Untergruppenkriterium

Aussage

Sei $(G, \ast)$ eine Gruppe und U eine Teilmenge von G, also $U \subset G$ und $a, b \in U$. Dann gilt:

Definitionen

Was bedeutet "mit der eingeschränkten Verknüpfung von G auf U"? G ist eine Gruppe, d.h. es gibt eine Verknüpfung auf G, also eine Abbildung $\ast : G \times G \to G$.
Wir haben eine Abbildung, d.h. wir können Einschränkungen dieser Abbildung betrachten. In unserem Fall betrachten wir $\ast \vert_{ U \times U }$.
Ist U mit dieser Einschränkung eine Gruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann sagen wir: U ist eine Untergruppe von G und schreiben: $U \leq G$

Beweis

Es liegt eine Äquivalenz vor, d.h. wir müssen zwei Implikationen zeigen:

"$\Rightarrow$" :

Sei U eine Gruppe. U ist eine Gruppe und damit abgeschlossen. Abgeschlossenheit heißt dass die Verknüpfung wieder nach U abbildet: $\ast ( U \times U ) \subset U$, also gilt $\forall a, b \in U$ : $a \ast b \in U$.
U ist eine Gruppe, d.h. es existieren inverse Elemente. Somit gilt für alle $u \in U$, dass ebenfalls $u^{-1} in U$.
U ist eine Gruppe, d.h. es existiert ein neutrales Element, d.h. es gibt mindestens ein Element. Somit ist U nicht leer.

"$\Leftarrow$" :

Wegen $a \ast b \in U$ ist U abgeschlossen. Da für ein Element $a \in U$ auch gilt, dass auch $a^{-1} \in U$ existieren inverse Elemte. Da U nicht leer existiert ein Element $u \in U$. Da auch $u^{-1} \in U$ und auch $u \ast u^{-1} \in U$ ist auch $e \in U$. D.h. das neutrale Element der Obergruppe G ist in U enthalten. Es fehlt nur noch die Assoziativität. Die Verknüpfung in G ist assoziativ, da G eine Gruppe ist. Die Verknüpfung in U ist nur eine Einschränkung der Verknüpfung von G. Und behält die Assoziativität. Denn die Elemente aus U werden wie in der Gruppe G verknüpft und verlieren die Assoziativität nicht. Somit ist U eine Gruppe.

Aspekte

• Die Verknüpfung in U ist die Einschränkung von G auf U. Die inversen Element sind eindeutig bestimmt. (Eindeutigkeit der inversen Elemente in einer Gruppe). D.h. für ein $a \in U$ gibt es nur ein $g \in G$ mit $\ast (a, g) = e$. U ist eine Gruppe, d.h. es gibt für alle $u \in U$

Also ist für ein Element $a \in U$

• Es existieren inverse Elemente. Warum kann man hier nicht folgern, dass U nicht leer ist.