusammenzufassen als auch um die Korrektheit der Aussage zu artikulieren.''
+
 
<br>
 
<br>
 +
</div>
 
<br>
 
<br>
 +
<br>
 +
<br>
 +
<div style="border: 2px solid blue; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 +
<br>
 +
[[Bild: ThalesClownPro_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]] <br>
 +
<br>
 +
===Sechste Station:===
 +
<br>
 +
: '''Du hast mittlerweile schon viele neue Entdeckungen gemacht!'''
 +
<br>
 +
: '''Wende nun diese gewonnenen Erkenntnisse auf den nachfolgenden Lückentext an!'''
 +
<br>
 +
{|
 +
| <div class="schuettel-quiz"> <br>
 +
Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C '''rechtwinklig''' ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem '''Durchmesser''' AB.<br>
 +
Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das '''Dreieck''' ABC rechtwinklig bei C.<br>
 +
|</div>
 +
|}<br>
 +
''In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Satz und Kehrsatz richtig sind.''<br>
 +
''Anstelle von zwei Sätzen in Wenn-Dann-Form, wird die  Formulierung'' '''''"...genau dann, wenn..."''''' ''verwendet,''<br>
 +
''sowohl um die Sätze zusammenzufassen als auch um die Korrektheit der Aussage zu artikulieren.''<br>
 
{|
 
{|
 
| <div class="schuettel-quiz"> <br> Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen '''rechten''' Winkel, wenn die Ecke C auf dem '''Halbkreis''' über der Strecke AB liegt.<br>
 
| <div class="schuettel-quiz"> <br> Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen '''rechten''' Winkel, wenn die Ecke C auf dem '''Halbkreis''' über der Strecke AB liegt.<br>
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<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 +
<div style="border: 2px solid yellow; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<br>
 
<br>
−
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
+
[[Bild: Hefteintag.ThalesClown_nicostahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
−
===Viel Spaß beim Multiple-Choice!===
+
 
<br>
 
<br>
−
''Lies die folgenden Sätze konzentriert durch und klicke die korrekten Aussagen mit der linken Maustaste an. Achte auf die Fragestellungen!!!''
+
: '''Es wird wieder Zeit unser neues Wissen zusammen zu tragen!'''
 
<br>
 
<br>
 +
: '''Übertrage den Merk-Text in dein Arbeitsheft!'''
 
<br>
 
<br>
−
<quiz display="simple">
+
{{Merke|'''Der Satz des Thales:'''  
−
{ '''Welche dieser Aussagen über das Dreieck ABC ist wahr?'''}
+
−
 
+
−
- Die Summe aus den Winkeln α + β ergeben zusammen immer 60°.
+
−
+ Die Summe der beiden Winkel α + β ist immer gleich.
+
−
+ Das Maß des Winkels γ an der Spitze C berechnet sich aus der Summe der beiden Winkel α + β.
+
−
- Der Winkel β kann nie doppelt so groß sein wie der Winkel α.
+
−
- Der Winkel α misst immer 90°.
+
−
- Der Winkel β misst immer 90°.
+
−
+ Der Winkel γ misst immer 90°.
+
−
- Der Winkel γ misst nie 90°.
+
−
+ Falls gilt: α = 45°, so folgt: α = β.
+
−
- Die beiden Winkel α und β sind nie maßgleich.
+
−
 
+
−
 
+
−
{ '''Welche dieser Aussagen über das Dreieck ABC ist falsch?'''}
+
−
 
+
−
- Der Winkel γ misst stets 90°.
+
−
+ Die zwei Winkel α und β haben niemals die gleiche Größe.
+
−
+ Addiert man die beiden Winkeln α + β zusammen, so erhält man stets 60°.
+
−
- Das Maß des Winkels γ an der Spitze C berechnet sich aus der Summe der zwei Winkel α + β.
+
−
+ Der Winkel β kann nie doppelt so groß sein wie der Winkel α.
+
−
+ Der Winkel α misst immer 90°.
+
−
- Die Summe der beiden Winkel α + β ist immer gleich.
+
−
+ Der Winkel γ misst nie 90°.
+
−
- Falls gilt: α = 45°, so folgt: α = β.
+
−
+ α kann nie das Maß 45° haben.
+
−
+ Der Winkel β misst immer 90°.
+
 
