Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen/Station 3

Inhaltsverzeichnis:    1. Einstieg  -  2. Gleichsetzungsverfahren  -  3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren  -  4. Einsetzungsverfahren  -  
5. Übungen zum Einsetzungsverfahren  -  6. Additionsverfahren -  7. Übungen zum Additionsverfahren  -  8. Lösen der Einstiegsaufgabe

3. Übungen zum Gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 1

Die vorherige Aufgabe hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst. Versuche nun das folgende lineare Gleichungssystem mit diesem Verfahren zu lösen!

( I )   y + 3x = 4     und     ( II )   3y = 6x + 3             

Beim Gleichsetzungsverfahren muss bei beiden Gleichungen auf einer Seite dasselbe stehen, damit du die beiden Gleichungen gleichsetzen kannst.
1. Schritt: Löse also nun beide Gleichungen nach y auf.

( I )     y + 3x = 4 | - 3x

y =                     + 4

( II )    3y = 6x + 3 |  : 3

y =                     +                    

2. Schritt: Wenn du dir nun die beiden Gleichungen anschaust, merkst du sicher, was du nun gleichsetzen kannst, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen.

                    =                    

1-3x + 4-3x2x + 12x

Nun kannst du den x - Wert berechnen, indem du deine Gleichung nach x auflöst

-3x + 4	=	2x + 1	/ - 2x
+ 4	=	1	/ - 4
x	=
x	=	0,6

3/5-5x

Super! Allerdings fehlt dir für die vollständige Lösung des linearen Gleichungssystems noch der y - Wert. 3. Schritt: Hierfür musst du den x - Wert einfach nur in eine deiner beiden Gleichungen einsetzen. Wir nehmen hier Gleichung ( I )

y	=	-3x + 4
y	=	-3 *                     + 4
y	=	+ 4
y	=

2,2- 1,80,6

4. Schritt: Um sicherzugehen, dass dein Punkt ( 0,6 | 2,2 ) auch die Lösung des linearen Gleichungssystem ist, mache die Probe, indem du den Punkt in deine beiden Anfangsgleichungen einsetzt.

Zuerst Gleichung ( I ):

y + 3x	=	4
+ 3 *	=	4
2,2 +	=	4
	=	4

2,240,61,8

Wir nehmen nun noch die Gleichung ( II )

3y	=	6x + 3
3 *	=	6 *                     + 3
	=	+ 3
6,6	=

Somit lautet die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems L = { (                     |                     ) }

0,60,62,26,66,62,23,6

 

Aufgabe 2

Bei den folgenden linearen Gleichungssystemen wurde das Gleichsetzungsverfahren angewandt. Ordne die jeweiligen lLinearen Gleichungssysteme und die dazugehörigen Gleichungen nach Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens zusammen.

3y + 5 = y + 1

x - 4 = 2x - 7

2b + 3 = 5b - 1

y = 3x   und    y = 2x + 1

3y = x - 4   und    3y = 2x - 73x = 2x + 12x = 3y + 5   und    2x = y + 1a = 2b + 3   und    a = 5b - 1

 

Lies dir den Merkekasten genau durch!

Das Gleichsetzungsverfahren! Beim Gleichsetzungsverfahren bildet man aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen. 1.Schritt: Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen. 2.Schritt: Setze die beiden Rechtsterme gleich und berechne den Wert der einen Variablen. 3.Schritt: Berechne den Wert der anderen Variablen, indem du den Wert, den du bereits kennst, in eine deiner beiden Anfangsgleichungen einsetzt. 4.Schritt: Mache die Probe (mit beiden Ausgangsgleichungen) und gib dann die Lösungsmenge an.

Beispiel: (I) y + 3x = 2 und (II) 2y = 4x – 2 (I) y = -3x + 2 (II) y = 2x – 1 (I) = (II) -3x + 2 = 2x – 1| - 2x - 5x + 2 = - 1 | - 2 - 5x = - 3 | : (-5) x = 0,6 x in (II) y = 2 * 0,6 – 1 y = 1,2 – 1 y = 0,2 (I) 0,2 + 3* 0,6 = 2 (wahr) (II) 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 (wahr) L = { ( 0,6 | 0,2 )}

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