Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 26. Januar 2010, 13:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 1

Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst. Versuche nun das folgende Lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!


( I )   y + 3x = 4     und     ( II )   3y = 6x + 3              Motivation Hatos 12.PNG


Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.
1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.


( I )     y + 3x = 4 | - 3x

y =                     + 4

( II )    3y = 6x + 3 |  : 3

y =                     +                    


2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.


                    =                    


-3x-3x + 42x + 112x

Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst


-3x + 4 = 2x + 1 / - 2x
     
                    + 4 = 1 / - 4
     
     
x =                      
     
x = 0,6  


-5x3/5

Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des Linearen Gleichungssystems noch der y - Wert.
3. Schritt: Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen.
Wir nehmen hier Gleichung ( I )
Motivation Hatos 13.PNG


y = -3x + 4
     
y = -3 *                     + 4
     
y =                     + 4
     
y =                    


2,20,6- 1,8

4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des Linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Zuerst Gleichung ( I ):

y + 3x = 4
     
                    + 3 *                     = 4
     
2,2 +                     = 4
     
                    = 4


0,61,82,24


Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )

3y = 6x + 3
     
3 *                     = 6 *                     + 3
     
                    =                     + 3
     
6,6 =                    


Somit lautet die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems L = { (                     |                     ) }


3,62,20,60,66,62,26,6

 



Motivation Hatos 14.PNG


Aufgabe 2

Bei den folgenden Linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen Linearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.

x - 4 = 2x - 7

y = 3x   und    y = 2x + 1

a = 2b + 3   und    a = 5b - 1

3y + 5 = y + 1

3y = x - 4   und    3y = 2x - 72x = 3y + 5   und    2x = y + 12b + 3 = 5b - 13x = 2x + 1

 



Hatos Merke.PNG
Das Gleichsetzungsverfahren!


Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen.

1.Schritt: Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen.



2.Schritt: Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen.





3.Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt.



4.Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.





Beispiel:

(I) y + 3x = 2
und
(II) 2y = 4x – 2


(I) y = -3x + 2
(II) y = 2x – 1


(I) = (II)

-3x + 2 = 2x – 1| - 2x
- 5x + 2 = - 1 | - 2
- 5x = - 3 | : (-5)

x = 0,6


x in (II) y = 2 * 0,6 – 1

y = 1,2 – 1
y = 0,2


(I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr)
(II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr)



L = { ( 0,6 | 0,2 )}


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