Berechnungen in Dreiecken

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Trigonometrie

	Arbeitsauftrag Die wichtigeste Anwendung von Sinus, Cosinus und Tangens sind Berechnungen an Dreiecken, um Längen und Winkel zu ermitteln. Es gibt Sätze zur Brechnung an rechtwinkligen Dreiecken und allgemeinen Dreiecken. Mit ihrer Hilfe lassen sich fast alle Längen berechnen, denn alle Figuren und auch Körper lassen in Dreiecke zerlegen!

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Berechnungen in Dreiecken
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Aufgaben

Nun kommen ein paar Aufgabn aus ehemaligen Abschlussprüfungen zu funktionaler Abhängigkeit und Berechnungen in Dreiecken.

	Aufgabe 1 Funktionale Abhängigkeit aus der ebenen Geometrie. (Abschlussprüfung 2006; Wahlteil; A2 (verändert/ergänzt)). Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke $AB_nC_n \quad$ bilden eine Dreiecksschar mit dem gemeinsamen Punkt $\quad A(0|0)$. Auf der Geraden g mit der Gleichung $\quad y=-2x+6$ liegen die Mittelpunkte $\quad M_n(x|-2x+6)$ der Hyptenusen $\quad[AB_n]$.

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Berechne den Winkel $\quad \angle ADM_2$, wobei D der Schnittpunkt von g und AC2 ist. Der Punkt C2 besitzt die Koordinaten $\quad C_2(3|3)$, $\quad x_{M2}=3$. Lösungshinweis anzeigen Lösungshinweis verstecken D als Schnittpunkt von g und AC2 ermitteln $\quad \overline {AD}$ und $\quad \overline {DM_2}$ mit der Formel für Streckenlänge ermitteln Kosinussatz im Dreieck $AM_2D \quad$ anwenden Alternativ kann auch die Innenwinkelsumme verwendet werden, wenn Winkel $\quad \angle DM_2A$ mit $\quad \tan \alpha =m_g$ berechnet wird. 1. Lösung: $\quad \angle ADM_2$=° (2 Nachkommastellen) Punkte: 0 / 0

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Die Punkte Cn können in Abhängigkeit der Abszisse x der Punkte Mn dargestellt werden als $\quad C_n(3x-6|-x+6)$. Ermittle die Gleichung des Trägergraphen h der Punkte Cn. Das Ergebnis siehst du im Applet, wenn du x veränderst zeichnen die Punkte Cn den Trägergraphen. Tipp anzeigen Tipp verstecken Verfahren zur Trägergraphermittlung wird in der Präsentation erklärt!

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Zeige, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke $\quad AB_nC$ in Abhängigkeit von der Abzisse x der Punkte Mn gilt: $\quad A(x)=(5x^2-24x+36)$FE Tipp anzeigen Tipp verstecken 36FE in $A(x) \quad$ einsetzen. Allgemeine Lösungsformel benutzen!

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Die Dreiecke $\quad AB_3C_3$ und $\quad AB_4C_4$ haben jeweils einen Flächeninhalt von 36 FE. Ermitteln sie die Koordinaten der Punkte C3 und C4. Tipp anzeigen Tipp verstecken Suche einfache, flächengleiche Figuren! Verwende den Punkt Mn! 1. Lösung: C3| (ganze Zahlen) und C4| (1 Nachkommastelle) Punkte: 0 / 0

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Unter den Dreiecken ABnCn gibt es das Dreieck AB5C5, bei dem der Punkt C5 auf der Geraden g liegt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C5 und überlegen Sie sich, dass das Dreieck AB5C5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke ABnCn besitzt. Tipp anzeigen Tipp verstecken C5 liegt auf dem Trägergraphen und der Geraden g! 1. Lösung: C5| (1 Nachkommastelle) Punkte: 0 / 0

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Aufgabe 2 Berechnungen an einer Pyramide ((Abschlussprüfung 2006; Pflichtteil; P2). Das Quadrat ABCD mit $\overline{AB}=6cm$ ist die Grundfläche einer PyramideABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A. Der Winkel SCA hat das Maß $\gamma = 50^\circ$. Der Punkt liegt auf der Kante $\quad[AS]$ mit $\overline{AQ}=6cm$. Die Punkte $\quad R_n$ liegenauf der Kante $\quad [CS]$, wobei die Winkel $\quad R_nQS$ das Maß $\quad \epsilon$ mit $\quad \epsilon > 0^\circ$ haben.

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Berechnen sie das größmögliche Maß $\epsilon \quad$. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Der größtmögliche Winkel ergibt sich wenn $\quad R_n$ auf C liegt. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Mit Hilfe von Dreiecken kannst du $\quad \epsilon$ ausrechnen. (Beispielsweise Winkel QCA im rechtwinkligen Dreieck ACQ.) Skizziere diese Teildreicke auf ein Konzeptpapier und trage bekannte Seiten und Winkel ein, um den Überblick zu behalten! 1. Lösung: $\quad \epsilon$=° (2 Nachkommastellen) Punkte: 0 / 0

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Zeigen Sie, dass für die Streckenlänge $\quad \overline{QR_n}$ in Abhängigkeit von $\quad \epsilon$ gilt: $\overline{QR_n}(\epsilon)=\frac{2,64}{\sin (40^\circ+\epsilon)} cm$. [Teilergebnis: $\quad \overline{AS}=10,11cm$] Tipp anzeigen Tipp verstecken Sinussatz im Dreieck $\quad QR_nS$

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Berechnen Sie das Winkelmaß $\quad \epsilon$ so, dass die Strecke $\quad [QR_1]$ und $\quad [QS]$ gleich lang sind. 1. Lösung: $\quad \epsilon$=° (2 Nachkommastellen) Punkte: 0 / 0

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