Zerlegungsgleichheit von Figuren
Einführung
Kapitän Check Aufgabe: Welche ist die größte Insel?
- Aufgabenstellung:
- Du siehst hier die 3 schwarzen Inseln. Darunter befinden sich alle Teilfiguren, mit denen man die Inseln vollständig zusammensetzen kann. Du kannst diese Teilfiguren auf die Inseln ziehen.
- Überlege Dir zunächst selbst, wo die nächste Teilfigur platziert werden könnte.
- Wenn Du eine Hilfestellung brauchst, dann Klicke die Kontrollkästchen an.
- Was fällt Dir auf? Welche ist die größte Insel?
- Trage hier den Namen der Insel ein, die am größten ist:
Die größte Insel ist Isola Bella (entweder Isola Grande, Isola Bella oder Isola Piccola eintragen)
- Begründe Deine Antwort, warum ist diese Insel die größte?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Die Figuren A und C sind gleich groß, da sie mit sechs Teilfiguren ausgelegt werden können, die jeweils kongruent zueinander sind.
Figur B kann mit einer Teilfigur, dem grauen Dreieck mehr ausgelegt werden, deshalb ist sie die größte der drei Inseln.
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- Figuren, die mit der gleichen Anzahl kongruenter Teilfiguren ausgelegt werden können, kann man natürlich auch in diese Teilfiguren zerlegen.
- Da die Inseln A und B in die gleiche Zahl kongruenter Teilfiguren zerlegt werden können, nennt man Figur A und C daher auch zerlegungsgleich,
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2.3 Das Prinzip der Zerlegungsgleichheit
- Das Sechseck und das Quadrat wurden in jeweils fünf Teilfiguren zerlegt.
- Diese Teilfiguren sind paarweise zueinander kongruent, d.h. es gibt immer ein Paar zueinander kongruenter Figuren.
- Aus den Eigenschaften der Kongruenz ergibt sich daher, dass diese Teilfiguren den gleichen Flächeninhalt besitzen.
- Der Flächeninhalt des Quadrates setzt sich in diesem Beispiel aus den Flächeninhalten der Teilfiguren F1 bis F5 zusammen.
Ergänze die fehlenden Felder
FQuadrat = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 =FSechseck
Somit haben Sechseck und Quadrat in dem Beispiel den gleichen Flächeninhalt!
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- Logo fasst hier Deine Beobachtungen kurz zusammen. Übertrage Sie in Dein Heft:
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- Der Flächeninhalt der Gesamtfigur ergibt sich aus der Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren.
- Zwei Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt, wenn sie in kongruente Teilfiguren zerlegt werden können
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- Maja möchte Dir auch noch etwas sagen:
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Das ist ja klasse!
- Man kann eine Figur also in Teilfiguren zerschneiden und diese Teilfiguren wieder zu einer neuen Figur zusammensetzen.
- Der Flächeninhalt dieser beiden Figuren ändert sich dabei aber nicht.
- Somit können wir feststellen, dass zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt besitzen,
obwohl wir den Flächeninhalt der einzelnen Teilflächen selbst noch gar nicht berechnen können!
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- Hierzu siehst Du ein kleines Beispiel:
- Kannst Du zeigen, dass die beiden folgenden Figuren den gleichen Flächeninhalt haben?
Hier findest du den Hinweis
Zusammenfassung
- Übertrage folgende Definition in Dein Heft:
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Zerlegungsgleichheit von Figuren
Zwei Figuren sind zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilfiguren zerlegt werden können.
Beispiel:
Figur A und Figur B sind zerlegungsgleich. Zerlegungsgleiche Figuren besitzen den gleichen Flächeninhalt
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- Du weißt bereits, wie man den Flächeninhalt des linken Quadrates berechnet. Formel
- Da das nebenstehende Sechseck zerlegungsgleich zum Quadrat ist und damit den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat besitzt. kennen wir auch den Flächeninhalt des Sechsecks.
- Man kann die Berechnung des Flächeninhaltes von Figuren, für die man keine Berechnungsformel kennt, auf Figuren zurückführen, für die man eine Flächeninhaltsformel kennt.
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