<br>
 
<br>
−
</quiz>
+
<br>
 +
* '''Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C rechtwinklig ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB.'''
 +
<br>
 +
* '''Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C.'''
 +
<br>
 +
* '''Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über der Strecke AB liegt.
 +
}} <br>
 
</div>
 
</div>
 
<br>
 
<br>
 +
<div style="border: 2px solid green; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
<br>
 
<br>
 +
[[Bild: ThalesClownbeweisnr2thales_NicoStahl.jpg|thumb|center|500px|Ich bin der Thales-Clown]]
 
<br>
 
<br>
−
<div style="border: 2px solid yellow; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
−
{{Merke|'''Der Satz des Thales:''' <br>
 
 
<br>
 
<br>
−
'''''Jedes Dreieck ∆ABC, dessen Grundseite AB dem Durchmesser eines Halbkreises entspricht und dessen Ecke C auf dem Kreisbogen liegt,'''''<br>
+
===Siebte Station:===
−
'''''ist rechtwinklig. Den Halbkreis mit dem eingeschlossenen Dreieck bezeichnet man kurz als „Thales-Kreis“.'''''}} <br>
+
<br>
 +
: '''Super, du hast die fünfte und die sechste Station geschafft!'''
 +
<br>
 +
: '''Dann wird die siebte Station dür dich "very easy"!!!'''
 +
<br>
 +
: '''Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!'''
 +
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: '''Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt C ziehen!'''
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| Schritt 1 || Gerade g ist parallel zu Strecke [AB]
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| Schritt 2 || Dreieck AMC und Dreieck CMB sind gleichschenklig
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| Schritt 6 || Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß: α=α und β=β
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| Schritt 7 || Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°: <br> α+α+β+β=180° <br> 2α+2β=180° <br> α+β=90° <br> γ=90° <br>
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: '''Eigentlich, müsstest du jetzt doch alles verstanden haben, oder?'''
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* Konstruiere in dein Übungsheft einen Thales-Kreis.<br>
 
* Konstruiere in dein Übungsheft einen Thales-Kreis.<br>
 
* Schreibe die besonderen Eigenschaften eines Thales-Kreis in dein Heft.<br>
 
* Schreibe die besonderen Eigenschaften eines Thales-Kreis in dein Heft.<br>
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* Füge sonstige Besonderheiten hinzu, die dir während des Bearbeitens des Lernpfades aufgefallen sind. '''}}  
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* Füge sonstige Besonderheiten hinzu, die dir während des Bearbeitens des Lernpfades aufgefallen sind.
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* Diskutiere in deiner Klassengemeinschaft über diesen Lernpfad '''}}  
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{{Autoren|'''[[Benutzer:Nico Stahl|Nico Stahl]]'''}}
 
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Aktuelle Version vom 5. März 2012, 00:34 Uhr


Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Der Satz des Thales



Nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (um 600 v. Chr.) wird ein wichtiger gemeotrischer Satz bezeichnet.


Ich bin der Thales-Clown


Du hast doch bei der Erarbeitung von Grundwissen verschiedene Winkel kennen gelernt, stimmts?


Ich weiß also, dass du in der Lage bist einen spitzen von einem stumpfen Winkel zu unterscheiden!


Auf geht's - probiere doch bitte die erste Station aus - viel Spaß!!!


Die Lösung erhälst du, indem du die linke Maustaste gedrückt hältst und über den grauen Streifen ziehst.


Erste Station:


 !!!Ziehe am roten Punkt C. Beobachte dabei den Wert für den Winkel γ!!!

