Untergruppenkriterium

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Aussage

Sei  (G, \ast) eine Gruppe und U eine Teilmenge von G, also  U \subset G und  a, b \in  U . Dann gilt:

Untergruppenkriterium 1.jpg

Definitionen

Was bedeutet "mit der eingeschränkten Verknüpfung von G auf U"? G ist eine Gruppe, d.h. es gibt eine Verknüpfung auf G, also eine Abbildung  \ast : G \times G \to G .
Wir haben eine Abbildung, d.h. wir können Einschränkungen dieser Abbildung betrachten. In unserem Fall betrachten wir  \ast \vert_{ U \times U }.
Ist U mit dieser Einschränkung eine Gruppe (Abgeschlossenheit + Assoziativität + neutrales Element + inverse Elemente), dann sagen wir: U ist eine Untergruppe von G und schreiben:  U \leq G

Beweis

Es liegt eine Äquivalenz vor, d.h. wir müssen zwei Implikationen zeigen:

" \Rightarrow " :

Sei U eine Gruppe. U ist eine Gruppe und damit abgeschlossen. Abgeschlossenheit heißt dass die Verknüpfung wieder nach U abbildet:  \ast ( U \times U ) \subset U , also gilt  \forall a, b \in U  :  a \ast b \in U .
U ist eine Gruppe, d.h. es existieren inverse Elemente. Somit gilt für alle  u \in U , dass ebenfalls  u^{-1} in U .
U ist eine Gruppe, d.h. es existiert ein neutrales Element, d.h. es gibt mindestens ein Element. Somit ist U nicht leer.


" \Leftarrow " :

Wegen  a \ast b \in U ist U abgeschlossen. Da für ein Element  a \in U auch gilt, dass auch  a^{-1} \in U existieren inverse Elemte. Da U nicht leer existiert ein Element u \in U . Da auch  u^{-1} \in U und auch  u \ast u^{-1} \in U ist auch  e \in U . D.h. das neutrale Element der Obergruppe G ist in U enthalten. Es fehlt nur noch die Assoziativität. Die Verknüpfung in G ist assoziativ, da G eine Gruppe ist. Die Verknüpfung in U ist nur eine Einschränkung der Verknüpfung von G. Und behält die Assoziativität. Denn die Elemente aus U werden wie in der Gruppe G verknüpft und verlieren die Assoziativität nicht. Somit ist U eine Gruppe.

Aspekte

Also ist für ein Element  a \in  U

  • Es existieren inverse Elemente. Warum kann man hier nicht folgern, dass U nicht leer ist.