Zerlegungsgleichheit von Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. Juli 2009, 17:13 Uhr

Zerlegungsgleichheit von Figuren

1.Station: Einführung

Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?

Aufgabenstellung:

Unter den schwarzen Inseln befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man JEDE Insel vollständig zusammensetzen kann.

' Beginne mit einer Insel und lege sie mit den Teilfiguren aus.
Wenn Du Hilfe brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.
Welche ist die größte Insel?'

Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:

Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)

Begründe Deine Antwort, warum ist diese Insel die größte?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Du siehst, auf allen drei Inseln lassen sich die gleichen Figuren legen, außer bei B. Bei B brauchst Du eine Figur mehr, das kleine graue Dreieck. Also hat B den größeren Flächeninhalt und ist somit die größere Insel. Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.

Figuren, die mit der gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren zerlegen.

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Da die Inseln A und C in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch zerlegungsgleich,

2.Station: Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit

Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.'
Die Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, denn alle Teilfiguren kommen sowohl im Quadrat, als auch im Sechseck vor
Und da die Figuren die selben, also kongruent sind, haben sie den gleichen Flächeninhalt.

Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F₁ bis F₅ zusammen.

Ergänze die fehlenden Felder

F_Quadrat = F₁ + F₂ + F₃ + F₄ + F₅ = F_Sechseck
Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!

Nils fasst hier Dein Ergebnis kurz zusammen. Übertrage es in Dein Heft:

Den Flächeninhalt einer Figur erhält man, wenn man die einzelnen Flächeninhalte der Teilfiguren addiert
Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können

Maja hat noch etwas festgestellt:

Das ist ja klasse!

Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen.

Der Flächeninhalt dieser beiden Figuren ändert sich dabei aber nicht.
Somit können wir feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,
obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!

Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:

Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?

(Aufgabe als Applet!!)

Bist Du sicher,dass Du den Hinweis brauchst?
Hier findest du den Hinweis

Hier geht es weiter zur nächsten Station:
→3. Station: Zusammenfassung

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 ----
 [[Bild:Ebert_KapitänCheckInsel.jpg|center]]<br>
-:'''''Aufgabenstellung:'''''<br>
-: '''''Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen. '''''
-* ''''''Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.'''''
-* '''''Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.'''''
-* '''''Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?''''''
 <br>
 <ggb_applet height= "540" width="870" showResetIcon="true" filename="Ebert_Insel.ggb‎" useLocalJar = "true" />
 <br>
 <br>
+:'''''Aufgabenstellung:'''''<br>
+: ''''' Unter den schwarzen Inseln befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man JEDE Insel vollständig zusammensetzen kann.
+* '''''' Beginne mit einer Insel und lege sie mit den Teilfiguren aus.'''''
+* '''''Wenn Du Hilfe brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.'''''
+* ''''' Welche ist die größte Insel?''''''
 <br>
 '''''Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:'''''
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 <br>
 {{Lösung versteckt|
+Du siehst, auf allen drei Inseln lassen sich die gleichen Figuren legen, außer bei B.
+Bei B brauchst Du eine Figur mehr, das kleine graue Dreieck. Also hat B den größeren Flächeninhalt und ist somit die größere Insel.
 Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.
-<br>Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.}}
+}}
 <br>
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 | [[Bild:Ebert_Zerlegungsgleiche Figuren.jpg|center]]
 *'''''Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils <span style="color: blue">fünf Teilfiguren</span> zerlegt.''''''
-*'''''Diese Teilfiguren sind <span style="color: blue">paarweise zueinander kongruent</span>, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren.'''''' <br>
+*'''''Die Teilfiguren sind <span style="color: blue">paarweise zueinander kongruent</span>, denn alle Teilfiguren kommen sowohl im Quadrat, als auch im Sechseck vor''''' <br>
-*'''''Aus den <span style="color: blue">Eigenschaften der Kongruenz</span> ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den <span style="color: blue">gleichen Flächeninhalt</span> besitzen.'''''
+*'''''Und da die Figuren die selben, also kongruent sind, haben sie den gleichen Flächeninhalt.
 <br>
 :'''Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F<sub>1</sub> bis F<sub>5</sub> zusammen.'''
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 '''''Ergänze die fehlenden Felder'''''
 <div class="lueckentext-quiz">
-F<sub>Quadrat</sub> = '''F<sub>1</sub>''' + F<sub>2</sub> + '''F<sub>3</sub>''' + F<sub>4</sub> + '''F<sub>5</sub>''' ='''F<sub>Sechseck</sub>''' <br>
+F<sub>Quadrat</sub> = F<sub>1</sub> + '''F<sub>2</sub>''' + F<sub>3</sub> + F<sub>4</sub> + F<sub>5</sub> = '''F<sub>Sechseck</sub>''' <br>
 Somit  haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den '''gleichen''' Flächeninhalt!
 </div>
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 {|
 |[[Bild:Ebert_MotivatorMerke.jpg|200px]]||
-* '''Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren. '''<br>
+* '''Den Flächeninhalt einer Figur erhält man, wenn man die einzelnen Flächeninhalte der Teilfiguren addiert '''<br>
 * '''Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können'''
 |}
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 :'''''Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:'''''
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-:''''''Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?'''''
+:'''''Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?'''''
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+(Aufgabe als Applet!!)
 [[Bild:Ebert_Halbkreisbilderneu.jpg|center]]

Zerlegungsgleichheit von Figuren: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. Juli 2009, 17:13 Uhr