  • 1.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C innerhalb des gelben Halbkreises befindet?


  • 1.Antwort: Der Winkel γ ist größer als 90°. Es gilt: γ > 90°


  • 2.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C außerhalb des gelben Halbkreises befindet? (Jedoch innerhalb der blauen Linien und oberhalb der Strecke [AB]!)


  • 2.Antwort: Der Winkel γ ist kleiner als 90°. Es gilt: γ < 90°


  • 3.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn sich der rote Punkt C genau auf dem Halbkreis befindet?


  • 3.Antwort: Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°


  • 4.Frage: Welchen Wert nimmt der Winkel γ an, wenn du das Kästchen "Punkt fixieren" anklickst?


  • 4.Antwort: Der Winkel γ beträgt dann genau 90°. Es gilt: γ = 90°


Erklärung: Es gilt: γ = 90°, weil der rote Punkt C genau auf dem Halbreis über der Strecke [AB] liegt.





Ich bin der Thales-Clown


Nachdem du die erste Station gemacht hast, kannst du dich jetzt der zweiten Station widmen!


Achte zunächst auf die linke Animation und beobachte den Winkel am roten Eckpunkt!


Wenn du damit fertig bist, dann schaue dir bitte dir rechte Animation an!


Was fällt dir auf, wenn du die Winkel betrachtest?


Wenn du willst kannst du die Animation auch stoppen, indem du auf den Pauseknopf (links unten im Applet) drückst!


Um die Fragen zu beantworten, nutze bitte den Multiple-Chpoice-Test!


Viel Spaß dabei!!!


Zweite Station:



Welche Aussagen über die dynamischen Animationen stimmen und welche nicht?

Der Winkel am roten Eckpunkt hat in der linken Animation eine andere Größe als in der rechten Animation. (Falsch) (!Richtig)

Der Winkel γ hat bei beiden Animationen stets ein Maß von 90°. (Richtig) (!Falsch)

Die beiden grünen Winkel sind nie gleich groß. (!Richtig) (Falsch)

Die Summe der beiden grünen Winkel ergibt stets das gleiche Ergebnis. (Richtig) (!Falsch)

Die Summe der beiden grünen Winkel ist so groß wie der Winkel γ. (Richtig) (!Falsch)

Wenn der Winkel γ nicht auf dem Kreis liegen würde, dann wäre das Winkelmaß entweder größer oder kleiner 90°. (Richtig) (!Falsch)


































Ich bin der Thales-Clown


Jetzt hast du einige Fragen beantortet und einen Multiple-Choice-Test erledigt!


Wie sieht's aus?


Hast du ein bisschen Lust das Durcheinander hier aufzuräumen?


Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt ziehen!


Dritte Station:



Aufgabenstellung: Ordne die untenstehenden Bilder und Begriffe passend zu!!!

Die Strecken [MA], [MB] und [MC] sind alle gleich lang werden mit r bezeichnet sind der Radius des Kreises k sind halb so lang wie der Durchmesser des Kreises k
Basiswinkel im Dreieck AMC Alpha nicostahl.jpg
Beta nicostahl.jpg Basiswinkel im Dreieck MBC
Alpha+beta istgleich nicostahl.jpg GGamma nicostahl.jpg GGammawinkel90° nicostahl.jpg



















































Ich bin der Thales-Clown


Was bemerkst du beim Winkel γ, wenn der blaue Punkt B so wandert, dass die Strecke [AB] den Mittelpunkt M schneidet?


Betrachte aufmerksam die dynamische Animation!


Auf geht's - viel Spaß beim Ordnen der durchgeschüttelten Wörter!


Keine Angst - Du kennst die gesuchten Wörter - Du schaffst das auf jeden Fall!!!


