Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 7: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 12. Januar 2010, 22:25 Uhr
Station 7
Aufgabe 1
Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen.
( I ) 3x + 7y = - 30 und ( II ) - 5x - 7y = 22 
( I ) + ( II ) :
( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) = -30 + 22
| ( 3x + 7y ) + ( -5x - 7y ) | = | -30 + 22 |
| 3x - 5x | = | -8 |
| -2x | = | -8 |
| x | = | 4 |
| 3x + 7y | = | - 30 |
| 3 * 4 + 7y | = | - 30 |
| 12 + 7y | = | - 30 |
| 7y | = | - 42 |
| y | = | -6 |
Gleichung ( I ) :
| 3x + 7y | = | - 30 |
| 3 * 4 (x - Wert) + 7 * - 6 (y - Wert) | = | - 30 |
| 12 (ausmultipliziert) - 42 | = | - 30 |
| - 30 | = | - 30 |
Gleichung ( II ):
| -5x - 7y | = | 22 |
| -5 * 4 (x - Wert) - 7 * - 6 (y - Wert) | = | 22 |
| -20 + 42 (ausmultipliziert) | = | 22 |
| 22 | = | 22 |
Somit lautet die Lösung des Linearen Gleichungssystems L = { ( 4 (x - Wert)| -6 (y - Wert) ) }
Aufgabe 2
Das Additionsverfahren lässt sich nicht gleich bei jedem Linearen Gleichungssystem anwenden, da nicht immer eine Varaible wegfallen würde. Allerdings kannst du die Gleichungen dann so geschickt umformen, dass duch Addition eine Variable herausfällt.
Beispiel: (I) 2x + 3y = 134 und (II) 3x + 5y = 221
wir multiplizieren die Gleichung (I) mit 3 und die Gleichung (II) mit -2
(I) 2x + 3y = 134 | * 3
(II) 3x + 5y = 221 | * (-2)
dies ergibt (I) 6x + 9y = 402
(II) -6x - 10y = -442
Wenn man nun die beiden Gleichungen addiert fällt die Varaible x heraus und man kann das Gleichungssystem lösen!
Zuordnung
Jetzt bist du dran! Ordne dem jeweiligen Gleichungssystem den Umformungsschritt und die daraus entstanden Gleichungen zu!
| ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) 2x + 6y = 6 | ( II ) * (-2) | ( I ) 16x + 12y = 68 und ( II ) -4x - 12y = -12 |
| ( I ) 11x - 5y = -3 und ( II ) -9x + 4y = 2 | ( I ) * 4 und ( II ) * 5 | ( I ) 44x - 20y = -12 und ( II ) -45 x + 20y = 10 |
| ( I ) -5x + 6y = 41 und ( II ) 3x - 8y = -73 | ( I ) * 4 und ( II ) * 3 | ( I ) -20x + 24y = 164 und ( II ) 9x - 24y = -219 |
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Das Additionsverfahren!
Beim Additionsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen. Hierbei addierst du die beiden Gleichungen mit dem Ziel, dass eine Variable herausfällt, um den Wert der anderen Variablen zu berechenen. Um dies zu erreichen kannst du die beiden Anfangsgleichungen durch Multiplikation oder Division so umformen, dass durch Addition eine Variable herausfällt. Den Wert der anderen Variablen kannst du berechnen, indem du den Wert, den du bereits kennst in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt. Wenn du dann noch die Probe gemacht hast, kannst du die Lösungsmenge angeben. |
