Untergruppenkriterium

Aussage

Sei $(G, \ast)$ eine Gruppe und U eine Teilmenge von G, also $U \subset G$. Dann gilt:

Definitionen

Was bedeutet "mit der eingeschr\"ankten Verkn\"upfung von G auf U"? G ist eine Gruppe, d.h. es gibt eine Verknüpfung auf G, also eine Abbildung $\ast : G \times G \to G$.
Wir haben eine Abbildung, d.h. wir können Einschränkungen dieser Abbildung betrachten. In unserem Fall betrachten wir $\ast \vert U \times U$. Ist U mit dieser Einschränkung eine Gruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann sagen wir: U ist eine Untergruppe von G und schreiben: $U \leq G$

Beweis

Es liegt eine Äquivalenz vor, d.h. wir müssen zwei Implikationen zeigen:

1. $\Rightarrow$