Streckung, Stauchung und Spiegelung der quadratischen Funktion

Lernpfad Streckung, Stauchung und Spiegelung des Graphen der quadratischen Funktion In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad! Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick Aufstellen der Funktionsgleichung Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)$=$ax2

In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. Wie schon die Überschrift erkennen lässt, sorgt dieser Parameter für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.

Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:

                         f(x)= a$\cdot$x2

Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, müssen wir die Begriffe "Streckung", "Stauchung" und "Spiegelung" erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.

Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.

Aufgabe:

Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!

gestauchtnormalkeine Spiegelunggestrecktgespiegelt

Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.

STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:

Quadratische Funktion f(x)$=$ax2

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise: * In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau * Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a * Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder Aufgabe: Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a an der quadratischen Funktion im Hinblick auf die Normalparabel? Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Der Vorfaktor a führt zu einer                     der Normalparabel in                     . Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a                     ist, denn dann ist f(x) = 1x2 = x2                     der Normalparabel. Ist a                     1, so ist der Graph gestreckt. Ist a < 1, so nennt man den Graph                     . Außerdem ist die quadratische Funktion f(x) = ax2 nach                     geöffnet und der                     S ist                     Punkt mit den Koordinaten $(0\!\,|\!\,0)$. gestauchtScheitelpunkty-RichtungStreckung oder Stauchungoben>Einsidentischtiefster

Merke Für die quadratische Funktion f(x)$=$ a$\cdot$x2 mit dem positiven Faktor a gilt: Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung Für a $=$ 1 gilt: Identisch zur Normalparabel, denn f(x)$=$ 1$\cdot$x2$=$ x2 Für a > 0 gilt: Der Graph ist nach oben geöffnet Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$ Für a > 1 gilt: Der Graph ist gestreckt Für a < 1 gilt: Der Graph ist gestaucht

Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.

STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a

Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, wenn der Parameter a negativ wird!

Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:

Aufgabe und Quiz:

Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a, wenn er negativ wird? Quiz: Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? nach unten gar nicht nach oben Welche Aussage ist richtig? Es gibt keinen Scheitelpunkt Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt Was bewirkt der negative Vorfaktor a? Er bewirkgt nur eine Stauchung Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung Er bewirkt nur eine Streckung Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt Die Parabel ist gestaucht Die Parabel ist nach oben geöffnet Für welche negativen Werte von a, ist der an der x-Achse gespiegelte Graph gestreckt? für a < -0,5 für a < -1 für a > -1 Für welche negativen Werte von a, ist der an der x-Achse gespiegelte Graph gestaucht? für 0 > a > -1 für a > -2 für -2 < a < 0 prüfen!

Merke Für die quadratische Funktion f(x)$=$ a$\cdot$x2 mit dem negativen Faktor a gilt: Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der Spiegelung an der x-Achse sowie einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung Für a $=$ -1 gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; f(x)$=$-1$\cdot$x2$=$ -x2 Für a < 0 gilt: Der Graph ist nach unten geöffnet Scheitelpunkt S ist höchster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$ Für a < -1 gilt: Der Graph ist gestreckt Für a > -1 gilt: Der Graph ist gestaucht

STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick

Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!

Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen die richtigen Kombinationen zu finden! Lies die Vorgaben und die möglichen Lösungen zuerst genau durch.

	Vorgabe	Passendes Puzzleteil
1.	Vorfaktor a ist negativ
2.	a < -1
3.	Scheitelpunkt S für negativen Parameter a
4.	0 > a > -1
5.	Vorfaktor a ist positiv
6.	0 < a < 1
7.	Scheitelpunkt S für positiven Parameter a
8.	a > 1
9.	Der Vorfaktor a bewirkt eine…

Graph ist gestrecktScheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]Streckung oder Stauchung der NormalparabelNach oben geöffnete ParabelGraph ist gestauchtGraph ist gestauchtScheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]Nach unten geöffnete ParabelGraph ist gestreckt

STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung

Bisher hast du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler der Geogebraanwendungen ablesen können. Nun wollen wir mal schauen, wie man anhand eines Graphen, den Parameter a bestimmt. Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall, dass die Parabel weder in x-Richtung noch in y-Richtung verschoben wird, also für "f(x)= a$\cdot$x²". Im nächsten Lernpfad folgt dann die Bestimmung des Parameters a auch für verschobene Parabeln.

Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei, die Vorgehensweise zum Bestimmen des Parameters a zu erkennen.

Quadratische Funktion f(x) = ax2, für positiven und negativen Parameter a:

Hinweis und Aufgaben:

1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x2". Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse. Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen um die Parabelkurve zu erreichen? 1 2 3 prüfen! 2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen? 3 4 2 prüfen! 3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche folgendes Quiz zu lösen: Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert: 3 1 4 2 prüfen! 4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2. Funktioniert das Ablesen des negativen Parameters a genauso, wie bei positiven Werten von a? Nein JA prüfen! 5. Man geht vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten! Wie lautet der Wert vom Parameter a?? 1 3 -3 prüfen!

Merke Anleitung zur Bestimmung des Parameters a: Der Startpunkt zum Bestimmen des Parameters ist der Scheitelpunkt Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Parameter a Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ

Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Parameters a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!

Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!

y = 0,5x²y = 0x²y = -4x²y = -0,5x²y = 2x²

STATION 5: Aufgaben zum Einüben der quadratischen Funktion f(x)$=$ax²

1. Aufgabe:

Um mal zu zeigen, woe die Parabel alles im Alltag vorkommt, hast du hier den Ausschnitt einer Brücke gegeben. Beantworte zuerst die Frage und stelle dann den Graphen, durch Bedienen des Schiebereglers, richtig ein!

Frage:

Was muss für den Parameter a gelten?

1. er ist negativ
2. -1 < a < 0
3. er ist positiv
4. a < -1

prüfen!

2. Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x²".

In der folgenden Geogebra-Anwendung erkennst du die Punkte A, B, C und D. Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist vorgegeben. Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. Überprüfe anschlieschließend, durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graphen liegen, denn dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!

3. Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax²".

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [2; 12] verläuft?

1. 3
2. 1
3. 4
4. 2

prüfen!

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [3; 9] verläuft?

1. 3
2. 1
3. 4
4. 2

prüfen!

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [4; 32] verläuft?

1. 2
2. 1
3. 4
4. 3

prüfen!

Glückwunsch!

Damit hast du den Lernpfad "Streckung, Stauchung und Spiegelung der quadratischen Funktion" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktionen gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!