Vierte Station:

Wenn die Strecke [AB] den Mittelpunkt M des Kreises schneidet,
dann ist der Winkel an der Spitze C rechtwinklig
und im Bild erscheint das Wort: Thales.
Wenn das Dreieck ABC bei C ein Maß von 90° hat,
so bezeichnet man die Strecke [AB] als Hypotenuse.
Die beiden Strecken [AC] und [BC] nennt man Katheten.






Ich bin der Thales-Clown


Fünfte Station:


Hast du Lust auf eine Beweisführung?


Klicke mit der linken Maustaste die einzelnen Schritte an!


Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!


Wenn du möchtest kannst du am Punkt C mit der Maus ziehen.



Zuordnung
Ordne den einzelnen Schritten den jeweils passenden Text zu.

Schritt 1 Dreieck AMC und Dreieck MBC sind gleichschenklig. (r=r)
Schritt 2 Basiswinkel im Dreieck AMC sind maßgleich: α = α
Schritt 3 Basiswinkel im Dreieck MBC sind maßgleich: β = β
Schritt 4 Innenwinkelsumme im Dreieck ABC=180°:

α + α + β + β = 180°
2α + 2β = 180°
α + β = 90°

Schritt 5 α + β = γ
γ = 90°








Ich bin der Thales-Clown


Sechste Station:


Du hast mittlerweile schon viele neue Entdeckungen gemacht!


Wende nun diese gewonnenen Erkenntnisse auf den nachfolgenden Lückentext an!



Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C rechtwinklig ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB.
Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C.

In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Satz und Kehrsatz richtig sind.
Anstelle von zwei Sätzen in Wenn-Dann-Form, wird die Formulierung "...genau dann, wenn..." verwendet,
sowohl um die Sätze zusammenzufassen als auch um die Korrektheit der Aussage zu artikulieren.


Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über der Strecke AB liegt.




Ich bin der Thales-Clown


Es wird wieder Zeit unser neues Wissen zusammen zu tragen!


Übertrage den Merk-Text in dein Arbeitsheft!


Nuvola apps kig.png   Merke

Der Satz des Thales:

  • Wenn das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C rechtwinklig ist, dann liegt C auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB.


  • Wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über AB liegt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C.


  • Das Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über der Strecke AB liegt.



Ich bin der Thales-Clown



Siebte Station:


Super, du hast die fünfte und die sechste Station geschafft!


Dann wird die siebte Station dür dich "very easy"!!!


Auf geht's - viel Spaß beim Zuordnen der Begriffe!


Wenn du willst, dann kannst du auch am blauen Punkt C ziehen!


Zuordnung

Schritt 1 Gerade g ist parallel zu Strecke [AB]
Schritt 2 Dreieck AMC und Dreieck CMB sind gleichschenklig
Schritt 3 [MA]=[MB]=[MC]: r=r=r
Schritt 4 Basiswinkel sind gleich groß: α=α und β=β
Schritt 5 Innenwinkelsumme im Dreieck:
α+β+γ=180°
α+β=γ
α+β+α+β=180°
2α+2β=180°
α+β=90°
Schritt 6 Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß: α=α und β=β
Schritt 7 Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°:
α+α+β+β=180°
2α+2β=180°
α+β=90°
γ=90°
















Ich bin der Thales-Clown


Eigentlich, müsstest du jetzt doch alles verstanden haben, oder?


Die nachstehenden Aufgaben kannst du in Absprache mit deinem Lehrer oder deiner Lehrerin bearbeiten!


  Aufgabe   Stift.gif

Arbeitsauftrag:

  • Konstruiere in dein Übungsheft einen Thales-Kreis.
  • Schreibe die besonderen Eigenschaften eines Thales-Kreis in dein Heft.
  • Füge sonstige Besonderheiten hinzu, die dir während des Bearbeitens des Lernpfades aufgefallen sind.
  • Diskutiere in deiner Klassengemeinschaft über diesen Lernpfad



Team.gif
Entstanden unter Mitwirkung von:

Nico Stahl

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